微分法の最も基本的な応用は、曲線上の点における接線の方程式を求めることです。本記事では、$y = f(x)$ の形の曲線だけでなく、陰関数や媒介変数で表された曲線の接線・法線の方程式を体系的に学びます。指数関数・対数関数・三角関数を含む曲線での計算も練習しましょう。
曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線とは、その点で曲線に「ちょうど接する」直線のことです。微分係数 $f'(a)$ は点 $(a, f(a))$ における曲線の傾きを表すので、接線の方程式は次の公式で与えられます。
曲線 $y = f(x)$ 上の点 $\mathrm{A}(a,\, f(a))$ における接線の方程式は
$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$
ここで $f'(a)$ は点 $\mathrm{A}$ における微分係数（接線の傾き）を表す。
この公式は「点 $(a, f(a))$ を通り、傾き $f'(a)$ の直線」を表していると理解できます。微分の定義から、$f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ であり、この極限値が接線の傾きになります。
曲線 $y = x^2$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求めましょう。
$f(x) = x^2$ とすると $f'(x) = 2x$ です。$a = 1$ のとき $f(1) = 1$, $f'(1) = 2$ なので
$$y - 1 = 2(x - 1) \quad \Longrightarrow \quad y = 2x - 1$$
Step 1. 接点の座標 $(a, f(a))$ を確認する
Step 2. 導関数 $f'(x)$ を計算する
Step 3. $x = a$ を代入して傾き $f'(a)$ を求める
Step 4. 公式 $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ に代入する
曲線 $y = x^3 - 3x$ 上の点 $(2, 2)$ における接線の方程式を求めます。
$f'(x) = 3x^2 - 3$ より $f'(2) = 12 - 3 = 9$
$$y - 2 = 9(x - 2) \quad \Longrightarrow \quad y = 9x - 16$$
曲線上の点における法線とは、その点で接線と直交する直線のことです。接線の傾きが $f'(a)$ のとき、法線の傾きは直交条件から $-\dfrac{1}{f'(a)}$ となります。
曲線 $y = f(x)$ 上の点 $\mathrm{A}(a,\, f(a))$ における法線の方程式は
[1] $f'(a) \neq 0$ のとき
$$y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)$$
[2] $f'(a) = 0$ のとき（接線が水平）
法線は鉛直線 $x = a$
二つの直線の傾き $m_1$, $m_2$ が直交条件 $m_1 \cdot m_2 = -1$ を満たすことから、法線の傾きが導かれます。接線の傾きが $0$ のときは接線が水平なので、法線は鉛直になります。
曲線 $y = \sqrt{x}$ 上の点 $(4, 2)$ における接線と法線の方程式をそれぞれ求めます。
$f(x) = x^{1/2}$ より $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ なので $f'(4) = \dfrac{1}{4}$
接線：$y - 2 = \dfrac{1}{4}(x - 4)$ すなわち $y = \dfrac{1}{4}x + 1$
法線：$y - 2 = -4(x - 4)$ すなわち $y = -4x + 18$
$f'(a) = 0$ のとき、法線の傾きに $-\dfrac{1}{f'(a)}$ を機械的に代入すると $-\dfrac{1}{0}$ で分母が $0$ になります。
このときの法線は 鉛直線 $x = a$ です。例えば $y = x^2$ の頂点 $(0,0)$ では、接線は $y = 0$（$x$ 軸）、法線は $x = 0$（$y$ 軸）です。
$F(x, y) = 0$ の形で与えられた曲線（陰関数）の接線を求める場合は、両辺を $x$ で微分して $\dfrac{dy}{dx}$ を求めます。
円 $x^2 + y^2 = 25$ 上の点 $(3, 4)$ における接線の方程式を求めます。
両辺を $x$ で微分すると $2x + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$ より $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$
点 $(3, 4)$ では $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{3}{4}$ なので
$$y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \quad \Longrightarrow \quad 3x + 4y = 25$$
円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線は $x_1 x + y_1 y = r^2$ となります。上の例では $3x + 4y = 25$ がこの公式に一致しています。
楕円 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 上の点 $\left(\dfrac{3}{2},\, \sqrt{3}\right)$ における接線の方程式を求めます。
両辺を $x$ で微分すると $\dfrac{2x}{9} + \dfrac{2y}{4} \cdot \dfrac{dy}{dx} = 0$ より $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4x}{9y}$
接点では $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4 \cdot \frac{3}{2}}{9\sqrt{3}} = -\dfrac{6}{9\sqrt{3}} = -\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$
