導関数 $f'(x)$ の符号を調べることで、関数 $f(x)$ がどの区間で増加し、どの区間で減少するかを厳密に判定できます。本記事では、導関数の符号と関数の増減の関係を定理として整理し、極大値・極小値の求め方を増減表を用いて体系的に学びます。指数関数・対数関数・三角関数を含む関数の極値も扱います。
数学IIでは多項式関数の増減を学びましたが、数学IIIではより一般の関数に対して厳密に議論します。平均値の定理を用いると、導関数の符号と関数の増減を次のように結びつけることができます。
関数 $f(x)$ が区間 $I$ で微分可能であるとき：
(1) $I$ で常に $f'(x) > 0$ ならば、$f(x)$ は $I$ で単調増加する
(2) $I$ で常に $f'(x) < 0$ ならば、$f(x)$ は $I$ で単調減少する
(3) $I$ で常に $f'(x) = 0$ ならば、$f(x)$ は $I$ で定数である
※ ここで「区間」とは開区間・閉区間のいずれでもよい。端点では微分可能でなくても、区間内部で条件を満たせばよい。
区間 $I$ 内の任意の2点 $a, b$（$a < b$）をとる。平均値の定理より：
$$f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) \quad (a < c < b)$$
を満たす $c$ が存在する。仮定より $f'(c) > 0$ であり、$b - a > 0$ なので $f(b) - f(a) > 0$、すなわち $f(a) < f(b)$ が成り立つ。よって $f(x)$ は単調増加する。
$f'(x) > 0$ とは、接線の傾きが正であることを意味します。グラフが右上がりになっている状態です。
$f'(x) < 0$ とは、接線の傾きが負であることを意味します。グラフが右下がりになっている状態です。
つまり、導関数の符号はグラフの傾きの向きを直接表しています。
$f'(x) \geq 0$（等号が有限個の点で成立）の場合も、$f(x)$ は単調増加です。例えば $f(x) = x^3$ は $f'(0) = 0$ ですが、$x = 0$ の前後で $f'(x) > 0$ なので単調増加します。ただし $f'(x) = 0$ が区間全体で成り立つと、$f(x)$ は定数関数になります。
誤：$f'(a) = 0$ となる点 $a$ があれば、$f(x)$ は $x = a$ で増加しない
正：$f'(a) = 0$ は1点での傾きが0なだけで、前後で $f'(x) > 0$ なら $f(x)$ は増加を続ける
有限個の点で $f'(x) = 0$ になることは、単調増加を妨げません。
関数の増減が切り替わる点では、関数は局所的な最大値や最小値をとります。これを極値といいます。
関数 $f(x)$ が $x = a$ を含む開区間で定義されているとき：
極大：$x = a$ の十分近くの任意の $x \neq a$ に対して $f(x) < f(a)$ が成り立つとき、$f(a)$ を極大値という
極小：$x = a$ の十分近くの任意の $x \neq a$ に対して $f(x) > f(a)$ が成り立つとき、$f(a)$ を極小値という
極大値と極小値をまとめて極値という。
$f'(a) = 0$ または $f'(a)$ が存在しない点 $x = a$ を臨界点といいます。微分可能な関数が極値をとる点は、必ず臨界点です。
$f(x)$ が $x = a$ で微分可能かつ極値をとるならば：
$$f'(a) = 0$$
※ 逆は成り立たない。$f'(a) = 0$ であっても極値をとるとは限らない（例：$f(x) = x^3$ で $f'(0) = 0$ だが極値ではない）。
誤：$f'(a) = 0$ なので $x = a$ で極値をとる
正：$f'(a) = 0$ は極値をとるための必要条件にすぎない。十分条件ではない
極値かどうかの判定には、$f'(x)$ の符号変化を確認する必要があります。
$f'(a) = 0$ のとき：
(1) $x = a$ の前後で $f'(x)$ が正 $\to$ 負に変わる $\Rightarrow$ $f(a)$ は極大値
(2) $x = a$ の前後で $f'(x)$ が負 $\to$ 正に変わる $\Rightarrow$ $f(a)$ は極小値
(3) $f'(x)$ の符号が変わらない $\Rightarrow$ $f(a)$ は極値ではない
関数の増減と極値を整理するために増減表を作成します。増減表は入試答案でも必須のツールです。
Step 1. $f'(x) = 0$ を解いて臨界点を求める
Step 2. 臨界点で数直線を区切り、各区間で $f'(x)$ の符号を調べる
Step 3. $f'(x) > 0$ の区間には $\nearrow$（増加）、$f'(x) < 0$ の区間には $\searrow$（減少）を記入
Step 4. 各臨界点での $f(x)$ の値を計算し、符号変化から極大・極小を判定する
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$
$f'(x) = 0$ とすると $x = 1, 2$。
増減表：
| $x$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ | $2$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | $\nearrow$ | $2$ | $\searrow$ | $1$ | $\nearrow$ |
$f(1) = 2 - 9 + 12 - 3 = 2$, $f(2) = 16 - 36 + 24 - 3 = 1$
よって、$x = 1$ で極大値 $2$、$x = 2$ で極小値 $1$ をとる。
