高校では「不定積分は微分の逆」として計算に使い、定積分は $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ で求めます。
しかし、ここには一つの疑問が隠れています。定積分とは本来「面積」を求める操作であり、微分とは「変化率」を求める操作です。
面積と変化率 ── この一見無関係な二つの概念が、なぜ逆の関係で結ばれるのでしょうか。
微積分学の基本定理は、まさにこの問いに答える定理です。
その証明を追うことで、「面積関数を微小に変化させたとき、その変化量は関数の高さに等しい」という直感的な事実が厳密に示され、微分と積分の関係が深く理解できます。
高校数学では、積分を次の二つの側面から学びます。
「$F'(x) = f(x)$ を満たす関数 $F(x)$ を求めよ」という問題が不定積分です。 例えば $f(x) = 2x$ のとき、$F(x) = x^2 + C$（$C$ は積分定数）となります。 高校では「微分して $f(x)$ になる関数を見つける」操作として不定積分を学び、 $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ と書きます。
もう一つの側面が定積分です。$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸の間の面積を求めるとき、 区間 $[a, b]$ を細かく分割して長方形の面積の和の極限をとる ── これが定積分 $\int_a^b f(x)\,dx$ の考え方です。 数学IIIでは区分求積法としてこの考え方に触れます。
高校では、定積分を計算するとき、不定積分の結果を使って次のように求めます。
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \quad (F'(x) = f(x))$$
例えば $\int_1^3 2x\,dx$ を計算するなら、$F(x) = x^2$ として $F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8$ です。 この公式のおかげで、面積を求めるのに長方形の和の極限を計算する必要がなくなり、原始関数を見つけるだけで済みます。
しかし、ここで立ち止まって考えてみてください。不定積分は「微分の逆」、定積分は「面積の極限」です。 なぜ「微分の逆」を使って「面積」が計算できるのでしょうか。 高校では $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ を計算公式として使いますが、この等式がなぜ成り立つかは説明されません。 次のセクションでは、大学の視点からこの問いを正面から考えます。
大学の微積分学では、不定積分と定積分を独立な概念として定義します。 定積分はリーマン和の極限として定義される「面積」であり、不定積分は「微分の逆操作（原始関数を求めること）」です。 この二つは、定義の段階では何の関係もありません。
それにもかかわらず $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ が成り立つのは、定理として証明すべき事実です。 この定理こそが微積分学の基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）であり、微分と積分という二大概念を結びつける解析学の中心的な結果です。
この記事を読み終えると、以下のことができるようになります。
1. 「面積関数」$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ を定義し、その意味を説明できる
2. 基本定理の第1部「$F'(x) = f(x)$」を証明でき、「面積の微小変化 = 高さ $\times$ 幅」という直感との対応を説明できる
3. 基本定理の第2部「$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$」を第1部から導出できる
4. 定積分で定義された関数の微分（例えば $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} e^{-t^2}\,dt$ の計算）を実行できる
微積分学の基本定理は、第1部と第2部の二つのパートからなります。 第1部は「面積関数を微分するともとの関数に戻る」ことを示し、第2部は「定積分を原始関数の差で計算できる」ことを示します。 次のセクションでは、まず第1部の主張と証明を見ていきます。
$f$ を区間 $[a, b]$ 上の連続関数とします。ここで、次の関数を考えます。
$$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad (a \le x \le b)$$
これは、$a$ から $x$ までの区間で $f(t)$ を定積分したものです。積分の上端 $x$ を動かすことで、$F$ は $x$ の関数になります。
$f(t) \ge 0$ のとき、$F(x)$ は $y = f(t)$ のグラフと $t$ 軸の間の、$t = a$ から $t = x$ までの面積を表します。$x$ を右に動かすと面積が増えるので、$F(x)$ は $x$ の増加関数です。
具体例で確認しましょう。$f(t) = 2t$、$a = 0$ とすると、
$$F(x) = \int_0^x 2t\,dt = \left[t^2\right]_0^x = x^2$$
この場合、$F'(x) = 2x = f(x)$ となります。面積関数 $F(x)$ を微分すると、もとの関数 $f(x)$ に戻りました。 これは偶然ではありません。連続関数に対して常に成り立つことが、基本定理の第1部の主張です。
