曲線を x 軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求める方法を学びます。1つの曲線による回転体だけでなく、2つの曲線に挟まれた領域を回転させた「ドーナツ型」の体積まで、公式の原理から丁寧に解説します。積分で体積を求める考え方の核心は「薄い円板の積み重ね」にあります。
面積を求めるとき、曲線の下の領域を「薄い長方形の集まり」と見なして積分しました。体積でも同じ発想を使います。回転体を x 軸に垂直な面で切ると、その断面は円（または円環）になります。この薄い円板を積み重ねることで体積が得られるのです。
回転体の体積は「x 軸に垂直な断面の面積 $S(x)$ を $a$ から $b$ まで積分する」ことで得られます。
$$V = \int_a^b S(x)\,dx$$
回転体の場合、断面が円になるので $S(x) = \pi\{f(x)\}^2$ です。これが回転体の体積公式の原理です。面積のときの「短冊の積み重ね」が、体積では「円板の積み重ね」に変わっただけです。
この考え方はディスク法（disk method）と呼ばれます。x 軸に垂直に切った断面が「ディスク（円板）」になることからこの名前がついています。
✗ 誤：回転のアニメーションをイメージして、なんとなく公式を使う
○ 正：x 座標で切った断面が円であることを確認してから公式を適用する
回転体の体積公式は「断面積の積分」の特殊ケースです。断面が円であることを意識すれば、公式の $\pi$ がどこから来るのかが明確になります。
曲線 $y = f(x)$（$f(x) \ge 0$）と x 軸で囲まれた領域を x 軸まわりに回転させた立体の体積を求めます。
x 座標が $x$ の位置で回転体を x 軸に垂直に切ると、断面は半径 $|f(x)|$ の円です。したがって断面積は $S(x) = \pi\{f(x)\}^2$ となります。
曲線 $y = f(x)$ と x 軸および直線 $x = a$, $x = b$ で囲まれた領域を x 軸まわりに1回転させた立体の体積：
$$V = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx$$
※ $f(x)$ の符号に関わらず $\{f(x)\}^2 \ge 0$ なので、$f(x)$ が負の部分でも同じ公式が使えます。
区間 $[a, b]$ を $n$ 等分し、幅 $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$ の薄い円板に分割します。
$x = x_k$ における円板の体積は $\Delta V_k \approx \pi\{f(x_k)\}^2 \cdot \Delta x$ です。
全体の体積は：
$$V = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\pi\{f(x_k)\}^2\Delta x = \pi\int_a^b\{f(x)\}^2\,dx$$
これは区分求積法そのものです。分割を細かくする極限で、リーマン和が定積分に収束します。
$y = \sqrt{x}$（$0 \le x \le 4$）を x 軸まわりに回転させた立体の体積を求めてみましょう。
$\{f(x)\}^2 = (\sqrt{x})^2 = x$ より：
$$V = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi$$
この立体は「放物面」と呼ばれる形で、先端が尖り底面が半径 $2$ の円です。
✗ 誤：$V = \pi\int_a^b f(x)\,dx$（面積に $\pi$ をかけただけ）
○ 正：$V = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx$（断面積 $= \pi r^2$ の $r = f(x)$）
面積の公式 $\int f(x)\,dx$ と混同しやすいので注意してください。体積では断面が円なので、半径を2乗する必要があります。
面積は「長さ $\times$ 幅」の2次元量、体積は「面積 $\times$ 厚さ」の3次元量です。回転体では断面積が $\pi r^2$ で、$r = f(x)$ を2乗しています。もし $f(x)$ を2乗しなければ、次元が合いません（長さ $\times$ 幅 = 面積になってしまいます）。次元解析は公式の正しさを確認する強力なツールです。
2つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ に挟まれた領域を x 軸まわりに回転させると、断面は円環（ドーナツの断面）になります。これをワッシャー法（washer method）と呼びます。
区間 $[a, b]$ で $|f(x)| \ge |g(x)|$ のとき、x 座標 $x$ での断面は外半径 $|f(x)|$、内半径 $|g(x)|$ の円環です。その面積は：
$$S(x) = \pi\{f(x)\}^2 - \pi\{g(x)\}^2 = \pi\left[\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2\right]$$
$|f(x)| \ge |g(x)|$ のとき、2曲線 $y = f(x)$, $y = g(x)$ と直線 $x = a$, $x = b$ で囲まれた領域を x 軸まわりに回転させた立体の体積：
$$V = \pi\int_a^b \left[\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2\right]\,dx$$
※ 外側の曲線の2乗から内側の曲線の2乗を引きます。「大きい円 $-$ 小さい円」で円環の面積を出しています。
2曲線間の回転体の体積は $\pi\int\{f(x)\}^2\,dx - \pi\int\{g(x)\}^2\,dx$ です。つまり、外側の回転体の体積から内側の回転体の体積を引くのです。
ここで重要なのは「$f(x)$ と $g(x)$ の差を先に取ってから2乗する」のではないということです。$\{f(x) - g(x)\}^2 \neq \{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2$ に注意してください。
