入試では「接線を求めて面積を計算」「最大最小から不等式を導く」「グラフの概形から方程式の解の個数を判定」のように、複数のテーマが融合した問題が出題されます。本記事ではそうした融合問題の典型パターンと攻略法を学びます。
「曲線の接線を求め、その接線と曲線で囲まれた部分の面積を求めよ」は、微分と積分の融合問題の典型です。ここでは微分法の観点から、接線の設定方法に注目します。
問題：曲線 $C: y = e^x$ 上の点 $(t,\, e^t)$ における接線 $\ell$ と、曲線 $C$ および $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S(t)$ を $t > 0$ のとき求め、$S(t)$ の最小値を求めよ。
解：$y' = e^x$ より、接線 $\ell$ の方程式は $y - e^t = e^t(x - t)$、すなわち $y = e^t(x - t + 1)$。
$x = 0$ のとき $y = e^t(1 - t)$。$t > 0$ かつ $e^x \geq e^t(x - t + 1)$（接線は曲線の下側）より
$$S(t) = \int_0^t \bigl[e^x - e^t(x - t + 1)\bigr]\,dx$$
$= \bigl[e^x\bigr]_0^t - e^t\!\left[\frac{x^2}{2} - (t-1)x\right]_0^t$
$= (e^t - 1) - e^t\!\left(\frac{t^2}{2} - t(t-1)\right) = e^t - 1 - e^t \cdot \frac{t^2 - 2t^2 + 2t}{2}$
$= e^t - 1 - e^t \cdot \frac{-t^2 + 2t}{2} = e^t - 1 + \frac{e^t(t^2 - 2t)}{2}$
$= e^t - 1 + \frac{e^t t^2}{2} - e^t t = e^t\!\left(1 - t + \frac{t^2}{2}\right) - 1$
$S'(t) = e^t\!\left(1 - t + \frac{t^2}{2}\right) + e^t\!\left(-1 + t\right) = e^t \cdot \frac{t^2}{2}$
$t > 0$ で $S'(t) > 0$ なので $S(t)$ は単調増加。$\displaystyle\lim_{t \to +0} S(t) = 0$ なので、$t > 0$ の範囲で最小値は存在しない（下限 $0$ に近づくが到達しない）。
Step 1. 接点を $(t,\, f(t))$ とおき、接線の方程式を立てる
Step 2. 曲線と接線の上下関係を確認する（凸性を利用）
Step 3. 面積を $t$ の関数として積分で表す
Step 4. 必要に応じて面積の最大最小を微分で求める
✗ 常に「上の曲線 - 下の曲線」とせず絶対値をつける
✓ 凸関数では接線が下側、凹関数では接線が上側。$f''$ の符号で判定
$f''(x) > 0$（下に凸）ならば接線はグラフの下側にある。
「$f(x)$ の最小値が正であることを示せ」は、不等式 $f(x) > 0$ の証明を最大最小問題に帰着させる手法です。
$f(x) \geq 0$ を示すには：
方法：$f(x)$ の最小値 $m$ を求め、$m \geq 0$ を示す
$$\min f(x) \geq 0 \implies f(x) \geq 0 \;\;\text{（すべての $x$ で）}$$
※ 等号成立条件も合わせて述べると完璧。
問題：$x > 0$ のとき $e^x \geq ex$ を証明せよ。
解：$g(x) = e^x - ex$ とおく。$g'(x) = e^x - e$。
$g'(x) = 0$ より $x = 1$。$x < 1$ で $g' < 0$、$x > 1$ で $g' > 0$。
$x = 1$ で極小値 $g(1) = e - e = 0$。
これは最小値でもあるから、$g(x) \geq 0$、すなわち $e^x \geq ex$（$x > 0$）。
等号は $x = 1$ のときに限る。$\square$
問題：$x > 0$ のとき $\log x \leq x - 1$ を証明せよ。
解：$h(x) = x - 1 - \log x$ とおく。$h'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}$。
$h'(x) = 0$ のとき $x = 1$。$0 < x < 1$ で $h' < 0$、$x > 1$ で $h' > 0$。
$x = 1$ で最小値 $h(1) = 0$。
よって $h(x) \geq 0$、すなわち $\log x \leq x - 1$。等号は $x = 1$ のとき。$\square$
$e^x \geq 1 + x$：$f(x) = e^x - 1 - x$ の最小値は $f(0) = 0$
$\log x \leq x - 1$：$f(x) = x - 1 - \log x$ の最小値は $f(1) = 0$
$\sin x \leq x$（$x \geq 0$）：$f(x) = x - \sin x$ とおくと $f'(x) = 1 - \cos x \geq 0$、$f(0) = 0$
これらは入試で「道具」として繰り返し使われるので、証明の流れごと覚えておくと有利です。
方程式 $f(x) = k$ の実数解の個数は、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = k$ の交点の個数として視覚的に判定できます。
問題：方程式 $x^3 - 3x = a$ の異なる実数解の個数を、定数 $a$ の値によって分類せよ。
解：$f(x) = x^3 - 3x$ とおく。$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$。
$x = -1$ で極大値 $f(-1) = -1 + 3 = 2$。
$x = 1$ で極小値 $f(1) = 1 - 3 = -2$。
$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の個数より：
$a < -2$ または $a > 2$：1個
$a = -2$ または $a = 2$：2個
$-2 < a < 2$：3個
方程式 $f(x) = k$ の実数解の個数を調べるには：