$f$ が区間 $[a, b]$ 上で連続ならば、面積関数 $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ は $[a, b]$ 上で微分可能であり、
$$F'(x) = f(x)$$
が成り立つ。すなわち、連続関数 $f$ の面積関数は $f$ の原始関数である。
この定理の意味を考えましょう。$F(x)$ は「$a$ から $x$ までの面積」です。$x$ をほんの少しだけ $h$ だけ増やすと、面積は $F(x+h) - F(x)$ だけ増えます。 この増分は、幅 $h$、高さがおよそ $f(x)$ の薄い帯の面積にほぼ等しいはずです。 したがって、
$$F(x+h) - F(x) \approx f(x) \cdot h$$
両辺を $h$ で割ると $\frac{F(x+h) - F(x)}{h} \approx f(x)$ となり、$h \to 0$ の極限で $F'(x) = f(x)$ が得られます。 これが基本定理の第1部の直感的な説明です。次に、この直感を厳密な証明にします。
証明の方針：微分の定義に従い $\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}$ を計算します。定積分の区間の加法性を使って分子を書き換え、$f$ の連続性から極限値が $f(x)$ であることを示します。
ステップ1：差分を書き換える
定積分の区間の加法性 $\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$ を使います。
$$F(x+h) - F(x) = \int_a^{x+h} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt = \int_x^{x+h} f(t)\,dt$$
つまり、$F$ の変化量は $x$ から $x+h$ までの定積分に等しくなります。
ステップ2：積分の平均値の定理を使う
$f$ は $[x, x+h]$ 上で連続なので、積分の平均値の定理により、ある $c$（$x$ と $x+h$ の間）が存在して、
$$\int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(c) \cdot h$$
が成り立ちます。この定理は「連続関数の定積分は、区間のどこかでの関数値 $\times$ 区間の長さ」で表せるという主張です（平均値の定理の積分版であり、📖 M-7-2 で解説しています）。
ステップ3：極限をとる
ステップ1とステップ2の結果を合わせると、
$$\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{f(c) \cdot h}{h} = f(c)$$
ここで $c$ は $x$ と $x+h$ の間にあるので、$h \to 0$ のとき $c \to x$ です。$f$ は連続なので、
$$\lim_{h \to 0} f(c) = f(x)$$
したがって、
$$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(x)$$
これで $F'(x) = f(x)$ が示されました。$\square$
この証明の要点は二つあります。第一に、定積分の区間の加法性によって $F(x+h) - F(x)$ を短い区間の積分 $\int_x^{x+h} f(t)\,dt$ に書き換えたこと。 第二に、$f$ の連続性を使って、この積分を $f(c) \cdot h$ と表したことです。 連続性がなければ、$c \to x$ のとき $f(c) \to f(x)$ は保証されず、証明は成立しません。
誤解：「$f$ がどんな関数でも、$\int_a^x f(t)\,dt$ を微分すれば $f(x)$ に戻る」
正確：第1部は $f$ の連続性を仮定しています。$f$ が連続でない点 $x_0$ では、$F'(x_0) = f(x_0)$ が成り立たない場合があります。例えば、$f$ が $x_0$ で跳びを持つ場合、$F$ はその点で微分可能ですが、$F'(x_0)$ は $f(x_0)$ と一致するとは限りません。
ここまでで、「面積関数を微分するともとの関数に戻る」ことが証明できました。 これは「定積分で作った関数は原始関数になる」ということです。 次のセクションでは、この結果を使って、高校で使っている計算公式 $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ を導出します。
第1部では「面積関数 $\int_a^x f(t)\,dt$ は $f$ の原始関数である」ことを示しました。 第2部では、この結果を使って、任意の原始関数で定積分を計算できることを示します。
$f$ が区間 $[a, b]$ 上で連続であり、$G$ が $f$ の任意の原始関数（すなわち $G'(x) = f(x)$）であるとき、
$$\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)$$
が成り立つ。
これが、高校で使っている計算公式そのものです。第1部の結果から、この第2部がどのように導かれるかを見ましょう。
証明の方針：第1部で得た原始関数 $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ と、任意の原始関数 $G(x)$ の差が定数であることを利用します。
ステップ1：二つの原始関数の差は定数
第1部より、$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ は $f$ の原始関数です。つまり $F'(x) = f(x)$ です。
$G$ もまた $f$ の原始関数なので、$G'(x) = f(x)$ です。
