x 軸まわりの回転体は前回学びました。では y 軸まわりに回転させたらどうなるでしょうか。考え方はまったく同じです。ただし、積分変数を y に変えて $x = f(y)$ の形を利用するという「発想の転換」が鍵になります。x と y の立場を入れ替えるだけで、同じ公式が使えることを理解しましょう。
x 軸まわりの回転体では、x 軸に垂直な断面（y 軸方向に切った断面）が円になりました。y 軸まわりの回転体では、y 軸に垂直な断面（x 軸方向に切った断面）が円になります。
y 座標が $y$ の位置で y 軸に垂直に切ると、断面は半径 $|x|$ の円です。ここで $x$ は曲線上の点の x 座標であり、$y$ の関数として $x = f(y)$ と表す必要があります。
x 軸まわりの公式 $V = \pi\int_a^b\{f(x)\}^2\,dx$ で「x」と「y」を入れ替えると、y 軸まわりの公式が得られます。
$$V = \pi\int_c^d\{f(y)\}^2\,dy$$
ここで $x = f(y)$ は曲線を $y$ の関数として表したもので、積分区間 $[c, d]$ は y 座標の範囲です。原理は「断面が円になるから断面積を積分する」という x 軸まわりと完全に同じです。
数学的にはまったく同じ構造です。x 軸まわりでは「x で積分して y の2乗を被積分関数にする」のに対し、y 軸まわりでは「y で積分して x の2乗を被積分関数にする」だけです。
✗ 誤：$V = \pi\int_0^1\{f(y)\}^2\,dy$ の積分区間に x の値を入れてしまう
○ 正：積分変数が $y$ なので、積分区間も y 座標の範囲 $[c, d]$ にする
変数を入れ替えたら、積分区間も必ず対応する軸の値に変えてください。
曲線 $x = f(y)$（$f(y) \ge 0$）と y 軸および直線 $y = c$, $y = d$ で囲まれた領域を y 軸まわりに1回転させた立体の体積：
$$V = \pi\int_c^d \{f(y)\}^2\,dy$$
※ $x = f(y)$ は、$y = g(x)$ の逆関数 $x = g^{-1}(y)$ を用いることが多いです。
y 座標が $y$ の位置で回転体を y 軸に垂直に切ると、断面は半径 $|f(y)|$ の円です。
断面積 $S(y) = \pi\{f(y)\}^2$ を $c$ から $d$ まで積分すると：
$$V = \int_c^d S(y)\,dy = \pi\int_c^d \{f(y)\}^2\,dy$$
x 軸まわりの導出で $x$ と $y$ を入れ替えただけです。
$y = x^2$（$x \ge 0$）、$y = 0$, $y = 4$ で囲まれた領域を y 軸まわりに回転させます。
$y = x^2$ を $x$ について解くと $x = \sqrt{y}$（$x \ge 0$）。
$$V = \pi\int_0^4 (\sqrt{y})^2\,dy = \pi\int_0^4 y\,dy = \pi\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi$$
✗ 誤：$y = x^2$ の逆関数は $x = \pm\sqrt{y}$ で、両方使う
○ 正：回転させる領域に応じて $x = \sqrt{y}$（$x \ge 0$ 側）か $x = -\sqrt{y}$（$x \le 0$ 側）を選ぶ
$y = x^2$ の逆は2つの枝を持ちますが、回転体の計算では扱っている領域の x の符号に合わせて1つを選びます。$\{f(y)\}^2$ を計算するので結局 $(\sqrt{y})^2 = y$ となり符号は消えますが、概念的にはどちらの枝を使っているか意識することが大切です。
$y = x^2$ を $x = \sqrt{y}$ と書き直すのは、「x を y の関数として表す」ということです。これは逆関数を求めることに他なりません。
重要なのは、曲線自体は変わらないということです。同じ放物線を、「y を x で表すか」「x を y で表すか」の違いだけです。どちらの見方が便利かは、回転軸によって決まります。
y 軸まわりの回転体を計算するとき、$y = g(x)$ の逆関数 $x = g^{-1}(y)$ を求める必要があります。逆関数が簡単に求まる場合とそうでない場合の対処法を整理します。
| $y = g(x)$ | $x = g^{-1}(y)$ | $\{g^{-1}(y)\}^2$ |
|---|---|---|
| $y = x^2$（$x \ge 0$） | $x = \sqrt{y}$ | $y$ |
| $y = x^3$ | $x = y^{1/3}$ | $y^{2/3}$ |
