前記事で導入した自然対数の底 $e$ を用いて、指数関数 $e^x$ と対数関数 $\ln x = \log_e x$ に関する極限公式を体系的に学びます。 特に $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$ と $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ は微分法の基盤となる最重要公式です。
この公式は指数関数 $e^x$ の微分を求める際の出発点です。$e$ の定義から丁寧に導出しましょう。
$e^x - 1 = t$ とおくと $e^x = 1 + t$、$x = \ln(1+t)$。
$x \to 0$ のとき $t \to 0$。
$$\frac{e^x - 1}{x} = \frac{t}{\ln(1+t)}$$
ここで $\ln(1+t) = \ln\left((1+t)^1\right)$ であり、$e$ の定義 $\lim_{t \to 0}(1+t)^{1/t} = e$ の対数をとると：
$$\lim_{t \to 0}\frac{1}{t}\ln(1+t) = \lim_{t \to 0}\ln(1+t)^{1/t} = \ln e = 1$$
したがって $\frac{t}{\ln(1+t)} = \frac{1}{\frac{\ln(1+t)}{t}} \to \frac{1}{1} = 1$。
$$\therefore \quad \lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$$
一般の底 $a > 0$, $a \neq 1$ に対して：
$$\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x} = \ln a$$
※ $a = e$ のとき $\ln e = 1$ となり、最もきれいな形。これが $e$ を底に選ぶ理由。
$a^x = e^{x \ln a}$ なので $a^x - 1 = e^{x \ln a} - 1$。
$u = x\ln a$ とおくと $x = \frac{u}{\ln a}$、$x \to 0$ のとき $u \to 0$。
$$\frac{a^x - 1}{x} = \frac{e^u - 1}{\frac{u}{\ln a}} = \frac{e^u - 1}{u} \cdot \ln a \to 1 \cdot \ln a = \ln a$$
$x$ が $0$ に十分近いとき $e^x \approx 1 + x$ という近似が成り立つことを意味します。
つまり $y = e^x$ のグラフは原点付近で $y = 1 + x$（接線）とほぼ一致します。
これは $(e^x)' = e^x$ の $x = 0$ での値が $e^0 = 1$ であること、すなわち $y = e^x$ の $x = 0$ における接線の傾きが $1$ であることに対応します。
✗ $\lim_{x \to 0}\frac{2^x - 1}{x} = 1$ と答える
✓ $\lim_{x \to 0}\frac{2^x - 1}{x} = \ln 2 \approx 0.693$。底が $e$ のときだけ $1$ になる
この公式はセクション1の結果と表裏一体の関係にあり、対数関数の微分の出発点です。
$$\frac{\ln(1+x)}{x} = \frac{1}{x}\ln(1+x) = \ln(1+x)^{1/x}$$
$x \to 0$ のとき $(1+x)^{1/x} \to e$（$e$ の定義）なので：
$$\ln(1+x)^{1/x} \to \ln e = 1$$
$$\therefore \quad \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$$
一般の底 $a > 0$, $a \neq 1$ に対して：
$$\lim_{x \to 0}\frac{\log_a(1+x)}{x} = \frac{1}{\ln a} = \log_a e$$
※ 底の変換公式 $\log_a(1+x) = \frac{\ln(1+x)}{\ln a}$ から直ちに従う。
$\frac{e^x - 1}{x} \to 1$ と $\frac{\ln(1+x)}{x} \to 1$ は互いに同値です。
指数 → 対数：$t = e^x - 1$ とおくと $x = \ln(1+t)$。$\frac{t}{\ln(1+t)} \to 1$ は $\frac{\ln(1+t)}{t} \to 1$ と同じ。
対数 → 指数：$t = \ln(1+x)$ とおくと $x = e^t - 1$。$\frac{t}{e^t - 1} \to 1$ は $\frac{e^t - 1}{t} \to 1$ と同じ。
つまり、片方が証明できればもう片方は自動的に従います。
3つの基本極限を並べてみましょう：
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$（三角関数）
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$（指数関数）
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$（対数関数）
いずれも「$x \to 0$ で分子が $x$ と同程度に小さくなる」ことを表しています。つまり $\sin x \approx x$、$e^x - 1 \approx x$、$\ln(1+x) \approx x$（$x \approx 0$）。
| 関数 $f(x)$ | $x \approx 0$ での近似 | 対応する極限 |
|---|---|---|
| $\sin x$ | $\approx x$ | $\frac{\sin x}{x} \to 1$ |
| $e^x - 1$ | $\approx x$ | $\frac{e^x - 1}{x} \to 1$ |
| $\ln(1+x)$ | $\approx x$ | $\frac{\ln(1+x)}{x} \to 1$ |
| $\tan x$ | $\approx x$ | $\frac{\tan x}{x} \to 1$ |
| $1 - \cos x$ | $\approx \frac{x^2}{2}$ | $\frac{1-\cos x}{x^2} \to \frac{1}{2}$ |
前記事で導いた公式を使い、さまざまな $1^\infty$ 型の極限を求める練習をしましょう。
$$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x = e^a$$
$$\lim_{x \to 0}(1+ax)^{1/x} = e^a$$
※ 2番目は $t = 1/x$ とおけば1番目と同じ。
$t = 3x$ とおくと $x = \frac{t}{3}$、$x \to 0$ のとき $t \to 0$。
$$\frac{e^{3x} - 1}{x} = \frac{e^t - 1}{\frac{t}{3}} = 3 \cdot \frac{e^t - 1}{t} \to 3 \cdot 1 = 3$$