✗ 誤：$V = \pi\int_a^b \{f(x) - g(x)\}^2\,dx$
○ 正：$V = \pi\int_a^b \left[\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2\right]\,dx$
$\{f - g\}^2 = f^2 - 2fg + g^2$ ですが、正しくは $f^2 - g^2$ です。これは面積の公式 $\int\{f(x) - g(x)\}\,dx$ との類推で間違えやすいポイントです。体積ではそれぞれ2乗してから引くのが正しい操作です。
面積では「上の曲線 $-$ 下の曲線」の差を積分しますが、体積では事情が異なります。断面が円環であることを思い出しましょう。円環の面積は「大きい円の面積 $-$ 小さい円の面積」で、これは $\pi R^2 - \pi r^2$ です。$\pi(R - r)^2$ ではありません。
具体的に見てみます。$f(x) = 3$, $g(x) = 1$ のとき：
2曲線間の回転体の体積はパップスの定理（重心を通る経路の長さ $\times$ 面積）でも計算できます。パップスの定理は「回転体の体積 $=$ 断面積 $\times$ 重心が描く円周の長さ」という美しい公式ですが、高校範囲では直接使うことは少なく、主にディスク法やワッシャー法で解きます。大学の力学ではこの定理が活躍します。
ここでは、入試でよく出題されるパターンを具体例で見ていきます。
$y = x^2$ と $y = x$ で囲まれた領域を x 軸まわりに回転させた立体の体積を求めます。
まず交点を求めます。$x^2 = x$ より $x(x-1) = 0$、すなわち $x = 0, 1$ です。
$0 \le x \le 1$ で $x \ge x^2$（直線が上側）なので、x 軸から遠い方が $y = x$、近い方が $y = x^2$ です。
$$V = \pi\int_0^1\left[x^2 - (x^2)^2\right]\,dx = \pi\int_0^1(x^2 - x^4)\,dx$$
$$= \pi\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}$$
$y = \sin x$（$0 \le x \le \pi$）を x 軸まわりに回転させた立体の体積を求めます。
$$V = \pi\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx$$
半角公式 $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いて：
$$V = \pi\int_0^{\pi}\frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{\pi}{2}\left[x - \frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2} \cdot \pi = \frac{\pi^2}{2}$$
✗ 誤：$\int\sin^2 x\,dx$ をそのまま計算しようとする
○ 正：半角公式 $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$ で次数を下げてから積分する
回転体の体積では $\{f(x)\}^2$ の積分が必ず現れます。三角関数の場合は半角公式が必須テクニックです。
$y = e^x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 1$ で囲まれた領域を x 軸まわりに回転させた立体の体積を求めます。
$$V = \pi\int_0^1 (e^x)^2\,dx = \pi\int_0^1 e^{2x}\,dx = \pi\left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_0^1 = \frac{\pi(e^2 - 1)}{2}$$
回転体の体積では $\{f(x)\}^2$ を先に計算・整理してから積分するのが鉄則です。
三角関数：半角公式で次数を下げる（$\sin^2 x$, $\cos^2 x$）
指数関数：$(e^x)^2 = e^{2x}$ と指数法則で整理する
多項式：展開して各項を積分する
2曲線の x 軸からの距離の大小が途中で入れ替わる場合、区間を分割して計算する必要があります。
たとえば $y = f(x)$ が区間の途中で x 軸の上側から下側に移る場合を考えます。回転体の体積公式 $V = \pi\int\{f(x)\}^2\,dx$ では $\{f(x)\}^2$ が常に非負なので、$f(x)$ の正負は体積に影響しません。
しかし、2曲線の場合は注意が必要です。x 軸からの距離（絶対値）で外側・内側が決まるため、$f(x)$ と $g(x)$ の正負によって「どちらが外側か」が変わることがあります。
✗ 誤：面積と同じように「上 $-$ 下」で公式に代入する
○ 正：x 軸からの距離で「外側」と「内側」を判定する
面積では「上の曲線 $-$ 下の曲線」ですが、回転体の体積では「x 軸から遠い曲線」が外側です。たとえば $f(x) = -3$ と $g(x) = 1$ では、x 軸から遠いのは $f(x)$ です（$|{-3}| > |1|$）。この場合、$\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2 = 9 - 1 = 8$ が正しい断面積です。
$y = x$ と $y = x^2 - 2$ で囲まれた領域を x 軸まわりに回転させる場合を考えます。
交点は $x = x^2 - 2$ より $x^2 - x - 2 = 0$、$(x-2)(x+1) = 0$、すなわち $x = -1, 2$ です。
区間 $[-1, 2]$ で、x 軸からの距離の大小関係は：
$|f(x)|$ と $|g(x)|$ の大小が途中で入れ替わるため、$|f(x)|^2 = |g(x)|^2$ となる点を求めて区間を分割します。$x^2 = (x^2 - 2)^2$ を解いて分割点を見つけ、各区間で $\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2$ の正負を確認してから積分します。
