平均値の定理
─ 「平均の傾き」と「瞬間の傾き」をつなぐ橋

$[1, 3]$ で考えると、平均変化率は $\dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{9 - 1}{2} = 4$

$f'(c) = 2c = 4$ より $c = 2$。確かに $c = 2 \in (1, 3)$ が存在します。

幾何学的には、$(1,1)$ と $(3,9)$ を結ぶ直線の傾き $4$ に等しい接線の傾きをもつ点が $x = 2$（区間の中点）にあるということです。

$g(x) = f(x) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ とおく。

$g(a) = f(a) - 0 = f(a)$

$g(b) = f(b) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(b-a) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a)$

よって $g(a) = g(b)$ が成り立つ。

$g(x)$ は $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能なので、ロルの定理より $g'(c) = 0$ となる $c \in (a,b)$ が存在する。

$g'(x) = f'(x) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ なので：

$$g'(c) = f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0$$

$$\therefore\; f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

$f(x) = \sqrt{x}$ とおく。$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$。

$[n, n+1]$ で平均値の定理を適用すると、ある $c \in (n, n+1)$ が存在して：

$$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = f'(c) \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{c}}$$

$n < c < n+1$ なので $\sqrt{n} < \sqrt{c} < \sqrt{n+1}$、よって：

$$\frac{1}{2\sqrt{n+1}} < \frac{1}{2\sqrt{c}} < \frac{1}{2\sqrt{n}}$$

$$\therefore\; \frac{1}{2\sqrt{n+1}} < \sqrt{n+1} - \sqrt{n} < \frac{1}{2\sqrt{n}}$$

$f(x) = \log x$ とおく。$f'(x) = \dfrac{1}{x}$。

$[b, a]$ で平均値の定理を適用：ある $c \in (b, a)$ が存在して

$$\log a - \log b = \frac{1}{c}(a - b)$$

$b < c < a$ なので $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{b}$

$$\frac{a-b}{a} < \frac{a-b}{c} < \frac{a-b}{b}$$

$$\therefore\; \frac{a-b}{a} < \log\frac{a}{b} < \frac{a-b}{b}$$

$f(x) = a^x$ とおくと、$n\left(\sqrt[n]{a} - 1\right) = n\left(a^{1/n} - a^0\right) = \dfrac{f(1/n) - f(0)}{1/n}$

これは $[0, 1/n]$ における $f$ の平均変化率です。

平均値の定理より、ある $c_n \in (0, 1/n)$ が存在して：

$$\frac{f(1/n) - f(0)}{1/n} = f'(c_n) = a^{c_n} \log a$$

$n \to \infty$ のとき $0 < c_n < 1/n \to 0$ なので、はさみうちの原理より $c_n \to 0$。

$f'(c_n) = a^{c_n} \log a \to a^0 \log a = \log a$

$f(x) = \sin x$ に平均値の定理を適用すると：

$$|\sin b - \sin a| = |\cos c| \cdot |b - a| \leq |b - a|$$

これは任意の $a, b$ に対して成り立ちます。つまり $\sin$ はリプシッツ連続（Lipschitz定数 $1$）です。