$$\frac{e^{2x} - e^x}{x} = \frac{e^x(e^x - 1)}{x} = e^x \cdot \frac{e^x - 1}{x} \to 1 \cdot 1 = 1$$
$$\frac{\ln(1+3x)}{2x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\ln(1+3x)}{3x}$$
$t = 3x$ とおくと $\frac{\ln(1+t)}{t} \to 1$。
$$\therefore \quad \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+3x)}{2x} = \frac{3}{2}$$
$$\frac{e^x - e^{-x}}{x} = \frac{e^x - 1}{x} + \frac{1 - e^{-x}}{x}$$
第1項：$\frac{e^x - 1}{x} \to 1$。
第2項：$t = -x$ とおくと $\frac{1-e^{-x}}{x} = \frac{e^t - 1}{t} \to 1$。
$$\therefore \quad \lim_{x \to 0}\frac{e^x - e^{-x}}{x} = 1 + 1 = 2$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{e^{ax} - 1}{bx} = \frac{a}{b}$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+ax)}{bx} = \frac{a}{b}$$
三角関数の $\frac{\sin ax}{bx} \to \frac{a}{b}$ と同じパターンです。「中身の係数」と「分母の係数」の比になります。
$x \to \infty$ のとき、指数関数 $e^x$ はどんな多項式 $x^n$ よりも速く増大します。これは重要な定性的結果です。
任意の正の整数 $n$ に対して：
$$\lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x} = 0$$
対数関数は多項式より遅い：
$$\lim_{x \to \infty}\frac{\ln x}{x^n} = 0 \quad (n > 0)$$
※ $x \to \infty$ での増大速度：$\ln x \ll x^n \ll e^x$
$x > 0$ のとき $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots > \frac{x^2}{2}$。
$$0 < \frac{x}{e^x} < \frac{x}{\frac{x^2}{2}} = \frac{2}{x} \to 0 \quad (x \to \infty)$$
はさみうちの原理より $\frac{x}{e^x} \to 0$。
一般の $n$ に対しても $e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ を用いれば同様に示せます。
$t = \ln x$ とおくと $x = e^t$。$x \to \infty$ のとき $t \to \infty$。
$$\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{e^t} \to 0 \quad (\text{先ほどの結果より})$$
$$x^2 e^{-x} = \frac{x^2}{e^x} \to 0 \quad (x \to \infty)$$
$e^x$ の増大速度が $x^2$ を圧倒するため、$0$ に収束します。
$t = -\ln x$ とおくと $x = e^{-t}$。$x \to +0$ のとき $t \to +\infty$。
$$x\ln x = e^{-t} \cdot (-t) = -\frac{t}{e^t} \to -0 = 0$$
$\frac{t}{e^t} \to 0$（指数関数が多項式を圧倒）を利用しました。
✗ $\lim_{x \to +0}x\ln x$ で「$0 \times (-\infty)$」だから答えは $0$、と安易に処理する
✓ $\infty \cdot 0$ は不定形なので、置換や変形で $\frac{0}{0}$ か $\frac{\infty}{\infty}$ に帰着させて計算する
$x = 100$ のとき各関数の大きさを比べてみましょう：
$\ln 100 \approx 4.6$（対数は非常にゆっくり）
$100^2 = 10{,}000$（多項式はそこそこ速い）
$e^{100} \approx 2.69 \times 10^{43}$（指数関数は桁違いに速い）
この圧倒的な差が $\frac{x^n}{e^x} \to 0$ の直感的根拠です。
本章の極限公式を使って、$e^x$ と $\ln x$ の導関数を微分の定義から導くことができます。これは次章「微分法」の予告編です。
微分の定義より：
$$(e^x)' = \lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{e^x(e^h - 1)}{h} = e^x \cdot \lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = e^x \cdot 1 = e^x$$
微分の定義より（$x > 0$）：
$$(\ln x)' = \lim_{h \to 0}\frac{\ln(x+h) - \ln x}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\ln\frac{x+h}{x} = \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)$$
$t = \frac{h}{x}$ とおくと $h = xt$、$h \to 0$ のとき $t \to 0$。
$$= \lim_{t \to 0}\frac{1}{xt}\ln(1+t) = \frac{1}{x}\lim_{t \to 0}\frac{\ln(1+t)}{t} = \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x}$$
$$(e^x)' = e^x$$
$$(\ln x)' = \frac{1}{x} \quad (x > 0)$$
一般の底に対して：
$$(a^x)' = a^x \ln a$$
$$(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a} \quad (x > 0)$$
※ $a = e$ のとき $\ln e = 1$ となり最も簡潔な形。これが自然対数が「自然」な理由。
$e$ を底に選ぶと、指数関数と対数関数の微分が最も美しい形になります：
指数：$(e^x)' = e^x$（微分しても自分自身。他の底 $a$ では $(a^x)' = a^x \ln a$ と余分な定数がつく）