| $y = e^x$ | $x = \log y$ | $(\log y)^2$ |
| $y = \sqrt{x}$ | $x = y^2$ | $y^4$ |
| $y = ax + b$ | $x = \dfrac{y - b}{a}$ | $\dfrac{(y-b)^2}{a^2}$ |
$y = g(x)$ の逆関数が明示的に求められない場合でも、置換積分を使えば y 軸まわりの回転体の体積を計算できます。
$y = g(x)$ とおくと $dy = g'(x)\,dx$ なので：
$$V = \pi\int_c^d x^2\,dy = \pi\int_{\alpha}^{\beta} x^2 \cdot g'(x)\,dx$$
ここで $\alpha, \beta$ は $g(\alpha) = c$, $g(\beta) = d$ を満たす x の値です。
曲線 $y = g(x)$ で $x = \alpha$ から $x = \beta$ の部分と y 軸で囲まれた領域を y 軸まわりに回転：
$$V = \pi\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)} x^2\,dy = \pi\int_{\alpha}^{\beta} x^2 g'(x)\,dx$$
※ 逆関数が求めにくいときは、この置換積分版が便利です。
$y = e^x$（$0 \le x \le 1$）と y 軸、$y = 1$, $y = e$ で囲まれた領域を y 軸まわりに回転させます。
逆関数は $x = \log y$ なので：
$$V = \pi\int_1^e (\log y)^2\,dy$$
部分積分を繰り返して計算します。$\int(\log y)^2\,dy = y(\log y)^2 - 2y\log y + 2y + C$ より：
$$V = \pi\left[y(\log y)^2 - 2y\log y + 2y\right]_1^e = \pi\left[(e \cdot 1 - 2e + 2e) - (0 - 0 + 2)\right] = \pi(e - 2)$$
$I_n = \int(\log y)^n\,dy$ とおくと、部分積分により $I_n = y(\log y)^n - nI_{n-1}$ という漸化式が得られます。$I_0 = y$ を出発点に順に計算できます。この「部分積分で次数を下げる」テクニックは、$\int x^n e^x\,dx$ などでも現れる一般的な手法です。
✗ 誤：$\int(\log y)^2\,dy$ で $u = 1$, $dv = (\log y)^2\,dy$ とおく
○ 正：$u = (\log y)^2$, $dv = dy$ とおく（$\log$ を微分で消す方向）
$\log$ は微分すると $\dfrac{1}{y}$ となり次数が下がるので、$\log$ を含む因子を $u$ に選びます。
x 軸まわりのワッシャー法と同じ考え方を y 軸まわりにも適用できます。y 軸に垂直な断面が円環（ワッシャー）になる場合です。
$x = f_1(y)$ と $x = f_2(y)$（$|f_1(y)| \ge |f_2(y)| \ge 0$）で囲まれた領域を y 軸まわりに回転：
$$V = \pi\int_c^d\left[\{f_1(y)\}^2 - \{f_2(y)\}^2\right]\,dy$$
※ x 軸まわりの公式と同じ構造です。「外側の2乗 $-$ 内側の2乗」を y で積分します。
$y = x^2$ と $y = 2x$（$x \ge 0$）で囲まれた領域を y 軸まわりに回転させます。
交点：$x^2 = 2x$ より $x = 0, 2$。対応する y 座標は $y = 0, 4$。
$x = \sqrt{y}$（放物線）と $x = \dfrac{y}{2}$（直線）について、$0 \le y \le 4$ で $\sqrt{y} \ge \dfrac{y}{2}$（放物線の方が y 軸から遠い）。
$$V = \pi\int_0^4\left[(\sqrt{y})^2 - \left(\frac{y}{2}\right)^2\right]\,dy = \pi\int_0^4\left(y - \frac{y^2}{4}\right)\,dy$$
$$= \pi\left[\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{12}\right]_0^4 = \pi\left(8 - \frac{16}{3}\right) = \frac{8\pi}{3}$$
