関数の極値の応用
─ 最適化問題と条件付き極値

問題：$x > 0$ のとき、$f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ の最小値を求めよ。

解法1（AM-GM）：相加相乗平均の不等式より

$$x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$$

等号条件：$x = \dfrac{4}{x}$、すなわち $x = 2$（$x > 0$）。よって最小値は $4$。

解法2（微分法）：$f'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4}{x^2}$

$f'(x) = 0$ より $x = 2$（$x > 0$）。$f''(2) = \dfrac{8}{8} = 1 > 0$ より極小値。$f(2) = 4$。

問題：$0 < x < 1$ のとき、$g(x) = x(1-x)^2$ の最大値を求めよ。

解：$g'(x) = (1-x)^2 + x \cdot 2(1-x)(-1) = (1-x)(1-x-2x) = (1-x)(1-3x)$

$g'(x) = 0$ より $x = \dfrac{1}{3}$（$0 < x < 1$）。

$x = \dfrac{1}{3}$ の前後で $g'(x)$ は正から負に変わるので極大値。

$$g\!\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{27}$$

※ AM-GMで $x + (1-x) = 1$ は一定だが、$x(1-x)^2$ は2変数の積でないため直接適用しにくい。$x + \frac{1-x}{2} + \frac{1-x}{2} = 1$ と3分割すると $x \cdot \frac{1-x}{2} \cdot \frac{1-x}{2} \leq \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$ より $x(1-x)^2 \leq \frac{4}{27}$ と求まるが、テクニカルな分割が必要で微分法の方が自然。

問題：半径 $r$ の球に内接する直円柱の体積の最大値を求めよ。

解：円柱の底面の半径を $a$、高さを $2h$ とする。球に内接する条件は $a^2 + h^2 = r^2$。

体積 $V = \pi a^2 \cdot 2h = 2\pi(r^2 - h^2)h = 2\pi(r^2 h - h^3)$　（$0 < h < r$）

$\dfrac{dV}{dh} = 2\pi(r^2 - 3h^2) = 0$ より $h = \dfrac{r}{\sqrt{3}}$

$\dfrac{d^2V}{dh^2} = -12\pi h < 0$ より、これは極大値。

$$V_{\max} = 2\pi\left(r^2 \cdot \frac{r}{\sqrt{3}} - \frac{r^3}{3\sqrt{3}}\right) = 2\pi \cdot \frac{2r^3}{3\sqrt{3}} = \frac{4\pi r^3}{3\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}\,\pi r^3}{9}$$

問題：曲線 $y = e^{-x}$（$x \geq 0$）と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれた領域に内接する長方形の面積の最大値を求めよ。ただし長方形の一辺は $x$ 軸上、対辺は曲線上にあるとする。

解：長方形の右上の頂点を $(t,\, e^{-t})$（$t > 0$）とすると、面積は $S(t) = t \cdot e^{-t}$。

$S'(t) = e^{-t} - te^{-t} = (1-t)e^{-t}$

$S'(t) = 0$ より $t = 1$。$t < 1$ で $S' > 0$、$t > 1$ で $S' < 0$ なので極大値。

$$S(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$$

$S(0) = 0$、$\displaystyle\lim_{t \to \infty} S(t) = 0$ より、最大値は $\dfrac{1}{e}$。

問題：$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ が $x = 1$ で極大値 $3$ をとるとき、$a,\, b$ を求めよ。

解：$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ より、$x = 1$ で極値をとるための必要条件は $f'(1) = 0$。

$3 + 2a + b = 0$ ... (1)

$f(1) = 3$ より $1 + a + b + 1 = 3$、すなわち $a + b = 1$ ... (2)

(1), (2) より $a = -1$、$b = 2$。

確認：$f'(x) = 3x^2 - 2x + 2 = 3(x-1)\!\left(x + \dfrac{2}{3}\right)$

$f'(x) = 0$ は $x = -\dfrac{2}{3},\, 1$ を解にもち、$x = 1$ の前後で $f'$ は正から負に変わるから、確かに極大。

問題：$f(x) = x^3 - 3ax$ が極値をもつような定数 $a$ の範囲を求めよ。

解：$f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a)$

$f(x)$ が極値をもつためには $f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもち、かつその前後で $f'$ の符号が変わることが必要十分である。

$x^2 = a$ が異なる2解をもつ条件は $a > 0$。

このとき $x = \pm\sqrt{a}$ で $f'$ の符号は変わるから（3次関数の導関数は2次関数）、$f$ は極大値と極小値を1つずつもつ。

$$\therefore\quad a > 0$$

問題：$f(x) = x^4 - 4ax^2 + 1$ がちょうど1つの極値をもつ条件を求めよ。

解：$f'(x) = 4x^3 - 8ax = 4x(x^2 - 2a)$

$f'(x) = 0$ の解は $x = 0$ および $x^2 = 2a$。

場合分け：

(i) $a \leq 0$ のとき：$x^2 = 2a$ は実数解をもたない（$a < 0$）か $x = 0$ のみ（$a = 0$）。$f'(x) = 0$ の解は $x = 0$ のみ。

$a < 0$：$f'(x) = 4x(x^2 + |2a|)$ で $x = 0$ の前後で負から正に変わるので極小値が1つ。

$a = 0$：$f'(x) = 4x^3$ で符号変化なし。極値なし。

(ii) $a > 0$ のとき：$f'(x) = 0$ は $x = 0,\, \pm\sqrt{2a}$ の3つの実数解。増減表を作ると極大値1つ、極小値2つで合計3つの極値。

結論：ちょうど1つの極値をもつのは $a < 0$ のとき。

問題：$f(x) = e^x - ax$（$a$ は正の定数）の極値の個数を調べよ。

解：$f'(x) = e^x - a$。$f'(x) = 0$ より $e^x = a$、すなわち $x = \log a$。

$a > 0$ のとき解はつねに1つ存在する。

$f''(x) = e^x > 0$（常に正）より、$x = \log a$ は極小値。

$f(\log a) = a - a\log a = a(1 - \log a)$

よって $a > 0$ のとき、$f(x)$ はつねにちょうど1つの極値（極小値）をもつ。