$$y - \sqrt{3} = -\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x - \frac{3}{2}\right)$$
整理すると $\dfrac{x}{6} + \dfrac{\sqrt{3}\,y}{4} = 1$ すなわち $2x + 3\sqrt{3}\,y = 12$
曲線が $x = g(t)$, $y = h(t)$ と媒介変数（パラメータ）$t$ で表されているとき、接線の傾きは
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \frac{h'(t)}{g'(t)} \quad \left(g'(t) \neq 0\right)$$
で求めることができます。
曲線 $x = g(t)$, $y = h(t)$ 上の $t = t_0$ に対応する点 $(g(t_0),\, h(t_0))$ における接線は
$$y - h(t_0) = \frac{h'(t_0)}{g'(t_0)}\bigl(x - g(t_0)\bigr)$$
サイクロイド $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ の $t = \dfrac{\pi}{2}$ に対応する点における接線を求めます。
$\dfrac{dx}{dt} = 1 - \cos t$, $\quad \dfrac{dy}{dt} = \sin t$
$t = \dfrac{\pi}{2}$ のとき $\dfrac{dx}{dt} = 1 - 0 = 1$, $\dfrac{dy}{dt} = 1$ より $\dfrac{dy}{dx} = 1$
接点は $\left(\dfrac{\pi}{2} - 1,\, 1\right)$ なので
$$y - 1 = 1 \cdot \left(x - \frac{\pi}{2} + 1\right) \quad \Longrightarrow \quad y = x - \frac{\pi}{2} + 2$$
$x = 2\cos\theta$, $y = 3\sin\theta$ で表される楕円の $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ に対応する点における接線を求めます。
$\dfrac{dx}{d\theta} = -2\sin\theta$, $\quad \dfrac{dy}{d\theta} = 3\cos\theta$
$\theta = \dfrac{\pi}{3}$ のとき $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3\cos\frac{\pi}{3}}{-2\sin\frac{\pi}{3}} = \dfrac{\frac{3}{2}}{-\sqrt{3}} = -\dfrac{3}{2\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
接点は $(1,\, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ なので
$$y - \frac{3\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}(x - 1) \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{3}\,x + 2y = 3\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 0$$
整理すると $\sqrt{3}\,x + 2y = 4\sqrt{3}$
$g'(t_0) = 0$ かつ $h'(t_0) \neq 0$ のとき、$\dfrac{dy}{dx}$ は存在しませんが、接線は 鉛直線 $x = g(t_0)$ になります。
$g'(t_0) = 0$ かつ $h'(t_0) = 0$ のときは、さらに詳しい分析（ロピタルの定理や高次の項の検討）が必要です。
数学IIIでは指数関数・対数関数・三角関数の導関数を学んだので、これらの関数のグラフにおける接線を求めることができます。
曲線 $y = e^x$ 上の点 $(1, e)$ における接線と法線の方程式を求めます。
$f'(x) = e^x$ より $f'(1) = e$
接線：$y - e = e(x - 1)$ すなわち $y = ex$
法線：$y - e = -\dfrac{1}{e}(x - 1)$ すなわち $y = -\dfrac{1}{e}x + \dfrac{1}{e} + e$
曲線 $y = \log x$ 上の点 $(e, 1)$ における接線の方程式を求めます。
$f'(x) = \dfrac{1}{x}$ より $f'(e) = \dfrac{1}{e}$
$$y - 1 = \frac{1}{e}(x - e) \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{x}{e}$$
曲線 $y = \sin x$ 上の点 $\left(\dfrac{\pi}{6},\, \dfrac{1}{2}\right)$ における接線の方程式を求めます。
$f'(x) = \cos x$ より $f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$$y - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{\sqrt{3}\pi}{12} + \frac{1}{2}$$
$(e^x)' = e^x$, $\quad (a^x)' = a^x \log a$
$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$, $\quad (\log_a x)' = \dfrac{1}{x \log a}$
$(\sin x)' = \cos x$, $\quad (\cos x)' = -\sin x$, $\quad (\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
曲線 $y = x\log x$ 上の点 $(1, 0)$ における接線の方程式を求めます。
