関数の値を正確に計算するのが難しい場合、微分を利用して「十分よい近似値」を求めることができます。ここでは $x = a$ の近くでの1次近似式（線形近似）の考え方と、代表的な近似公式、そして誤差の評価方法を学びます。
関数 $y = f(x)$ が $x = a$ で微分可能であるとき、$x = a$ における接線の方程式は次のように書けます。
$$y = f(a) + f'(a)(x - a)$$$x$ が $a$ に十分近いとき、曲線 $y = f(x)$ は接線にほぼ一致します。これが1次近似（線形近似）の基本アイデアです。
$f(x)$ が $x = a$ で微分可能なとき、$h$ が十分小さければ
$$f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h$$あるいは、$x \approx a$ のとき
$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$$ここで $\approx$ は「近似的に等しい」を意味します。$h = x - a$ と置くと両方の式は同じものです。
微分可能な関数は、十分拡大すると直線に見えます。これは微分の定義そのものから来ています。1次近似とは「曲線を接線で代用する」ことに他なりません。
$f(a+h) - f(a) \approx f'(a)h$ は「$x$ が $a$ から $h$ だけ変化したとき、$f(x)$ の変化量は $f'(a)h$ で近似できる」ことを表しています。
特に $a = 0$ として $|x|$ が十分小さいとき、近似式は次のように簡潔になります。
$$f(x) \approx f(0) + f'(0)x$$この形は非常によく使われます。以降のセクションでは主にこの $a = 0$ の場合の近似公式を導きます。
$|x|$ が十分小さいとき、以下の近似式が成り立ちます。すべて $a = 0$ での1次近似として導くことができます。
(1) $\sqrt{1 + x} \approx 1 + \dfrac{x}{2}$
(2) $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ （$n$ は任意の実数）
(3) $e^x \approx 1 + x$
(4) $\sin x \approx x$
(5) $\cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2}$（2次近似）
(6) $\ln(1 + x) \approx x$
(7) $\tan x \approx x$
$f(x) = \sqrt{1 + x} = (1 + x)^{1/2}$ とおくと
$$f(0) = 1, \quad f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}, \quad f'(0) = \frac{1}{2}$$したがって
$$\sqrt{1+x} \approx f(0) + f'(0) \cdot x = 1 + \frac{x}{2}$$$f(x) = (1+x)^n$ とおくと
$$f(0) = 1, \quad f'(x) = n(1+x)^{n-1}, \quad f'(0) = n$$したがって
$$(1+x)^n \approx 1 + nx$$この公式は $n$ が自然数でなくても成り立つ点が重要です。$n = 1/2$ とすれば公式 (1) が得られ、$n = -1$ とすれば $\dfrac{1}{1+x} \approx 1 - x$ が得られます。
$\cos x$ に1次近似を適用すると $\cos x \approx \cos 0 + (-\sin 0) \cdot x = 1$ となり、情報量がありません。$\cos x$ は偶関数なので奇数次の項が消え、意味のある近似には2次の項まで必要です。2次近似（テイラー展開の2次まで）を用いて $\cos x \approx 1 - x^2/2$ が得られます。
$\sqrt{4.02}$ を近似公式を使って求めてみましょう。
$\sqrt{4.02} = \sqrt{4 \cdot 1.005} = 2\sqrt{1.005}$ と変形します。
$\sqrt{1+x} \approx 1 + \dfrac{x}{2}$ で $x = 0.005$ とおくと
$$\sqrt{1.005} \approx 1 + \frac{0.005}{2} = 1.0025$$したがって
$$\sqrt{4.02} \approx 2 \times 1.0025 = 2.005$$（電卓による正確な値：$\sqrt{4.02} = 2.004994\cdots$ なので、非常に良い近似です。）
$(1+x)^n \approx 1 + nx$ で $n = -1$, $x = 0.03$ とおくと
$$\frac{1}{1.03} = (1+0.03)^{-1} \approx 1 + (-1)(0.03) = 0.97$$（正確な値：$1/1.03 = 0.97087\cdots$）
$e^x \approx 1 + x$ で $x = 0.1$ とおくと
$$e^{0.1} \approx 1 + 0.1 = 1.1$$（正確な値：$e^{0.1} = 1.10517\cdots$）
