導関数をさらに微分すると「第2次導関数」、さらにもう一度微分すると「第3次導関数」が得られます。このように繰り返し微分して得られる関数を高次導関数といいます。本記事では高次導関数の記法・代表的な関数の第 $n$ 次導関数の公式、そして積の第 $n$ 次導関数を求めるライプニッツの公式を学びます。
関数 $y = f(x)$ の導関数 $f'(x)$ をさらに $x$ で微分して得られる関数を、$f(x)$ の第2次導関数といいます。同様に第2次導関数を微分して得られる関数を第3次導関数といいます。
第1次導関数：$f'(x)$
第2次導関数：$f''(x) = \bigl(f'(x)\bigr)'$
第3次導関数：$f'''(x) = \bigl(f''(x)\bigr)'$
第 $n$ 次導関数：$f^{(n)}(x) = \bigl(f^{(n-1)}(x)\bigr)'$
第2次以上の導関数をまとめて高次導関数と呼びます。
高次導関数にはさまざまな書き方があります。以下の記法を使い分けられるようにしましょう。
| 次数 | $f$ を使う記法 | $y$ を使う記法 | ライプニッツ記法 |
|---|---|---|---|
| 第1次 | $f'(x)$ | $y'$ | $\dfrac{dy}{dx}$ |
| 第2次 | $f''(x)$ | $y''$ | $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ |
| 第3次 | $f'''(x)$ | $y'''$ | $\dfrac{d^3 y}{dx^3}$ |
| 第 $n$ 次 | $f^{(n)}(x)$ | $y^{(n)}$ | $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ |
$f^{(n)}(x)$ の括弧を省略して $f^n(x)$ と書くと、$n$ 乗 $\bigl(f(x)\bigr)^n$ と混同される
第 $n$ 次導関数は必ず括弧を付けて $f^{(n)}(x)$ と書く
$f(x) = e^x$ のとき、$f'(x) = e^x$ なので、何回微分しても変わりません。
$$\bigl(e^x\bigr)^{(n)} = e^x$$
より一般に、$\bigl(e^{ax}\bigr)^{(n)} = a^n e^{ax}$（$a$ は定数）
$f(x) = e^{ax}$ とする。合成関数の微分法より
$f'(x) = ae^{ax}$, $f''(x) = a^2 e^{ax}$, $f'''(x) = a^3 e^{ax}$
帰納的に $f^{(n)}(x) = a^n e^{ax}$ が成り立つ。
べき関数 $f(x) = x^m$（$m$ は正の整数）を繰り返し微分すると、次数が1ずつ下がります。
$$\bigl(x^m\bigr)^{(n)} = m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)\, x^{m-n} = \frac{m!}{(m-n)!}\, x^{m-n}$$
ただし $n \leq m$ とする。$n > m$ のとき $\bigl(x^m\bigr)^{(n)} = 0$。
特に $n = m$ のとき $(x^m)^{(m)} = m!$（定数）
$f'(x) = 5x^4$, $f''(x) = 20x^3$, $f'''(x) = 60x^2$
$f^{(4)}(x) = 120x$, $f^{(5)}(x) = 120 = 5!$, $f^{(6)}(x) = 0$
$n$ 次多項式の第 $n$ 次導関数は定数（$n!$ 倍の最高次の係数）になり、第 $(n+1)$ 次以降の導関数はすべて $0$ です。
$\sin x$ を繰り返し微分すると、$\cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x$ と4回で一巡します。
$$(\sin x)^{(n)} = \sin\!\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$$
$$(\cos x)^{(n)} = \cos\!\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$$
位相が $\dfrac{\pi}{2}$ ずつ進むと覚えると便利です。
$n = 1$：$(\sin x)' = \cos x = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ 成り立つ。
$n = 2$：$(\sin x)'' = -\sin x = \sin(x + \pi)$ 成り立つ。
$n = 3$：$(\sin x)''' = -\cos x = \sin\!\left(x + \frac{3\pi}{2}\right)$ 成り立つ。
$n = 4$：$(\sin x)^{(4)} = \sin x = \sin(x + 2\pi)$ 成り立つ。
$n = k$ で成立を仮定すると、$n = k + 1$ のとき
$$(\sin x)^{(k+1)} = \left[\sin\!\left(x + \frac{k\pi}{2}\right)\right]' = \cos\!\left(x + \frac{k\pi}{2}\right) = \sin\!\left(x + \frac{(k+1)\pi}{2}\right)$$
よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ で成り立つ。
