媒介変数（パラメータ）$t$ を用いて $x = f(t)$, $y = g(t)$ と表された曲線に対して、接線の傾きや接線の方程式を求める方法を学びます。サイクロイド・アストロイド・カージオイドなど、媒介変数表示でしか簡潔に扱えない曲線を例に演習します。
曲線が $x = f(t)$, $y = g(t)$ と媒介変数 $t$ で表されているとき、$\dfrac{dy}{dx}$ を直接求めるには連鎖律（合成関数の微分法）を用います。
$x = f(t)$, $y = g(t)$ のとき、$f'(t) \neq 0$ ならば
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$$$\dfrac{dy}{dx}$ は $t$ の関数として得られます。接点のパラメータ値 $t = t_0$ を代入すれば、その点での傾きが求まります。
$y$ は $t$ の関数で、$t$ は（$f'(t) \neq 0$ のとき）$x$ の関数と見なせます。合成関数の微分法により
$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$$
両辺を $\dfrac{dx}{dt}$ で割ると
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$$
さらに $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ も媒介変数を用いて計算できます。
$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}} = \frac{f'(t)g''(t) - g'(t)f''(t)}{\{f'(t)\}^3}$$
$\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ の関数と見て $t$ で微分し、さらに $\dfrac{dx}{dt}$ で割ります。
$f'(t_0) = 0$ かつ $g'(t_0) \neq 0$ のとき、接線は垂直（$x$ 軸に垂直）です。このとき $\dfrac{dy}{dx}$ は定義されませんが、接線は $x = f(t_0)$ となります。
$f'(t_0) = 0$ のとき $\dfrac{dy}{dx} = 0$ とするのは誤り
$f'(t_0) = 0$, $g'(t_0) \neq 0$ のとき、接線は垂直線 $x = f(t_0)$
$t = t_0$ に対応する曲線上の点 $(f(t_0), g(t_0))$ における接線は次の手順で求めます。
Step 1: 接点の座標を求める：$(x_0, y_0) = (f(t_0), g(t_0))$
Step 2: 傾きを求める：$m = \dfrac{g'(t_0)}{f'(t_0)}$（$f'(t_0) \neq 0$ のとき）
Step 3: 接線の方程式を書く：$y - y_0 = m(x - x_0)$
$f'(t_0) = 0$, $g'(t_0) \neq 0$ の場合は $x = x_0$（垂直線）。
楕円 $x = 3\cos t$, $y = 2\sin t$ 上の $t = \pi/3$ に対応する点での接線を求めます。
Step 1: 接点の座標
$$x_0 = 3\cos\frac{\pi}{3} = \frac{3}{2}, \quad y_0 = 2\sin\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$$Step 2: 傾き
$$\frac{dx}{dt} = -3\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 2\cos t$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{2\cos t}{-3\sin t} = -\frac{2}{3}\cot t$$$t = \pi/3$ のとき
$$m = -\frac{2}{3}\cot\frac{\pi}{3} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{3\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{9}$$Step 3: 接線の方程式
$$y - \sqrt{3} = -\frac{2\sqrt{3}}{9}\!\left(x - \frac{3}{2}\right)$$整理すると
$$y = -\frac{2\sqrt{3}}{9}x + \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} = -\frac{2\sqrt{3}}{9}x + \frac{4\sqrt{3}}{3}$$楕円 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 上の点 $\left(\dfrac{3}{2}, \sqrt{3}\right)$ での接線は、公式 $\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1$ からも求められます。媒介変数を使う方法は曲線の形によらず統一的に適用できる点が利点です。
サイクロイドは半径 $a$ の円が直線上を滑らずに転がるとき、円周上の定点が描く曲線です。
$$x = a(t - \sin t), \quad y = a(1 - \cos t) \quad (a > 0)$$
微分を計算します。
$$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t), \quad \frac{dy}{dt} = a\sin t$$したがって
$$\frac{dy}{dx} = \frac{a\sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$$半角の公式を用いて整理します。$\sin t = 2\sin\dfrac{t}{2}\cos\dfrac{t}{2}$, $1 - \cos t = 2\sin^2\dfrac{t}{2}$ より
$$\frac{dy}{dx} = \frac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\sin^2\frac{t}{2}} = \frac{\cos\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}} = \cot\frac{t}{2}$$接点の座標：
$$x_0 = a\!\left(\frac{\pi}{2} - 1\right), \quad y_0 = a$$傾き：$m = \cot\dfrac{\pi}{4} = 1$
接線の方程式：
$$y - a = 1 \cdot \left\{x - a\!\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)\right\}$$ $$y = x - a\!\left(\frac{\pi}{2} - 2\right)$$$t = 0$ のとき $f'(0) = 0$ かつ $g'(0) = 0$ です。このような点では $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{0}{0}$ となり、通常の方法では傾きが定まりません。