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$
$f'(x) = 0$ とすると $x = 0, 3$。
| $x$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $3$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | $\searrow$ | $0$ | $\searrow$ | $-27$ | $\nearrow$ |
$f(0) = 0$, $f(3) = 81 - 108 = -27$
$x = 0$ の前後で $f'(x)$ は負 $\to$ 負なので、$x = 0$ は極値ではない。
$x = 3$ で極小値 $-27$ をとる（極大値はない）。
例題2で見たように、$f'(0) = 0$ であっても $x = 0$ の前後で $f'(x)$ の符号が変化しなければ極値ではありません。$f'(x) = 0$ が重解をもつ場合（$f'(x)$ が因数 $(x-a)^2$ をもつ場合）には注意が必要です。
数学IIIで学んだ微分法を活用して、多項式以外の関数の増減を調べましょう。
定義域は実数全体。積の微分法を用いて：
$f'(x) = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$
$e^{-x} > 0$ なので、$f'(x)$ の符号は $(1-x)$ で決まる。$f'(x) = 0$ のとき $x = 1$。
| $x$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $f(x)$ | $\nearrow$ | $\dfrac{1}{e}$ | $\searrow$ |
よって $x = 1$ で極大値 $\dfrac{1}{e}$ をとる。
$f'(x) = 1 - 2\cos x$
$f'(x) = 0$ とすると $\cos x = \dfrac{1}{2}$ より $x = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}$。
| $x$ | $0$ | $\cdots$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\cdots$ | $\dfrac{5\pi}{3}$ | $\cdots$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| $f(x)$ | $0$ | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ | $2\pi$ |
$f\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\pi}{3} - 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\pi}{3} - \sqrt{3}$（極小値）
$f\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \dfrac{5\pi}{3} - 2 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{5\pi}{3} + \sqrt{3}$（極大値）
定義域は $x > 0$。$f'(x) = \log x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \log x + 1$
$f'(x) = 0$ とすると $\log x = -1$ より $x = \dfrac{1}{e}$。
| $x$ | $(0)$ | $\cdots$ | $\dfrac{1}{e}$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | |
| $f(x)$ | $\searrow$ | $-\dfrac{1}{e}$ | $\nearrow$ |
よって $x = \dfrac{1}{e}$ で極小値 $-\dfrac{1}{e}$ をとる。
指数関数 $e^{g(x)}$ は常に正です。したがって $f'(x) = e^{g(x)} \cdot h(x)$ の形のとき、$f'(x)$ の符号は $h(x)$ の部分だけで判定できます。指数関数を含む問題ではこの事実を積極的に利用しましょう。
入試では「関数が極値をもつ条件」や「極値から係数を決定する」問題が頻出です。
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$
条件より：
(i) $f(-1) = 4$ より $-1 + a - b + 1 = 4$、すなわち $a - b = 4$ ... (A)
(ii) $f'(-1) = 0$ より $3 - 2a + b = 0$、すなわち $-2a + b = -3$ ... (B)
(A) + (B) より $-a = 1$、$a = -1$。(A) より $b = -5$。
検算：$f'(x) = 3x^2 - 2x - 5 = (3x-5)(x+1)$。$x = -1$ の前後で $f'(x)$ は正 $\to$ 負に変わるので、確かに極大。
$f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a)$
$f(x)$ が極値をもつには、$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもち、各解の前後で符号が変わればよい。