上の例で、同じ領域を x 軸まわりに回転させると $V = \pi\int_0^2[(2x)^2 - (x^2)^2]\,dx = \dfrac{64\pi}{15}$ です。y 軸まわりの $\dfrac{8\pi}{3}$ とは異なります。
回転軸が変わると断面の形状が変わるので、同じ領域を回転させても体積は一般に異なります。
回転体の体積を求める問題では、x 軸まわりと y 軸まわりのどちらの公式を使うかを判断する必要があります。判断基準を整理しましょう。
Step 1：回転軸を確認する
Step 2：積分変数を決める
Step 3：曲線の式を変換する
✗ 誤：y 軸まわりの回転体なのに $V = \pi\int\{g(x)\}^2\,dx$ と書く
○ 正：y 軸まわりなら $V = \pi\int\{f(y)\}^2\,dy$ と y で積分する
回転軸と積分変数の対応を覚えましょう。回転軸の方向に薄く切って積み重ねるので、回転軸が x 軸なら $dx$、y 軸なら $dy$ で積分します。
| x 軸まわり | y 軸まわり | |
|---|---|---|
| 断面の切り方 | x 軸に垂直に切る | y 軸に垂直に切る |
| 断面の形 | 半径 $|y|$ の円 | 半径 $|x|$ の円 |
| 積分変数 | $x$ | $y$ |
| 被積分関数 | $\{y\}^2 = \{f(x)\}^2$ | $\{x\}^2 = \{f(y)\}^2$ |
| 曲線の表し方 | $y = f(x)$ | $x = f(y)$（逆関数） |
逆関数が求めにくい場合、y 軸まわりの回転体を $x$ のまま積分する方法があります。これが次回学ぶバウムクーヘン積分（殻積分）です。薄い円筒殻を積み重ねる発想で、$V = 2\pi\int_a^b xf(x)\,dx$ という公式が得られます。ディスク法が不便なときの強力な代替手段です。
Q1. y 軸まわりの回転体の体積公式で、積分変数は何ですか。
Q2. $y = x^2$（$x \ge 0$）を y 軸まわりの回転体として扱うとき、$x$ を $y$ の関数としてどう表しますか。
Q3. $y = e^x$ の逆関数は何ですか。
Q4. 回転軸が y 軸のとき、断面をどの方向に切りますか。
Q5. 逆関数が求めにくい場合、y 軸まわりの回転体の体積を計算する別の方法は何ですか。
$y = x^3$（$0 \le x \le 2$）と y 軸および直線 $y = 8$ で囲まれた領域を y 軸まわりに1回転させた立体の体積を求めよ。
$y = x^3$ より $x = y^{1/3}$（$x \ge 0$）。$x = 0$ で $y = 0$、$x = 2$ で $y = 8$。
$$V = \pi\int_0^8 (y^{1/3})^2\,dy = \pi\int_0^8 y^{2/3}\,dy$$
$$= \pi\left[\frac{y^{5/3}}{5/3}\right]_0^8 = \pi \cdot \frac{3}{5}\left[y^{5/3}\right]_0^8 = \frac{3\pi}{5} \cdot 8^{5/3}$$
$8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$ より $V = \dfrac{96\pi}{5}$
曲線 $y = \log x$（$1 \le x \le e^2$）と x 軸および直線 $x = 1$ で囲まれた領域を y 軸まわりに1回転させた立体の体積を求めよ。
$y = \log x$ より $x = e^y$。$x = 1$ で $y = 0$、$x = e^2$ で $y = 2$。
y 軸からの距離は $e^y$（曲線）と $1$（直線 $x = 1$）。$y \ge 0$ で $e^y \ge 1$ なので曲線が外側。
$$V = \pi\int_0^2\left[(e^y)^2 - 1^2\right]\,dy = \pi\int_0^2(e^{2y} - 1)\,dy$$
$$= \pi\left[\frac{e^{2y}}{2} - y\right]_0^2 = \pi\left[\left(\frac{e^4}{2} - 2\right) - \frac{1}{2}\right] = \pi\left(\frac{e^4 - 1}{2} - 2\right) = \frac{\pi(e^4 - 5)}{2}$$
曲線 $y = \sin x$（$0 \le x \le \pi$）と x 軸で囲まれた領域を y 軸まわりに1回転させた立体の体積を求めよ。
（ヒント：置換積分 $V = \pi\int x^2 \cos x\,dx$ を利用せよ。）