ロピタルの定理的に $\displaystyle\lim_{t \to 0^+}\dfrac{dy}{dx} = \lim_{t \to 0^+}\cot\dfrac{t}{2} = +\infty$ となるため、サイクロイドの尖点での接線は垂直線 $x = 0$ です。
アストロイドは次の媒介変数表示で表される星形の曲線です。
$$x = a\cos^3 t, \quad y = a\sin^3 t \quad (a > 0)$$
$x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ という陰関数表示もあります。
微分を計算します。
$$\frac{dx}{dt} = -3a\cos^2 t \sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 3a\sin^2 t \cos t$$$\cos t \neq 0$ かつ $\sin t \neq 0$ のとき
$$\frac{dy}{dx} = \frac{3a\sin^2 t \cos t}{-3a\cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$$接点の座標：
$$x_0 = a\cos^3\frac{\pi}{6} = a\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{\!3} = \frac{3\sqrt{3}a}{8}$$ $$y_0 = a\sin^3\frac{\pi}{6} = a\!\left(\frac{1}{2}\right)^{\!3} = \frac{a}{8}$$傾き：$m = -\tan\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
接線の方程式：
$$y - \frac{a}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\!\left(x - \frac{3\sqrt{3}a}{8}\right)$$整理すると
$$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{3a}{8} + \frac{a}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{a}{2}$$アストロイドの接線が $x$ 軸と $y$ 軸で切り取る線分の長さは常に一定値 $a$ です。
上の例では $x$ 切片 $= \dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}a}{2}$, $y$ 切片 $= \dfrac{a}{2}$ です。これらの2乗の和は $\dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4} = a^2$ なので、切り取る線分の長さは $a$ です。
カージオイド（心臓形）は極方程式 $r = a(1 + \cos\theta)$ で表される曲線です。極座標から媒介変数表示に変換できます。
極方程式 $r = a(1 + \cos\theta)$ において $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ より
$$x = a(1 + \cos\theta)\cos\theta, \quad y = a(1 + \cos\theta)\sin\theta$$
パラメータは $\theta$ です。
微分を計算します。
$$\frac{dx}{d\theta} = a\{-\sin\theta \cdot \cos\theta + (1+\cos\theta)(-\sin\theta)\} = -a\sin\theta(1 + 2\cos\theta)$$ $$\frac{dy}{d\theta} = a\{-\sin\theta \cdot \sin\theta + (1+\cos\theta)\cos\theta\} = a(2\cos^2\theta + \cos\theta - 1)$$$\dfrac{dy}{d\theta}$ をさらに因数分解すると $2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = (2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1)$ なので
$$\frac{dy}{d\theta} = a(2\cos\theta - 1)(1 + \cos\theta)$$したがって $\sin\theta \neq 0$ のとき
$$\frac{dy}{dx} = \frac{(2\cos\theta - 1)(1 + \cos\theta)}{-\sin\theta(1 + 2\cos\theta)}$$$\cos(\pi/3) = 1/2$, $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ より
接点の座標：$r = a(1 + 1/2) = 3a/2$
$$x_0 = \frac{3a}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3a}{4}, \quad y_0 = \frac{3a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}a}{4}$$傾き：
$$m = \frac{(2 \cdot \frac{1}{2} - 1)(1 + \frac{1}{2})}{-\frac{\sqrt{3}}{2}(1 + 2 \cdot \frac{1}{2})} = \frac{0 \cdot \frac{3}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2} = 0$$よって $\theta = \pi/3$ での接線は水平で
$$y = \frac{3\sqrt{3}a}{4}$$極方程式 $r = f(\theta)$ で表される曲線について、$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ から
$$\frac{dy}{dx} = \frac{f'(\theta)\sin\theta + f(\theta)\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta - f(\theta)\sin\theta}$$
が一般に成り立ちます。この公式は覚えるよりも、その都度 $x$, $y$ をパラメータ $\theta$ で表して微分する方が確実です。
$f'(t_0) = g'(t_0) = 0$ となる点では $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{0}{0}$ の不定形になります。このような特異点では極限を調べるか、パラメータの取り直しが必要です。
カージオイドの $\theta = \pi$（原点）はこのような特異点であり、尖点になります。
Q1. $x = t^2$, $y = t^3$ のとき $\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ で表せ。
Q2. $x = \cos t$, $y = \sin t$ のとき $t = \pi/4$ での接線の傾きを求めよ。