ここで $H(x) = G(x) - F(x)$ とおくと、$H'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0$ です。
導関数が恒等的に $0$ である関数は定数関数です（これは平均値の定理から導かれます。📖 M-7-2 参照）。
したがって、ある定数 $C$ が存在して $G(x) = F(x) + C$ が成り立ちます。
ステップ2：定数を特定する
$x = a$ を代入すると、
$$G(a) = F(a) + C = \int_a^a f(t)\,dt + C = 0 + C = C$$
したがって $C = G(a)$ です。
ステップ3：結論を得る
$x = b$ を代入すると、
$$G(b) = F(b) + C = \int_a^b f(t)\,dt + G(a)$$
したがって、
$$\int_a^b f(t)\,dt = G(b) - G(a)$$
これが示すべき等式です。$\square$
この証明の論理構造を振り返りましょう。第1部で「面積関数 $F(x)$ は原始関数である」ことがわかっています。 そして原始関数は定数の違いを除いて一意ですから、任意の原始関数 $G(x)$ は $F(x) + C$ の形で書けます。 あとは $x = a$ と $x = b$ を代入して $C$ を消すだけです。
微積分学の基本定理は、二つの主張が組み合わさって成立しています。
第1部：面積関数 $\int_a^x f(t)\,dt$ を微分すると $f(x)$ に戻る（定積分 → 微分）
第2部：定積分は原始関数の差 $G(b) - G(a)$ で計算できる（微分 → 定積分）
第1部が第2部の基盤になっています。第1部がなければ「面積関数が原始関数である」ことがわからず、第2部の証明で「任意の原始関数と面積関数の差が定数」という議論ができません。
ここまでで、微積分学の基本定理の第1部と第2部の両方が証明できました。 次のセクションでは、この証明の中で使われた道具と直感的な意味を深く掘り下げます。
第1部の証明で中心的な役割を果たしたのは、積分の平均値の定理です。 この定理は次のように述べられます。
$f$ が閉区間 $[a, b]$ 上で連続ならば、ある $c \in [a, b]$ が存在して、
$$\int_a^b f(x)\,dx = f(c) \cdot (b - a)$$
が成り立つ。
右辺は「区間の長さ $\times$ ある点での関数値」という長方形の面積です。連続関数のグラフの下の面積は、適切な高さの長方形の面積と等しくなることを意味しています。
この定理は中間値の定理から導くことができます。 $f$ が連続なら、$f$ は $[a, b]$ 上で最大値 $M$ と最小値 $m$ をとります。 定積分の性質から $m(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a)$ が成り立つので、
$$m \le \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \le M$$
となります。$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ は $m$ と $M$ の間の値ですから、中間値の定理により $f(c)$ がこの値に等しくなる $c$ が $[a, b]$ 内に存在します。
基本定理の第1部を直感的に理解するには、次のように考えます。
面積関数 $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ で、$x$ を $x + h$ にわずかに増やしたとします。 面積の増分 $F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,dt$ は、$x$ から $x+h$ までの薄い帯の面積です。
$h$ が十分小さければ、この薄い帯はほぼ長方形で、幅が $h$、高さがおよそ $f(x)$ です。したがって、
$$F(x+h) - F(x) \approx f(x) \cdot h$$
両辺を $h$ で割り、$h \to 0$ とすると、
$$F'(x) = f(x)$$
が得られます。つまり、面積の変化率は、その地点での関数の高さに等しいのです。 これこそが微分と積分を結びつける根本的な事実です。
定積分は「$f$ のグラフの下の面積を $a$ から $x$ まで累積する」操作です。微分は「関数の変化率を求める」操作です。
面積を累積していくとき、その瞬間の変化率は「いまの位置での高さ $f(x)$」に等しい ── これは直感的に当然のことです。高さが大きいところでは面積が速く増え、高さが小さいところでは面積はゆっくり増えます。
微積分学の基本定理は、この直感を厳密に証明した定理です。面積を累積する操作（積分）の変化率（微分）がもとの関数に戻るからこそ、微分と積分は逆演算なのです。
第2部の証明では、「$H'(x) = 0$ ならば $H(x)$ は定数」という事実を使いました。 この事実は、微分法の平均値の定理（📖 M-7-2 で詳しく解説）から導かれます。
もし $H'(x) = 0$ が区間全体で成り立つなら、任意の $x_1, x_2$ に対して平均値の定理より
$$H(x_2) - H(x_1) = H'(c)(x_2 - x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0$$
となり、$H(x_2) = H(x_1)$ です。つまり $H$ は定数です。 この論法により、$f$ の原始関数は定数の違いを除いて一意であることがわかります。 だからこそ、面積関数 $F(x)$ と任意の原始関数 $G(x)$ の差が定数となり、第2部の証明が完成するのです。
