極値の判定（第2次導関数テスト）
─ $f''(a)$ の符号で極大・極小を見分ける

$f'(a) = 0$ かつ $f''(a) > 0$ とする。$f''(a) > 0$ の定義より：

$$f''(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(a+h) - f'(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(a+h)}{h} > 0$$

$h \to 0$ でこの極限が正なので、十分小さい $|h|$ に対して $\dfrac{f'(a+h)}{h} > 0$ が成り立つ。

$h < 0$ のとき $f'(a+h) < 0$（分子と分母が異符号）、$h > 0$ のとき $f'(a+h) > 0$（分子と分母が同符号）。

すなわち $x = a$ の前後で $f'(x)$ は負 $\to$ 正に変化するので、第1次導関数テストより $f(a)$ は極小値。 $\square$

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$。$f'(x) = 0$ のとき $x = -1, 1$。

$f''(x) = 6x$ より：

$f''(-1) = -6 < 0$ $\Rightarrow$ $x = -1$ で極大値 $f(-1) = -1+3+1 = 3$

$f''(1) = 6 > 0$ $\Rightarrow$ $x = 1$ で極小値 $f(1) = 1-3+1 = -1$

$f'(x) = e^x - e$。$f'(x) = 0$ のとき $e^x = e$、すなわち $x = 1$。

$f''(x) = e^x$ より：

$f''(1) = e > 0$ $\Rightarrow$ $x = 1$ で極小値 $f(1) = e - e = 0$

$f'(x) = \cos x + \cos 2x = \cos x + 2\cos^2 x - 1 = (2\cos x - 1)(\cos x + 1)$

$f'(x) = 0$ のとき：$\cos x = \dfrac{1}{2}$ すなわち $x = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}$、または $\cos x = -1$ すなわち $x = \pi$。

$f''(x) = -\sin x - 2\sin 2x = -\sin x - 4\sin x \cos x = -\sin x(1 + 4\cos x)$

$x = \dfrac{\pi}{3}$：$f''\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}(1+2) = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2} < 0$ $\Rightarrow$ 極大値

$f\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

$x = \pi$：$f''(\pi) = -0 \cdot (1-4) = 0$ $\Rightarrow$ 判定不能（第1次テストが必要）

$x = \pi$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べると、$f'(x)$ は負 $\to$ 負で符号変化しない。よって $x = \pi$ は極値ではない。

$x = \dfrac{5\pi}{3}$：$f''\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}(1+2) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} > 0$ $\Rightarrow$ 極小値

$f\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

$f'(x) = 4x^3$, $f''(x) = 12x^2$

$f'(0) = 0$, $f''(0) = 0$ $\Rightarrow$ 第2次導関数テストでは判定不能

しかし $f'(x) = 4x^3$ は $x = 0$ の前後で負 $\to$ 正に変化するので、$x = 0$ で極小値 $0$ をとる。

$f'(x) = 3x^2$, $f''(x) = 6x$

$f'(0) = 0$, $f''(0) = 0$ $\Rightarrow$ 判定不能

$f'(x) = 3x^2 \geq 0$ で $x = 0$ の前後で符号変化なし。$x = 0$ は極値ではない。

$f'(0) = f''(0) = f'''(0) = f^{(4)}(0) = f^{(5)}(0) = 0$, $f^{(6)}(0) = 720 > 0$

$n = 6$（偶数）かつ $f^{(6)}(0) > 0$ なので、$x = 0$ で極小値 $0$ をとる。

第1次テスト：

$f'(x) = \dfrac{(1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$

$f'(x) = 0$ のとき $x = \pm 1$。$(1+x^2)^2 > 0$ なので $f'(x)$ の符号は $1-x^2$ で決まる。

$x = -1$ で極小値 $-\dfrac{1}{2}$、$x = 1$ で極大値 $\dfrac{1}{2}$。

第2次テスト：

$f''(x) = \dfrac{-2x(1+x^2)^2 - (1-x^2) \cdot 2(1+x^2) \cdot 2x}{(1+x^2)^4} = \dfrac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}$

$f''(-1) = \dfrac{2(-1)(1-3)}{(2)^3} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} > 0$ $\Rightarrow$ 極小値。$f''(1) = \dfrac{2(1)(1-3)}{8} = -\dfrac{1}{2} < 0$ $\Rightarrow$ 極大値。

この問題では $f''$ の計算がやや複雑なので、第1次テストの方が効率的です。