$$(\log x)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} \quad (x > 0)$$
$y = \log x$ とする。
$y' = \frac{1}{x} = x^{-1}$
$y'' = (-1) x^{-2} = \frac{-1}{x^2}$
$y''' = (-1)(-2) x^{-3} = \frac{2}{x^3}$
$y^{(4)} = (-1)(-2)(-3) x^{-4} = \frac{-6}{x^4}$
この規則性から $y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$ と予想でき、数学的帰納法で証明できる。
Step 1：$f'(x), f''(x), f'''(x), f^{(4)}(x)$ 程度まで具体的に計算する。
Step 2：規則性を見つけ、$f^{(n)}(x)$ の一般式を予想する。
Step 3：数学的帰納法で予想を証明する。
2つの関数の積 $f(x)g(x)$ の第 $n$ 次導関数を求める公式がライプニッツの公式です。これは二項定理と類似した美しい構造を持っています。
関数 $f(x)$, $g(x)$ が第 $n$ 次導関数まで存在するとき、
$$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k)} g^{(k)}$$
$$= f^{(n)}g + \binom{n}{1}f^{(n-1)}g' + \binom{n}{2}f^{(n-2)}g'' + \cdots + fg^{(n)}$$
ただし $f^{(0)} = f$, $g^{(0)} = g$ とする。二項定理 $(a+b)^n = \sum \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ と同じ係数構造。
$n = 1$：$(fg)' = f'g + fg'$ これは積の微分法そのもの。
$n = 2$：$(fg)'' = f''g + 2f'g' + fg''$ 二項係数 $1, 2, 1$ が現れる。
$n = 3$：$(fg)''' = f'''g + 3f''g' + 3f'g'' + fg'''$ 二項係数 $1, 3, 3, 1$ が現れる。
問題：$y = x^2 e^x$ の第 $n$ 次導関数を求めよ。
解：$f(x) = x^2$, $g(x) = e^x$ とおく。
$f' = 2x$, $f'' = 2$, $f''' = 0$（$f^{(k)} = 0$ for $k \geq 3$）
$g^{(k)} = e^x$（すべての $k$）
ライプニッツの公式より（$n \geq 2$ のとき）
$y^{(n)} = \binom{n}{0} f^{(n)} g + \binom{n}{1} f^{(n-1)} g' + \binom{n}{2} f^{(n-2)} g''$
$f^{(k)} = 0$（$k \geq 3$）なので、$f^{(n)} = 0$, $f^{(n-1)} = 0$（$n \geq 3$）。
$n \geq 3$ のとき：$y^{(n)} = \binom{n}{n-2} f'' g^{(n-2)} + \binom{n}{n-1} f' g^{(n-1)} + \binom{n}{n} f g^{(n)}$
$$= \binom{n}{2} \cdot 2 \cdot e^x + n \cdot 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$$
$$= e^x\bigl(x^2 + 2nx + n(n-1)\bigr)$$
一方の関数が多項式のとき、有限回の微分で $0$ になるため、ライプニッツの公式の和が有限項で打ち切られます。$x^m \cdot e^x$、$x^m \cdot \sin x$ などの積の第 $n$ 次導関数に特に有効です。
高次導関数を利用した等式の証明問題は入試でよく出題されます。「$y'' + 2y' + 2y = 0$」のような微分方程式型の等式を示す問題が典型です。
問題：$y = e^{-x}\sin x$ のとき、$y'' + 2y' + 2y = 0$ が成り立つことを示せ。
解：$y = e^{-x}\sin x$ より
$y' = -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x = e^{-x}(-\sin x + \cos x)$
$y'' = -e^{-x}(-\sin x + \cos x) + e^{-x}(-\cos x - \sin x)$
$= e^{-x}(\sin x - \cos x - \cos x - \sin x) = -2e^{-x}\cos x$
したがって
$y'' + 2y' + 2y = -2e^{-x}\cos x + 2e^{-x}(-\sin x + \cos x) + 2e^{-x}\sin x$
$= e^{-x}(-2\cos x - 2\sin x + 2\cos x + 2\sin x) = 0$
問題：$f(x) = x^x$（$x > 0$）の第2次導関数を求めよ。
解：$y = x^x$ の両辺の対数をとると $\log y = x \log x$
両辺を $x$ で微分：$\frac{y'}{y} = \log x + 1$
$y' = x^x(\log x + 1)$
もう一度微分：$y'' = \bigl(x^x\bigr)' (\log x + 1) + x^x \cdot \frac{1}{x}$