このように複雑な場合は、まず図を描いて x 軸からの距離の大小を視覚的に把握してから立式することが大切です。
断面積の積分で体積を求める方法の背景にはカヴァリエリの原理があります。「対応するすべての断面の面積が等しい2つの立体は、体積も等しい」という原理です。回転体の体積公式はこの原理の直接的な応用であり、断面積さえ分かればどんな立体でも体積が計算できるという一般性を持っています。
Q1. 回転体の体積公式 $V = \pi\int_a^b\{f(x)\}^2\,dx$ で、$\{f(x)\}^2$ は何を表していますか。
Q2. $y = x^2$（$0 \le x \le 1$）を x 軸まわりに回転させた体積を求めてください。
Q3. 2曲線間の回転体で $\pi\int\{f(x) - g(x)\}^2\,dx$ と計算するのが間違いである理由は何ですか。
Q4. $\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx$ を計算するときに使う公式は何ですか。
Q5. $y = e^x$ を x 軸まわりに回転させるとき、$(e^x)^2$ はどう整理しますか。
$y = \sqrt{x}$ と $y = x$ で囲まれた領域を x 軸まわりに1回転させた立体の体積を求めよ。
交点：$\sqrt{x} = x$ より $x = x^2$、$x(x-1) = 0$、$x = 0, 1$。
$0 \le x \le 1$ で $\sqrt{x} \ge x$（$\sqrt{x}$ が x 軸から遠い）なので：
$$V = \pi\int_0^1\left[(\sqrt{x})^2 - x^2\right]\,dx = \pi\int_0^1(x - x^2)\,dx$$
$$= \pi\left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$$
$y = \cos x$ と $y = \sin x$ および $x = 0$ で囲まれた領域（$0 \le x \le \dfrac{\pi}{4}$）を x 軸まわりに1回転させた立体の体積を求めよ。
$0 \le x \le \dfrac{\pi}{4}$ で $\cos x \ge \sin x \ge 0$ なので $\cos x$ が外側。
$$V = \pi\int_0^{\pi/4}\left(\cos^2 x - \sin^2 x\right)\,dx = \pi\int_0^{\pi/4}\cos 2x\,dx$$
ここで $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$（2倍角の公式）を利用しました。
$$= \pi\left[\frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi/4} = \pi \cdot \frac{\sin\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{2}$$
曲線 $y = e^{-x}$ と直線 $y = e^{-1}$ および y 軸で囲まれた領域を x 軸まわりに1回転させた立体の体積を求めよ。
交点：$e^{-x} = e^{-1}$ より $x = 1$。
$0 \le x \le 1$ で $e^{-x} \ge e^{-1} > 0$ なので $e^{-x}$ が外側。
$$V = \pi\int_0^1\left[(e^{-x})^2 - (e^{-1})^2\right]\,dx = \pi\int_0^1\left(e^{-2x} - e^{-2}\right)\,dx$$
$$= \pi\left[-\frac{e^{-2x}}{2} - e^{-2}x\right]_0^1 = \pi\left[\left(-\frac{e^{-2}}{2} - e^{-2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right)\right]$$
$$= \pi\left(-\frac{3e^{-2}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{2}\left(1 - \frac{3}{e^2}\right) = \frac{\pi(e^2 - 3)}{2e^2}$$
$a > 0$ とする。曲線 $y = x^2$ と直線 $y = ax$ で囲まれた領域を x 軸まわりに1回転させた立体の体積 $V(a)$ を求めよ。また、$V(a)$ が最小となる $a$ の値を求めよ。
交点：$x^2 = ax$ より $x(x - a) = 0$、$x = 0, a$。
$0 \le x \le a$ で $ax \ge x^2$（直線が上側かつ x 軸から遠い）。
$$V(a) = \pi\int_0^a\left[(ax)^2 - (x^2)^2\right]\,dx = \pi\int_0^a(a^2 x^2 - x^4)\,dx$$
$$= \pi\left[\frac{a^2 x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^a = \pi\left(\frac{a^5}{3} - \frac{a^5}{5}\right) = \frac{2\pi a^5}{15}$$
$V(a) = \dfrac{2\pi}{15}a^5$ は $a > 0$ で単調増加なので、$a > 0$ の範囲で最小値は存在しません（$a \to +0$ で $V \to 0$）。
ただし、「$a \ge 1$ のとき最小」など条件が付けば $a = 1$ で最小値 $\dfrac{2\pi}{15}$ です。
パラメータを含む回転体の問題では、まず体積を $a$ の関数として求め、次にその関数の最大・最小を議論します。本問では $V(a) = \dfrac{2\pi}{15}a^5$ と明快な結果になりますが、交点の座標自体が $a$ に依存するため、積分の上端も $a$ であることに注意が必要です。