1. $f'(x) = 0$ を解いて極値を求める
2. $y = f(x)$ の増減表・グラフの概形を描く
3. 水平線 $y = k$ との交点の個数を $k$ の値で場合分けする
※ $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ の情報もグラフの全体像に必要。
問題：方程式 $xe^{-x} = a$（$a > 0$）の正の実数解の個数を調べよ。
解：$f(x) = xe^{-x}$（$x > 0$）。$f'(x) = e^{-x}(1 - x)$。
$f'(x) = 0$ より $x = 1$。$x = 1$ で極大値 $f(1) = e^{-1}$。
$f(0) = 0$, $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$（$x > 0$ で $f(x) > 0$）。
直線 $y = a$ との交点：
$0 < a < \dfrac{1}{e}$：正の解2個
$a = \dfrac{1}{e}$：正の解1個（$x = 1$）
$a > \dfrac{1}{e}$：正の解0個
✗ $xe^{-x} = a$ を $x = ae^x$ と変形してグラフを描こうとする（複雑になる）
✓ 一方の辺を $x$ のみの関数にまとめ、もう一方を定数にする（$f(x) = a$）
変数分離して「$x$ の関数 $= $ 定数」の形にするのがコツです。
平均値の定理は不等式の証明や近似計算に応用できます。
$f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能ならば
$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) \quad \text{を満たす } c \in (a, b) \text{ が存在}$$
※ 幾何学的意味：弦の傾きに等しい接線が存在する。
問題：$a > 0$ のとき $\dfrac{a}{1+a} < \log(1+a) < a$ を証明せよ。
解：$f(x) = \log(1+x)$ とおく。$f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$。
区間 $[0, a]$（$a > 0$）で平均値の定理を適用すると、ある $c \in (0, a)$ が存在して
$$\frac{\log(1+a) - \log 1}{a - 0} = \frac{1}{1+c}$$
$0 < c < a$ より $\dfrac{1}{1+a} < \dfrac{1}{1+c} < 1$。
各辺に $a > 0$ を掛けて $\dfrac{a}{1+a} < \log(1+a) < a$。$\square$
パターン1：$f(b) - f(a)$ の評価。$f'$ の最大最小が分かっていれば $f(b) - f(a)$ の範囲が絞れる。
パターン2：$\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ などの近似。$f(x) = \sqrt{x}$ として $f'(c) = \frac{1}{2\sqrt{c}}$ を利用。
パターン3：方程式の解の存在証明。中間値の定理と組み合わせて使うことが多い。
問題：$n$ を正の整数とするとき、$\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}} < \sqrt{n+1} - \sqrt{n} < \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$ を示せ。
解：$f(x) = \sqrt{x}$、区間 $[n,\, n+1]$ で平均値の定理を適用。ある $c \in (n,\, n+1)$ が存在して
$$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = f'(c) = \frac{1}{2\sqrt{c}}$$
$n < c < n+1$ より $\sqrt{n} < \sqrt{c} < \sqrt{n+1}$。
よって $\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}} < \dfrac{1}{2\sqrt{c}} < \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$。$\square$
入試の融合問題では、問題文の中にどのテーマが隠れているかを見抜く力が重要です。
「接線」が登場 → 接線の方程式、接線の本数、接線と面積
「不等式を示せ」 → 差をとって最小値が $0$ 以上を示す（最大最小＋不等式）
「実数解の個数」 → グラフと水平線の交点（グラフの概形＋極値）
「面積」 → 曲線の上下関係の確認（接線・凸性の利用）
「ある $c$ が存在」 → 平均値の定理やロルの定理の活用
| 融合パターン | 前半のテーマ | 後半のテーマ |
|---|---|---|
| 接線＋面積 | 接点を設定し接線を求める | 接線と曲線で囲む面積を計算 |
| 極値＋不等式 | 差の関数の極値（最小値）を求める | 最小値 $\geq 0$ で不等式を証明 |
| グラフ＋解の個数 | 増減・極値・凸凹でグラフを描く | 水平線との交点数で場合分け |
| 平均値の定理＋不等式 | 適切な関数と区間を設定 | $f'(c)$ の評価で不等式を導く |
入試の大問では (1)(2)(3) と小問に分かれていることが多く、前の小問の結果を後の小問で使います。
典型的な流れ：
(1) 接線の方程式を求めよ → (2) 接線と曲線で囲む面積を求めよ
(1) $f(x)$ の増減を調べよ → (2) $f(x) = a$ の解の個数を $a$ で分類せよ → (3) 不等式を示せ
小問 (1) が解けなくても (2) 以降に取り組めるよう、(1) の結果を仮定して解き進める姿勢が重要です。
Q1. $x > 0$ のとき $e^x > 1 + x$ を示すための関数 $g(x)$ をどう設定するか。
Q2. $f(x) = x^3 - 12x$ の極大値と極小値を求めよ。
Q3. 方程式 $x^3 - 12x = a$ が異なる3つの実数解をもつ $a$ の範囲は何か。
Q4. 平均値の定理で $f(x) = e^x$、区間 $[0, h]$（$h > 0$）を使うと何が分かるか。