$y = \sin x$ は $[0, \pi]$ で $y \ge 0$、$y$ の範囲は $[0, 1]$。
$y = \sin x$ の逆関数は $[0, \pi]$ で一意に定まらないため、置換積分を用います。
$0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ の部分と $\dfrac{\pi}{2} \le x \le \pi$ の部分に分けて考えます。
y 座標 $y$ での断面は、$\sin x_1 = y$（$0 \le x_1 \le \dfrac{\pi}{2}$）と $\sin x_2 = y$（$\dfrac{\pi}{2} \le x_2 \le \pi$、つまり $x_2 = \pi - x_1$）の2点があります。
断面は外半径 $x_2 = \pi - \arcsin y$、内半径 $x_1 = \arcsin y$ の円環です。
$$V = \pi\int_0^1\left[(\pi - \arcsin y)^2 - (\arcsin y)^2\right]\,dy$$
$y = \sin x$, $dy = \cos x\,dx$ で置換：$y: 0 \to 1$ に対応して $x: 0 \to \dfrac{\pi}{2}$。
$$(\pi - \arcsin y)^2 - (\arcsin y)^2 = (\pi - x)^2 - x^2 = \pi^2 - 2\pi x$$
$$V = \pi\int_0^{\pi/2}(\pi^2 - 2\pi x)\cos x\,dx = \pi\left[\pi^2\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx - 2\pi\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx\right]$$
$\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = 1$
$\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx = [x\sin x]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2}\sin x\,dx = \dfrac{\pi}{2} - 1$（部分積分）
$$V = \pi\left[\pi^2 - 2\pi\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)\right] = \pi\left[\pi^2 - \pi^2 + 2\pi\right] = 2\pi^2$$
曲線 $y = 1 - x^2$（$x \ge 0$）と x 軸および y 軸で囲まれた領域を $D$ とする。
(1) $D$ を x 軸まわりに1回転させた立体の体積 $V_x$ を求めよ。
(2) $D$ を y 軸まわりに1回転させた立体の体積 $V_y$ を求めよ。
(3) $V_x$ と $V_y$ の大小を比較せよ。
(1) $y = 1 - x^2$ と x 軸の交点は $x = 1$（$x \ge 0$）。
$$V_x = \pi\int_0^1(1-x^2)^2\,dx = \pi\int_0^1(1 - 2x^2 + x^4)\,dx$$
$$= \pi\left[x - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}\right) = \frac{8\pi}{15}$$
(2) $y = 1 - x^2$ より $x^2 = 1 - y$、$x = \sqrt{1-y}$（$x \ge 0$）。$y$ の範囲は $[0, 1]$。
$$V_y = \pi\int_0^1(\sqrt{1-y})^2\,dy = \pi\int_0^1(1-y)\,dy = \pi\left[y - \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = \frac{\pi}{2}$$
(3) $V_x = \dfrac{8\pi}{15} \approx 0.533\pi$、$V_y = \dfrac{\pi}{2} = 0.5\pi$。
よって $V_x > V_y$。
同じ領域でも回転軸が異なれば体積は異なります。x 軸まわりの方が大きくなったのは、この領域が x 軸から相対的に遠い位置にあるためです。回転体の体積は回転軸からの距離の2乗に比例するため、軸からの距離分布が体積に大きく影響します。