$= x^x(\log x + 1)^2 + x^{x-1}$
$e^{-x}$ を含む積の微分で符号を間違える
$(e^{-x})' = -e^{-x}$ の符号変化を常に意識し、各項を丁寧に展開してから整理する
Q1. $f(x) = x^4$ の第3次導関数 $f'''(x)$ を求めよ。
Q2. $(e^{3x})^{(n)}$ を求めよ。
Q3. $(\sin x)^{(5)}$ を求めよ。
Q4. ライプニッツの公式で $(fg)''$ を展開せよ。
Q5. $(\log x)^{(3)}$ を求めよ。
関数 $f(x) = x^x$（$x > 0$）の第2次導関数 $f''(x)$ を求めよ。
$y = x^x$ の両辺の自然対数をとると $\log y = x \log x$
両辺を $x$ で微分すると $\frac{y'}{y} = \log x + 1$
$y' = x^x(\log x + 1)$
$y'' = \bigl[x^x(\log x + 1)\bigr]'$
$= x^x(\log x + 1) \cdot (\log x + 1) + x^x \cdot \frac{1}{x}$
$= x^x(\log x + 1)^2 + x^{x-1}$
関数 $f(x) = e^x \sin x$ について：
(1) $f'(x)$, $f''(x)$ を求めよ。
(2) $f''(x) - 2f'(x) + 2f(x) = 0$ が成り立つことを示せ。
(1) $f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$
$f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$
(2) $f'' - 2f' + 2f$
$= 2e^x \cos x - 2e^x(\sin x + \cos x) + 2e^x \sin x$
$= e^x(2\cos x - 2\sin x - 2\cos x + 2\sin x) = 0$
ライプニッツの公式を用いて、$y = x^3 e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数（$n \geq 3$）を求めよ。
$f(x) = x^3$, $g(x) = e^{2x}$ とおく。
$f' = 3x^2$, $f'' = 6x$, $f''' = 6$, $f^{(k)} = 0$（$k \geq 4$）
$g^{(k)} = 2^k e^{2x}$
$n \geq 3$ のとき、ライプニッツの公式より
$y^{(n)} = \binom{n}{0} f \cdot g^{(n)} + \binom{n}{1} f' \cdot g^{(n-1)} + \binom{n}{2} f'' \cdot g^{(n-2)} + \binom{n}{3} f''' \cdot g^{(n-3)}$
$= x^3 \cdot 2^n e^{2x} + n \cdot 3x^2 \cdot 2^{n-1} e^{2x} + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 6x \cdot 2^{n-2} e^{2x} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \cdot 6 \cdot 2^{n-3} e^{2x}$
$$= 2^{n-3} e^{2x}\!\left(8x^3 + 12nx^2 + 6n(n-1)x + n(n-1)(n-2)\right)$$
$f(x) = x^3$ は第4次以降の導関数が $0$ になるため、ライプニッツの公式の和は4項で打ち切られます。$2^n$ の共通因子をくくり出して整理すると見通しがよくなります。
関数 $f(x) = \log(2x - 1)$ の第 $n$ 次導関数を求めよ。
$f'(x) = \frac{2}{2x-1}$
$f''(x) = \frac{-4}{(2x-1)^2}$, $f'''(x) = \frac{16}{(2x-1)^3}$, $f^{(4)}(x) = \frac{-96}{(2x-1)^4}$
規則性を観察すると、$n \geq 1$ のとき
$$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1} \cdot 2^n \cdot (n-1)!}{(2x-1)^n}$$
数学的帰納法による証明：
[1] $n = 1$：$f'(x) = \frac{2}{2x-1} = \frac{(-1)^0 \cdot 2 \cdot 0!}{(2x-1)^1}$。成り立つ。
[2] $n = k$ で成り立つと仮定する。すなわち $f^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{k-1} \cdot 2^k \cdot (k-1)!}{(2x-1)^k}$
$n = k+1$ のとき
$f^{(k+1)}(x) = \left[\frac{(-1)^{k-1} \cdot 2^k \cdot (k-1)!}{(2x-1)^k}\right]'$
$= (-1)^{k-1} \cdot 2^k \cdot (k-1)! \cdot (-k)(2x-1)^{-k-1} \cdot 2$
$= \frac{(-1)^k \cdot 2^{k+1} \cdot k!}{(2x-1)^{k+1}}$
よって $n = k+1$ でも成り立つ。[1], [2]より、すべての自然数 $n$ で成立。