このように、微積分学の基本定理の証明には、平均値の定理（微分の側と積分の側の両方）と関数の連続性が不可欠な道具として使われています。 次のセクションでは、この定理を実際の計算に応用します。
基本定理の第2部により、定積分は原始関数の差で計算できます。これは高校でも日常的に使っている計算法です。 ここでは数学IIIの範囲の関数を使った例を見ましょう。
例1：$\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ を計算します。
$\sin x$ の原始関数は $-\cos x$ です（$(-\cos x)' = \sin x$）。したがって、
$$\int_0^{\pi} \sin x\,dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$$
基本定理がなければ、リーマン和の極限 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) \cdot \frac{\pi}{n}$ を計算する必要があります。 原始関数を一つ見つけるだけで、この無限の和を回避できるのが基本定理の威力です。
基本定理の第1部は、上端が $x$ の定積分で定義された関数を微分する場面で直接使えます。
例2：$F(x) = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt$ のとき、$F'(x)$ を求めます。
基本定理の第1部をそのまま適用して、$F'(x) = \frac{1}{x}$ です。 実際、$F(x) = \ln x$（$x > 0$）ですから、$F'(x) = \frac{1}{x}$ は直接微分しても確認できます。 この例は、自然対数 $\ln x$ が定積分で定義できることも示しています。
積分の上端が $x$ そのものではなく $x$ の関数のとき、合成関数の微分法（連鎖律）と基本定理を組み合わせます。
例3：$G(x) = \int_0^{x^2} e^{-t^2}\,dt$ のとき、$G'(x)$ を求めます。
$u = x^2$ とおくと、$G(x) = \int_0^u e^{-t^2}\,dt$ です。基本定理の第1部より、$\frac{d}{du}\int_0^u e^{-t^2}\,dt = e^{-u^2}$ です。 連鎖律により、
$$G'(x) = \frac{d}{du}\int_0^u e^{-t^2}\,dt \cdot \frac{du}{dx} = e^{-u^2} \cdot 2x = 2x \cdot e^{-x^4}$$
なお、$e^{-t^2}$ の原始関数は初等関数では表せません。にもかかわらず、基本定理を使えば $G'(x)$ は求められます。 これは基本定理の重要な応用です。原始関数を具体的に書き下せなくても、定積分で定義された関数の微分は計算できるのです。
例4：$H(x) = \int_{x}^{x^3} \cos(t^2)\,dt$ のとき、$H'(x)$ を求めます。
定積分の区間を分割します。適当な定数 $a$ を用いて、
$$H(x) = \int_a^{x^3} \cos(t^2)\,dt - \int_a^{x} \cos(t^2)\,dt$$
各項に基本定理の第1部と連鎖律を適用すると、
$$H'(x) = \cos((x^3)^2) \cdot 3x^2 - \cos(x^2) \cdot 1 = 3x^2 \cos(x^6) - \cos(x^2)$$
例3で出てきた $e^{-t^2}$ のように、初等関数の原始関数が初等関数では表せない場合があります。このとき定積分の値を求めるには、数値計算（シンプソンの公式など）や特殊関数（ガウスの誤差関数 $\mathrm{erf}$ など）を使います。しかし、微積分学の基本定理の第1部を使えば、$\frac{d}{dx}\int_a^x e^{-t^2}\,dt = e^{-x^2}$ のように微分は直ちに計算できます。基本定理は、原始関数を明示的に書けない場合にも有効な道具です。
以上のように、微積分学の基本定理は高校で使ってきた定積分の計算公式の根拠を与えるだけでなく、 合成関数との組み合わせなど、より高度な計算にも直接応用できます。
Q1. 微積分学の基本定理の第1部が成り立つために、$f$ に課す条件は何ですか。
Q2. 「面積関数を微分するともとの関数に戻る」ことを、面積の変化量を使って直感的に説明してください。
Q3. 基本定理の第2部の証明で、「導関数が $0$ の関数は定数」という事実はどこで使われていますか。
Q4. $\frac{d}{dx}\int_0^{x^3} \sin(t^2)\,dt$ を求めてください。
微積分学の基本定理の第1部を述べてください。特に、$f$ に課す条件、面積関数 $F(x)$ の定義、そして結論を明確に書いてください。
$f$ が区間 $[a, b]$ 上で連続であるとき、$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$（$a \le x \le b$）と定義すると、$F$ は $[a, b]$ 上で微分可能であり、$F'(x) = f(x)$ が成り立つ。
第1部の定義を正確に述べるには、(1) $f$ の連続性、(2) 面積関数の定義式、(3) 結論 $F'(x) = f(x)$ の三点が必要です。特に、積分変数 $t$ と上端 $x$ を区別することが大切です。
次の関数 $F(x)$ の導関数 $F'(x)$ を求めてください。
(a) $F(x) = \int_2^x (3t^2 + 1)\,dt$
(b) $F(x) = \int_0^x e^{t^3}\,dt$
(a) $F'(x) = 3x^2 + 1$
(b) $F'(x) = e^{x^3}$
