媒介変数表示と微分
─ パラメータで表された関数を微分する

問題：$x = a\cos\theta$, $y = a\sin\theta$（$a > 0$）のとき、$\dfrac{dy}{dx}$ を $\theta$ の式で表せ。

解：

$\frac{dx}{d\theta} = -a\sin\theta$, $\quad \frac{dy}{d\theta} = a\cos\theta$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{a\cos\theta}{-a\sin\theta} = -\frac{\cos\theta}{\sin\theta} = -\cot\theta$$

（$\sin\theta \neq 0$、すなわち $\theta \neq n\pi$ のとき）

問題：$x = 3\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$ で表される楕円上の $\theta = \frac{\pi}{3}$ における接線の方程式を求めよ。

解：$\frac{dx}{d\theta} = -3\sin\theta$, $\quad \frac{dy}{d\theta} = 2\cos\theta$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2\cos\theta}{-3\sin\theta}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき

$x_0 = 3\cos\frac{\pi}{3} = \frac{3}{2}$, $\quad y_0 = 2\sin\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

$\frac{dy}{dx}\bigg|_{\theta = \pi/3} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{-3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{-\frac{3\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{3\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{9}$

接線の方程式：$y - \sqrt{3} = -\frac{2\sqrt{3}}{9}\left(x - \frac{3}{2}\right)$

整理すると $y = -\frac{2\sqrt{3}}{9}x + \frac{4\sqrt{3}}{3}$

問題：$x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \dfrac{2t}{1+t^2}$ のとき、$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。

解：$\frac{dx}{dt} = \frac{-2t(1+t^2) - (1-t^2) \cdot 2t}{(1+t^2)^2} = \frac{-2t - 2t^3 - 2t + 2t^3}{(1+t^2)^2} = \frac{-4t}{(1+t^2)^2}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{2(1+t^2) - 2t \cdot 2t}{(1+t^2)^2} = \frac{2 - 2t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2}$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2}}{\frac{-4t}{(1+t^2)^2}} = \frac{2(1-t^2)}{-4t} = \frac{t^2 - 1}{2t}$$

$\dfrac{dy}{dx}$ は $t$ の関数なので、$\dfrac{dy}{dx} = h(t)$ とおく。

$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right) = \dfrac{dh}{dx}$

ここで連鎖律 $\dfrac{dh}{dx} = \dfrac{dh}{dt} \cdot \dfrac{dt}{dx} = \dfrac{h'(t)}{f'(t)}$ を用いると

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{h'(t)}{f'(t)} = \frac{\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$$

問題：$x = t^2$, $y = t^3$ のとき、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を求めよ。

解：$\dfrac{dx}{dt} = 2t$, $\dfrac{dy}{dt} = 3t^2$ より

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3t^2}{2t} = \dfrac{3t}{2}$

$\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right) = \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{3t}{2}\right) = \dfrac{3}{2}$

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{3}{2}}{2t} = \frac{3}{4t}$$

解：$\dfrac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos\theta)$, $\quad \dfrac{dy}{d\theta} = a\sin\theta$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{a\sin\theta}{a(1 - \cos\theta)} = \frac{\sin\theta}{1 - \cos\theta}$$

半角の公式を用いると、$\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$, $1 - \cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$ なので

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{2\sin^2\frac{\theta}{2}} = \frac{\cos\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} = \cot\frac{\theta}{2}$$

（$\sin\frac{\theta}{2} \neq 0$、すなわち $\theta \neq 2n\pi$ のとき）

第2次導関数：

$\frac{d}{d\theta}\!\left(\cot\frac{\theta}{2}\right) = -\frac{1}{2\sin^2\frac{\theta}{2}}$

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-\frac{1}{2\sin^2\frac{\theta}{2}}}{a(1 - \cos\theta)} = \frac{-\frac{1}{2\sin^2\frac{\theta}{2}}}{2a\sin^2\frac{\theta}{2}} = -\frac{1}{4a\sin^4\frac{\theta}{2}}$$

問題：$x = a\cos^3\theta$, $y = a\sin^3\theta$（$a > 0$）のとき、$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。

解：$\dfrac{dx}{d\theta} = -3a\cos^2\theta\sin\theta$

$\dfrac{dy}{d\theta} = 3a\sin^2\theta\cos\theta$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3a\sin^2\theta\cos\theta}{-3a\cos^2\theta\sin\theta} = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\tan\theta$$

（$\cos\theta \neq 0$, $\sin\theta \neq 0$ のとき）

問題：点 P が $x = 2\cos t$, $y = 3\sin t$ に沿って運動するとき、$t = \frac{\pi}{4}$ における速度ベクトルと速さを求めよ。

解：速度ベクトルは $\left(\dfrac{dx}{dt},\, \dfrac{dy}{dt}\right) = (-2\sin t,\, 3\cos t)$

$t = \frac{\pi}{4}$ のとき $\left(-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2},\, 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(-\sqrt{2},\, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$

速さ $= \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{2 + \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{13}{2}} = \frac{\sqrt{26}}{2}$