近似公式を使うには、まず $1 + (\text{小さな量})$ の形に変形することが大切です。$\sqrt{4.02}$ をそのまま近似するのではなく、$2\sqrt{1+0.005}$ に変形してから公式を適用します。
$|x|$ が十分小さいとき、$\dfrac{e^x}{\sqrt{1+2x}}$ を1次式で近似せよ。
$e^x \approx 1 + x$ と $\sqrt{1+2x} \approx 1 + x$ を用いて
$$\frac{e^x}{\sqrt{1+2x}} \approx \frac{1+x}{1+x} = 1$$これでは情報が少ないので、もう少し精密に計算します。$\dfrac{1}{1+x} \approx 1 - x$ を用いて
$$\frac{1+x}{1+x} = 1$$分子・分母をより正確に展開すると、$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \cdots$ と $\dfrac{1}{\sqrt{1+2x}} = 1 - x + \dfrac{3x^2}{2} + \cdots$ から
$$\frac{e^x}{\sqrt{1+2x}} \approx 1 + 0 \cdot x + \cdots = 1$$よって1次近似では定数 $1$ となります。（より精密な近似にはテイラー展開が有効です。）
近似式を使う以上、「近似がどの程度正確か」を知ることが重要です。ここでは誤差（残余項）の評価について考えます。
$f(a+h)$ の1次近似における誤差 $R$ は
$$R = f(a+h) - \{f(a) + f'(a)h\}$$で定義されます。$f(x)$ が2回微分可能であるとき、平均値の定理の拡張（テイラーの定理）により
$f(x)$ が $a$ を含む区間で2回連続微分可能なとき
$$R = \frac{f''(c)}{2}h^2$$を満たす $c$（$a$ と $a+h$ の間）が存在する。
特に $|f''(x)| \leq M$ のとき $|R| \leq \dfrac{M}{2}h^2$ と評価できます。
$f(x) = \sqrt{1+x}$ のとき、$f''(x) = -\dfrac{1}{4}(1+x)^{-3/2}$ です。
$0 \leq x \leq 0.1$ の範囲では $|f''(x)| \leq |f''(0)| = \dfrac{1}{4}$ なので
$$|R| \leq \frac{1/4}{2} \cdot x^2 = \frac{x^2}{8}$$$x = 0.1$ のとき $|R| \leq \dfrac{0.01}{8} = 0.00125$ です。
実際に $\sqrt{1.1} = 1.04880\cdots$ と近似値 $1 + 0.05 = 1.05$ を比べると、誤差は $0.00120\cdots$ であり、評価 $0.00125$ は正しいことがわかります。
$|x|$ が大きくなると近似の精度は急激に悪化します。
$\sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ に対して $1 + 1/2 = 1.5$（誤差 $0.086\cdots$）
$\sqrt{1+0.01}$ に対して $1 + 0.005 = 1.005$（誤差 $0.000012\cdots$）
近似式は $|h|$（または $|x|$）が小さいときにのみ信頼できます。誤差が $h^2$ に比例するため、$|h|$ が $1/10$ になると誤差は $1/100$ になります。
絶対誤差とは近似値と真の値の差の絶対値 $|R|$ です。一方、相対誤差は絶対誤差を真の値で割ったもので、$\dfrac{|R|}{|f(a+h)|}$ で表されます。
同じ絶対誤差でも、真の値が大きい場合は相対誤差は小さくなります。実用上は相対誤差の方が精度の指標として重要です。
近似式は微分の定義と密接に関連しています。微分の定義を思い出しましょう。
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$これは $h \to 0$ のとき $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} \approx f'(a)$ と言い換えられます。両辺に $h$ を掛けると
$$f(a+h) - f(a) \approx f'(a) \cdot h$$すなわち $f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h$ となり、1次近似式が得られます。
微分係数 $f'(a)$ は「$x = a$ における最良の1次近似の傾き」を与えます。接線は曲線に「最もよくフィットする直線」であり、これこそが微分の幾何学的な意味です。
この考え方は、テイラー展開（$n$ 次の最良近似多項式）へと一般化されます。
$dx$ を「$x$ の微小変化量」、$dy = f'(x)dx$ を「$y$ の微分」とすると、近似式は
$$\Delta y \approx dy$$と書けます。ここで $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ は実際の変化量、$dy = f'(x) \Delta x$ は接線上での変化量です。
すなわち、微分 $dy$ は差分 $\Delta y$ の近似です。この関係が近似式の本質です。
1次近似の精度に満足できない場合、2次以上の項を加えて精度を上げることができます。これがテイラー展開の考え方で、この章の後半で詳しく学びます。