対数：$(\ln x)' = \frac{1}{x}$（$\log_a x$ では $\frac{1}{x \ln a}$ となり不格好）
このシンプルさが、解析学で $e$ と $\ln$ を標準的に使う根本的理由です。
関数の極限の章で学んだ重要公式を一覧にまとめます：
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e, \quad \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x = e^a$
これらの公式が微分法の全体を支える基盤です。
Q1. $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{5x} - 1}{x}$ の値を求めよ。
Q2. $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+4x)}{x}$ の値を求めよ。
Q3. $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{2^x - 1}{x}$ の値を求めよ。
Q4. $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x^3}{e^x}$ の値を求めよ。
Q5. 微分の定義を用いて $(e^x)' = e^x$ が成り立つことを示す際に使う極限公式は何か。
次の極限を求めよ。
$$\lim_{x \to 0}\frac{e^{3x} - e^x}{x}$$
$$\frac{e^{3x} - e^x}{x} = \frac{e^{3x} - 1}{x} - \frac{e^x - 1}{x}$$
$$= 3 \cdot \frac{e^{3x}-1}{3x} - \frac{e^x - 1}{x} \to 3 \cdot 1 - 1 = 2$$
別解：$\frac{e^{3x}-e^x}{x} = \frac{e^x(e^{2x}-1)}{x} = e^x \cdot 2 \cdot \frac{e^{2x}-1}{2x} \to 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$
次の極限を求めよ。
$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}$$
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$（$e^x$ の級数展開）より
$$\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots}{x^2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \cdots \to \frac{1}{2}$$
別解（級数展開を使わない）：$t = e^x - 1$ とおき $x = \ln(1+t)$ として：
$$\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{t - \ln(1+t)}{(\ln(1+t))^2}$$
$\ln(1+t) \approx t - \frac{t^2}{2}$ を用いて $t - \ln(1+t) \approx \frac{t^2}{2}$、$(\ln(1+t))^2 \approx t^2$ より、極限は $\frac{1}{2}$。
この極限は $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$ という2次近似の正当化です。入試では誘導付きで出題されることが多く、$e^x$ の級数展開を知っていると見通しが良くなります。
次の極限を求めよ。
$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{1+3x}{1+2x}\right)^{\frac{1}{x}}$$
$$\frac{1+3x}{1+2x} = 1 + \frac{x}{1+2x}$$
$f(x) = \frac{x}{1+2x}$ とおくと $f(x) \to 0$（$x \to 0$）。
対数をとる：$\frac{1}{x}\ln\left(1+\frac{x}{1+2x}\right) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{1+2x} \cdot \frac{\ln\left(1+\frac{x}{1+2x}\right)}{\frac{x}{1+2x}}$
$\frac{x}{1+2x} \to 0$ のとき $\frac{\ln(1+u)}{u} \to 1$。
$$\frac{1}{x} \cdot \frac{x}{1+2x} = \frac{1}{1+2x} \to 1$$
よって対数の極限は $1 \cdot 1 = 1$。
$$\therefore \quad \lim_{x \to 0}\left(\frac{1+3x}{1+2x}\right)^{1/x} = e^1 = e$$
次の極限を求めよ。
$$\lim_{x \to 0}\frac{e^{\sin x} - e^{\tan x}}{x^3}$$
$$e^{\sin x} - e^{\tan x} = e^{\sin x}\left(1 - e^{\tan x - \sin x}\right)$$
$x \to 0$ のとき $e^{\sin x} \to 1$。$\tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x \cdot \frac{1-\cos x}{\cos x}$。
$u = \tan x - \sin x$ とおくと $1 - e^u \approx -u$（$u \to 0$ のとき）。
$$\frac{e^{\sin x} - e^{\tan x}}{x^3} \approx \frac{-(\tan x - \sin x)}{x^3}$$
$$= \frac{-\sin x \cdot \frac{1-\cos x}{\cos x}}{x^3} = -\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1-\cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x}$$
$$\to -1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$$
この問題は三角関数の極限と指数関数の極限を組み合わせた総合問題です。$e^u - 1 \approx u$（$u \to 0$）の近似と、$\sin x \approx x$、$1-\cos x \approx \frac{x^2}{2}$ という近似を組み合わせることがポイントです。$x^3$ の分母に対して、$\tan x - \sin x$ が $x^3$ のオーダーであることを見抜く力が問われます。