いずれも基本定理の第1部をそのまま適用します。被積分関数の $t$ を $x$ に置き換えたものが答えです。
(a) は $f(t) = 3t^2 + 1$ が連続なので、$F'(x) = f(x) = 3x^2 + 1$ です。実際に $F(x) = \int_2^x (3t^2+1)\,dt = [t^3+t]_2^x = x^3 + x - 10$ なので、$F'(x) = 3x^2 + 1$ と一致します。
(b) は $f(t) = e^{t^3}$ が連続なので、$F'(x) = e^{x^3}$ です。$e^{t^3}$ の原始関数は初等関数では表せませんが、基本定理を使えば微分は直ちに求められます。
次の関数の導関数を求めてください。基本定理の第1部と連鎖律を組み合わせて解きます。
(a) $G(x) = \int_1^{x^2} \ln t\,dt$
(b) $H(x) = \int_x^{x^2} \frac{1}{1+t^4}\,dt$
(a) $G'(x) = 2x \ln(x^2) = 4x \ln x$（ただし $x > 0$）
(b) $H'(x) = \frac{2x}{1+x^8} - \frac{1}{1+x^4}$
(a) $u = x^2$ とおくと、$G(x) = \int_1^u \ln t\,dt$ です。基本定理の第1部より $\frac{d}{du}\int_1^u \ln t\,dt = \ln u$ です。連鎖律により $G'(x) = \ln u \cdot \frac{du}{dx} = \ln(x^2) \cdot 2x = 2x \cdot 2\ln x = 4x \ln x$ です。
(b) 定数 $a$ を用いて $H(x) = \int_a^{x^2} \frac{1}{1+t^4}\,dt - \int_a^{x} \frac{1}{1+t^4}\,dt$ と分割します。各項に基本定理と連鎖律を適用すると、$H'(x) = \frac{1}{1+(x^2)^4} \cdot 2x - \frac{1}{1+x^4} \cdot 1 = \frac{2x}{1+x^8} - \frac{1}{1+x^4}$ です。
微積分学の基本定理の第2部を使って、次の定積分を計算してください。
(a) $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$
(b) $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$
(c) $\displaystyle\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$
(a) $1$ (b) $1$ (c) $2$
(a) $\frac{1}{x}$ の原始関数は $\ln x$ です。$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = [\ln x]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$
(b) $\cos x$ の原始関数は $\sin x$ です。$\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx = [\sin x]_0^{\pi/2} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$
(c) $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ の原始関数は $2x^{1/2} = 2\sqrt{x}$ です。$\int_1^4 x^{-1/2}\,dx = [2\sqrt{x}]_1^4 = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2$
$f$ を $[a, b]$ 上の連続関数、$G$ を $f$ の任意の原始関数とする。微積分学の基本定理の第2部、すなわち $\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)$ を、第1部の結果を用いて証明してください。
（ヒント：面積関数 $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ と $G(x)$ の差を考える）
$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ とおく。第1部より $F'(x) = f(x)$ である。
仮定より $G'(x) = f(x)$ なので、$H(x) = G(x) - F(x)$ とおくと $H'(x) = G'(x) - F'(x) = 0$ である。
平均値の定理より、$[a, b]$ 上で $H'(x) = 0$ ならば $H(x)$ は定数である。よって $G(x) = F(x) + C$（$C$ は定数）。
$x = a$ とすると $G(a) = F(a) + C = 0 + C = C$ なので $C = G(a)$。
$x = b$ とすると $G(b) = F(b) + G(a) = \int_a^b f(t)\,dt + G(a)$。
したがって $\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)$。$\square$
この証明の構造は、本文のセクション4と同じです。ポイントは三つあります。(1) 第1部により面積関数 $F$ が原始関数であること、(2) 二つの原始関数の差の導関数が $0$ なので定数差しかないこと、(3) $F(a) = 0$ を使って定数を特定すること。特に (2) は平均値の定理を根拠としており、「導関数が $0$ ならば定数」は自明でなく証明を要する事実です。