Q3. サイクロイド $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ 上の $t = \pi$ での接線を求めよ。
Q4. アストロイド $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ 上で接線が水平になる $t$ の値を求めよ（$0 < t < 2\pi$）。
Q5. $x = e^t \cos t$, $y = e^t \sin t$ のとき $t = 0$ での接線の方程式を求めよ。
曲線 $x = t + \dfrac{1}{t}$, $y = t - \dfrac{1}{t}$（$t > 0$）上の $t = 2$ に対応する点における接線の方程式を求めよ。
$t = 2$ のとき $x_0 = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$, $y_0 = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$
$\dfrac{dx}{dt} = 1 - \dfrac{1}{t^2}$, $\dfrac{dy}{dt} = 1 + \dfrac{1}{t^2}$
$t = 2$：$\dfrac{dx}{dt} = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$, $\dfrac{dy}{dt} = 1 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}$
$m = \dfrac{5/4}{3/4} = \dfrac{5}{3}$
接線：$y - \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{3}\!\left(x - \dfrac{5}{2}\right)$ すなわち $y = \dfrac{5}{3}x - \dfrac{16}{3}$
手順通りに (1) 接点 (2) 傾き (3) 方程式 を求めます。この曲線は $x^2 - y^2 = 4$（双曲線）となりますが、媒介変数を使えば直接計算できます。
サイクロイド $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ 上の点 $\mathrm{P}$（$t = t_0$, $0 < t_0 < 2\pi$）における接線が $x$ 軸と $45°$ の角をなすとき、$t_0$ の値と接点の座標を求めよ。
接線の傾きが $\pm 1$。$\dfrac{dy}{dx} = \cot\dfrac{t_0}{2}$
$\cot\dfrac{t_0}{2} = 1$ のとき $\dfrac{t_0}{2} = \dfrac{\pi}{4}$, $t_0 = \dfrac{\pi}{2}$
接点：$\left(\dfrac{\pi}{2} - 1,\ 1\right)$
$\cot\dfrac{t_0}{2} = -1$ のとき $\dfrac{t_0}{2} = \dfrac{3\pi}{4}$, $t_0 = \dfrac{3\pi}{2}$
接点：$\left(\dfrac{3\pi}{2} + 1,\ 1\right)$
$x$ 軸と $45°$ の角をなす直線の傾きは $\tan 45° = 1$ または $\tan 135° = -1$ です。サイクロイドの接線の傾き $\cot(t/2)$ をこれらに等しいとおくことで $t_0$ が定まります。
アストロイド $x = 2\cos^3 t$, $y = 2\sin^3 t$ 上の $t = \pi/4$ に対応する点での接線の方程式を求め、この接線が両座標軸と交わる点を結ぶ線分の長さが $2$ であることを示せ。
$t = \pi/4$：$x_0 = 2 \cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $y_0 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{dy}{dx} = -\tan\dfrac{\pi}{4} = -1$
接線：$y - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = -1\!\left(x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ すなわち $y = -x + \sqrt{2}$
$x$ 切片：$\sqrt{2}$, $y$ 切片：$\sqrt{2}$
線分の長さ：$\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4} = 2$ $\quad\blacksquare$
アストロイド $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ の接線が軸で切り取る線分の長さは、$t$ の値によらず常に $a$ です。ここでは $a = 2$ の場合を $t = \pi/4$ で具体的に確認しました。
曲線 $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$（$a > 0$）の $t = \alpha$（$0 < \alpha < \pi/2$）における接線と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれた三角形の面積 $S$ を $\alpha$ を用いて表し、$S$ が最大となる $\alpha$ の値を求めよ。
$t = \alpha$ での接線：$\dfrac{dy}{dx} = -\tan\alpha$ より
$$y - a\sin^3\alpha = -\tan\alpha\,(x - a\cos^3\alpha)$$
$x$ 切片（$y = 0$）：$x = a\cos^3\alpha + a\sin^3\alpha \cdot \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \dfrac{1}{1} = \dfrac{a\cos\alpha(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)}{\,} $
整理すると $x$ 切片 $= \dfrac{a}{\cos\alpha}$...ではなく、正しくは
接線を $x\sin\alpha + y\cos\alpha = a\sin\alpha\cos\alpha$ と書き直すと
$x$ 切片 $= a\cos\alpha$, $y$ 切片 $= a\sin\alpha$
$$S = \frac{1}{2} \cdot a\cos\alpha \cdot a\sin\alpha = \frac{a^2}{4}\sin 2\alpha$$
$\sin 2\alpha$ は $2\alpha = \pi/2$ すなわち $\alpha = \pi/4$ で最大値 $1$ をとる。
$$S_{\max} = \frac{a^2}{4}$$
アストロイドの接線を整理すると $x\sin\alpha + y\cos\alpha = a\sin\alpha\cos\alpha$ となります。三角形の面積を $\alpha$ の関数で表し、三角関数の最大値問題に帰着させます。$\sin 2\alpha$ の最大値は1で、$\alpha = \pi/4$ のとき最大面積 $a^2/4$ をとります。