Q5. 下に凸な関数 $f(x)$ の接線は、グラフの上側・下側のどちらにあるか。
$x \geq 0$ のとき、$\sin x \leq x$ を証明せよ。
$h(x) = x - \sin x$ とおく。$h(0) = 0$。
$h'(x) = 1 - \cos x \geq 0$（すべての $x$ で成立）。
よって $h(x)$ は単調非減少であり、$x \geq 0$ で $h(x) \geq h(0) = 0$。
すなわち $x - \sin x \geq 0$、$\sin x \leq x$。$\square$
$f(x) = x - \log x$（$x > 0$）とするとき：
(1) $f(x)$ の極値を求め、$y = f(x)$ のグラフの概形を描け。
(2) 方程式 $x - \log x = k$ の正の実数解の個数を $k$ の値で分類せよ。
(1) $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}$。$x = 1$ で極小。
$f(1) = 1 - 0 = 1$。$\lim_{x \to +0} f(x) = +\infty$、$\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty$。
$x = 1$ で極小値（最小値）$1$。
(2) $y = k$ と $y = f(x)$ の交点数：
$k < 1$：0個。$k = 1$：1個。$k > 1$：2個。
$0 < a < b$ のとき、次の不等式を証明せよ。
$$\frac{b - a}{b} < \log\frac{b}{a} < \frac{b - a}{a}$$
$f(x) = \log x$ とし、区間 $[a, b]$ で平均値の定理を適用する。
ある $c \in (a, b)$ が存在して $\dfrac{\log b - \log a}{b - a} = \dfrac{1}{c}$。
$a < c < b$ より $\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{a}$。
各辺に $b - a > 0$ を掛けて $\dfrac{b-a}{b} < \log b - \log a < \dfrac{b-a}{a}$。
$\log b - \log a = \log\dfrac{b}{a}$ より成立。$\square$
$f(x) = xe^{-x^2}$ について：
(1) $f(x)$ の極値を求め、グラフの概形を描け。
(2) 方程式 $xe^{-x^2} = a$ の実数解の個数を $a$ の値で分類せよ。
(3) $0 < a < \dfrac{1}{\sqrt{2e}}$ のとき、正の実数解を $\alpha < \beta$ として $\alpha\beta < 1$ を示せ。
(1) $f'(x) = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$。$f'(x) = 0$ より $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$。
$x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で極大値 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{2e}}$。
$x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で極小値 $-\dfrac{1}{\sqrt{2e}}$。
$f(x)$ は奇関数。$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$。
(2) $f$ の奇関数性と極値から：
$|a| > \dfrac{1}{\sqrt{2e}}$：1個。$|a| = \dfrac{1}{\sqrt{2e}}$：2個。$0 < |a| < \dfrac{1}{\sqrt{2e}}$：3個。$a = 0$：1個。
(3) $\alpha e^{-\alpha^2} = \beta e^{-\beta^2} = a$ より $e^{\beta^2 - \alpha^2} = \dfrac{\beta}{\alpha}$。
$g(x) = \log x - x^2$ とおくと $g(\alpha) = g(\beta)$（$0 < \alpha < \frac{1}{\sqrt{2}} < \beta$）。
$g'(x) = \dfrac{1}{x} - 2x = \dfrac{1-2x^2}{x}$。$x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で極大。
$g$ は $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ に関して対称ではないが、$g(\alpha) = g(\beta)$ かつ $\alpha < \dfrac{1}{\sqrt{2}} < \beta$。
$g''(x) = -\dfrac{1}{x^2} - 2 < 0$ より $g$ は上に凸。よって $g$ のグラフの対称性から $\alpha + \beta > 2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ は直接示せないが、$\alpha\beta < 1$ は次のように示す。
$h(t) = f(t) - f(1/t) = te^{-t^2} - \frac{1}{t}e^{-1/t^2}$（$t > 0$）とおくと、$0 < t < 1$ で $h(t) > 0$ を示せば $\alpha\beta < 1$ が従う。実際 $\alpha < 1$ のとき $f(\alpha) = a = f(\beta)$ かつ $f$ の減少区間で $f(1/\alpha) > f(\beta)$ より $1/\alpha > \beta$、すなわち $\alpha\beta < 1$。$\square$
奇関数 $f(x) = xe^{-x^2}$ は原点対称なグラフをもち、$y = a$ との交点を調べる問題は頻出です。(3) のように解の積・和の評価を求める問題は、関数の対称性や単調性を利用して処理します。