$x^2 = a$ が異なる2つの実数解 $x = \pm\sqrt{a}$ をもつ条件は $a > 0$。
$a > 0$ のとき $f'(x) = 3(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})$ で符号変化が起こるので、極値をもつ。
$a \leq 0$ のとき $f'(x) \geq 0$（$a = 0$ なら $f'(x) = 3x^2 \geq 0$、$a < 0$ なら $f'(x) > 0$）で極値をもたない。
よって、答えは $a > 0$。
3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$（$a \neq 0$）が極値をもつ条件は、$f'(x) = 0$（2次方程式）が異なる2つの実数解をもつこと、すなわち $f'(x)$ の判別式が正であることと同値です。
Q1. 関数 $f(x)$ が区間で $f'(x) > 0$ ならば、その区間で $f(x)$ はどうなるか。
Q2. $f'(a) = 0$ は $f(x)$ が $x = a$ で極値をとるための何条件か。
Q3. $f(x) = x^3 - 3x$ の極大値と極小値を求めよ。
Q4. $f(x) = xe^{-x}$ はどこで極大値をとるか。
Q5. $f(x) = x^4 - 4x^3$ において、$f'(0) = 0$ だが $x = 0$ が極値でない理由を説明せよ。
関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ の増減を調べ、極値を求めよ。
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$
$f'(x) = 0$ のとき $x = 1, 3$。
$x < 1$ で $f'(x) > 0$、$1 < x < 3$ で $f'(x) < 0$、$x > 3$ で $f'(x) > 0$。
$f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$、$f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$
よって、$x = 1$ で極大値 $6$、$x = 3$ で極小値 $2$。
関数 $f(x) = (x^2 - 2x)e^x$ の極値を求めよ。
$f'(x) = (2x-2)e^x + (x^2-2x)e^x = e^x(x^2-2) = e^x(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$
$e^x > 0$ なので、$f'(x) = 0$ のとき $x = \pm\sqrt{2}$。
$x = -\sqrt{2}$ で極大値 $f(-\sqrt{2}) = (2+2\sqrt{2})e^{-\sqrt{2}}$
$x = \sqrt{2}$ で極小値 $f(\sqrt{2}) = (2-2\sqrt{2})e^{\sqrt{2}}$
$e^x$ は常に正なので、$f'(x)$ の符号は $(x^2-2)$ で決まります。$e^x$ を「因数として無視できる」のが指数関数を含む微分のポイントです。
関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $x = 0$ で極大値 $3$、$x = 2$ で極小値 $-1$ をとるとき、$a, b, c, d$ を求めよ。
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$。条件より：
$f(0) = d = 3$, $f'(0) = c = 0$
$f(2) = 8a + 4b + d = -1$ より $8a + 4b = -4$ ... (A)
$f'(2) = 12a + 4b = 0$ より $b = -3a$ ... (B)
(B) を (A) に代入：$8a - 12a = -4$ より $a = 1$、$b = -3$。
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$。検算：$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$。
$x = 0$ の前後：正$\to$負（極大）、$x = 2$ の前後：負$\to$正（極小）。条件と整合。
$a$ を実数の定数とする。関数 $f(x) = e^x(x^2 + ax + 1)$ が極値をもつための $a$ の条件を求めよ。
$f'(x) = e^x(x^2 + ax + 1) + e^x(2x + a) = e^x(x^2 + (a+2)x + (a+1))$
$e^x > 0$ なので、$f'(x) = 0$ の実数解は $g(x) = x^2 + (a+2)x + (a+1) = 0$ の実数解に一致。
$f(x)$ が極値をもつには、$g(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもてばよい。
判別式 $D = (a+2)^2 - 4(a+1) = a^2 + 4a + 4 - 4a - 4 = a^2 > 0$
よって $a \neq 0$、すなわち$a < 0$ または $a > 0$。
（$a = 0$ のとき $g(x) = (x+1)^2$ で重解となり、$f'(x)$ は符号を変えないため極値をもたない。）
$e^x > 0$ を利用して $f'(x) = 0$ を2次方程式に帰着させるのがポイントです。判別式が $a^2$ となるため、$a = 0$ のみが除外されます。重解のとき符号変化しないことの確認も答案には書きましょう。