$f'(x) = \log x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \log x + 1$ より $f'(1) = 0 + 1 = 1$
$$y - 0 = 1 \cdot (x - 1) \quad \Longrightarrow \quad y = x - 1$$
Q1. 曲線 $y = x^3$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求めよ。
Q2. 曲線 $y = e^{2x}$ 上の点 $(0, 1)$ における法線の方程式を求めよ。
Q3. 円 $x^2 + y^2 = 10$ 上の点 $(1, 3)$ における接線の方程式を求めよ。
Q4. $x = t^2$, $y = t^3$ で表される曲線の $t = 1$ における接線の方程式を求めよ。
Q5. 曲線 $y = \tan x$ 上の点 $\left(\dfrac{\pi}{4},\, 1\right)$ における接線の方程式を求めよ。
曲線 $y = \dfrac{1}{x}$ 上の点 $\left(2,\, \dfrac{1}{2}\right)$ における接線および法線の方程式を求めよ。
$f(x) = \dfrac{1}{x} = x^{-1}$ より $f'(x) = -x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}$
$f'(2) = -\dfrac{1}{4}$
接線：$y - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}(x - 2)$ すなわち $y = -\dfrac{1}{4}x + 1$
法線：傾きは $-\dfrac{1}{-1/4} = 4$ より $y - \dfrac{1}{2} = 4(x - 2)$ すなわち $y = 4x - \dfrac{15}{2}$
曲線 $x^3 + y^3 = 6xy$ 上の点 $(3, 3)$ における接線の方程式を求めよ。
両辺を $x$ で微分すると $3x^2 + 3y^2 \dfrac{dy}{dx} = 6y + 6x\dfrac{dy}{dx}$
$(3y^2 - 6x)\dfrac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$ より $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$
点 $(3, 3)$ では $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{18 - 27}{27 - 18} = \dfrac{-9}{9} = -1$
接線は $y - 3 = -1(x - 3)$ すなわち $x + y = 6$
$x^3 + y^3 = 6xy$ はデカルトの葉線と呼ばれる曲線です。陰関数微分法を使い、$y$ を $x$ の関数として微分することで $\dfrac{dy}{dx}$ を求められます。積の微分法（$6xy$ の微分）に注意しましょう。
曲線 $x = 2\cos\theta$, $y = \sqrt{3}\sin\theta$ $\left(0 \leq \theta < 2\pi\right)$ 上の $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ に対応する点 $\mathrm{P}$ における接線と法線の方程式を求めよ。
$\dfrac{dx}{d\theta} = -2\sin\theta$, $\quad \dfrac{dy}{d\theta} = \sqrt{3}\cos\theta$
$\theta = \dfrac{\pi}{6}$ で $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6}}{-2\sin\frac{\pi}{6}} = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{-2 \cdot \frac{1}{2}} = \dfrac{\frac{3}{2}}{-1} = -\dfrac{3}{2}$
接点は $\mathrm{P}(\sqrt{3},\, \frac{\sqrt{3}}{2})$
接線：$y - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{3}{2}(x - \sqrt{3})$ すなわち $3x + 2y = 4\sqrt{3}$
法線：傾きは $\dfrac{2}{3}$ より $y - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2}{3}(x - \sqrt{3})$ すなわち $y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{\sqrt{3}}{6}$
曲線 $y = e^x$ 上の任意の点 $\mathrm{P}(a, e^a)$ における接線が $x$ 軸と交わる点を $\mathrm{Q}$ とするとき、線分 $\mathrm{PQ}$ の $x$ 軸への正射影の長さが常に $1$ であることを示せ。
$y = e^x$ より $y' = e^x$。点 $\mathrm{P}(a, e^a)$ における接線は
$$y - e^a = e^a(x - a) \quad \cdots (\ast)$$
$(\ast)$ で $y = 0$ とすると $-e^a = e^a(x - a)$ より $x - a = -1$、$x = a - 1$
よって $\mathrm{Q}(a-1,\, 0)$ であり、$\mathrm{P}$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足は $(a, 0)$。
線分 $\mathrm{PQ}$ の $x$ 軸への正射影の長さは $|a - (a-1)| = 1$（一定）。 $\square$
$e^x$ の接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標は常に「接点の $x$ 座標から $1$ だけ左」です。これは $e^x$ の導関数が $e^x$ 自身であるという性質に由来します。