$$f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h + \frac{f''(a)}{2}h^2 + \cdots$$
Q1. $|x|$ が十分小さいとき、$(1+x)^5$ の1次近似式を求めよ。
Q2. $\sqrt{1.02}$ の近似値を求めよ。
Q3. $|x|$ が十分小さいとき、$e^x \sin x$ を1次式で近似せよ。
Q4. $\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}$ の1次近似式を $(1+x)^n \approx 1+nx$ を用いて求めよ。
Q5. $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ の近似で $x = 0.04$ としたときの誤差の上界を求めよ。
$|x|$ が十分小さいとき、次の関数を $x$ の1次式で近似せよ。
(1) $\dfrac{1}{(1+x)^3}$
(2) $\sqrt[3]{1+x}$
(3) $\ln(1+2x)$
(1) $(1+x)^{-3} \approx 1 + (-3)x = 1 - 3x$
(2) $(1+x)^{1/3} \approx 1 + \dfrac{1}{3}x$
(3) $\ln(1+2x) \approx 2x$（$\ln(1+t) \approx t$ で $t = 2x$）
(1)(2) は $(1+x)^n \approx 1 + nx$ に $n = -3, 1/3$ を代入します。(3) は $\ln(1+t) \approx t$ の $t$ に $2x$ を代入します。いずれも基本公式の直接適用です。
$x = 0$ の近くで $\dfrac{\sqrt{1+x} - 1}{\sin x}$ の近似値を求めよ。また、これを用いて $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sin x}$ の値を求めよ。
$\sqrt{1+x} \approx 1 + \dfrac{x}{2}$ より $\sqrt{1+x} - 1 \approx \dfrac{x}{2}$
$\sin x \approx x$ より
$$\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sin x} \approx \frac{x/2}{x} = \frac{1}{2}$$
したがって $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sin x} = \frac{1}{2}$
分子と分母にそれぞれ近似式を適用し、$x \neq 0$ として $x$ を約分します。近似式による極限の計算は、不定形 $0/0$ の処理に非常に有効です。これはロピタルの定理とも整合する結果です。
$e^x \approx 1 + x$ の近似を $0 \leq x \leq 0.5$ の範囲で用いるとき、絶対誤差が $0.1$ 以下であることを示せ。
$f(x) = e^x$ のとき $f''(x) = e^x$ である。
$0 \leq x \leq 0.5$ において $|f''(x)| = e^x \leq e^{0.5} < e < 3$ とすると
$$|R| \leq \frac{3}{2} \cdot (0.5)^2 = \frac{3}{2} \cdot 0.25 = 0.375$$
より精密には $e^{0.5} < 1.65$ を用いて
$$|R| \leq \frac{1.65}{2} \cdot (0.5)^2 = 0.206\cdots$$
$x$ の最大値が $0.5$ のとき誤差が最大となるが、実際には $x = 0.5$ での誤差は $e^{0.5} - 1.5 = 0.1487\cdots$ であり、$0.1$ を少し超える。
よって $0 \leq x \leq 0.44$ 程度の範囲では絶対誤差が $0.1$ 以下であることが示せる。
ラグランジュの剰余項を用いた誤差評価の実践問題です。$f''(c)$ の上界を適切に見積もることがポイントです。範囲が広いと近似精度が低下する点にも注意しましょう。
$|x|$ が十分小さいとき、次の極限値を近似式を利用して求めよ。
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$$$e^x$ の2次近似を用いる：$e^x \approx 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$
$$e^x - 1 - x \approx \frac{x^2}{2}$$
$$\frac{e^x - 1 - x}{x^2} \approx \frac{x^2/2}{x^2} = \frac{1}{2}$$
$$\therefore \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}$$
分子 $e^x - 1 - x$ では1次の項まで消えるため、1次近似では $0$ となってしまいます。2次の項まで展開すると $x^2/2$ が残り、$x^2$ と約分して $1/2$ が得られます。このように高次の項が本質的な問題では、必要な次数まで展開することが重要です。この結果はロピタルの定理を2回適用しても確認できます。