円周率 $\pi$ と並び、数学における最も基本的な定数がネイピア数 $e \approx 2.71828$ です。 本記事では $e$ の定義を極限で与え、その値の意味を複利計算から理解し、 級数表示やさまざまな性質を学びます。$e$ は微分・積分の理論を貫く中心的存在です。
数列 $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ を考えます。$n$ を大きくしたとき、この数列がどのような値に収束するかを調べましょう。
| $n$ | $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ の近似値 |
|---|---|
| $1$ | $2.00000$ |
| $10$ | $2.59374$ |
| $100$ | $2.70481$ |
| $1{,}000$ | $2.71692$ |
| $10{,}000$ | $2.71815$ |
| $100{,}000$ | $2.71827$ |
| $\to \infty$ | $\to e \approx 2.71828\cdots$ |
$$e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$
※ この数列は単調増加で上に有界であることが証明でき、したがって収束する。
単調増加：二項定理を用いると
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = 1 + 1 + \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)$$
$n$ が増加すると $1 - \frac{j}{n}$ の各因子が大きくなり、さらに項数も増えるので、数列は単調増加です。
上に有界：$\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k-1}}$（$k \geq 2$）を用いると
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < 1 + 1 + \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{2^{k-1}} = 1 + 1 + 1 = 3$$
よって数列は $3$ を超えません。単調増加かつ上に有界なので収束します。
$e$ は無理数です（オイラーによる証明、1737年）。さらに $e$ は超越数でもあります（エルミートによる証明、1873年）。つまり整数係数の代数方程式の解にはなりません。
$e = 2.71828\,18284\,59045\,23536\cdots$ と小数は無限に続き、循環しません。
数列の極限を連続変数に拡張して、関数の極限としても $e$ を定義できます。
$$e = \lim_{h \to 0}(1 + h)^{\frac{1}{h}}$$
これは $h = \frac{1}{n}$ とおけば数列版の定義と一致します。
※ $h \to +0$ でも $h \to -0$ でも同じ値 $e$ に収束する。
$h = \frac{1}{n}$（$n$ は正の整数）とおくと $h \to +0$ のとき $n \to \infty$ で：
$$(1+h)^{1/h} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$$
$h \to -0$ の場合は $h = -\frac{1}{m}$（$m > 1$）とおくと：
$$(1+h)^{1/h} = \left(1 - \frac{1}{m}\right)^{-m} = \left(\frac{m-1}{m}\right)^{-m} = \left(\frac{m}{m-1}\right)^m$$
$= \left(1+\frac{1}{m-1}\right)^m = \left(1+\frac{1}{m-1}\right)^{m-1} \cdot \left(1+\frac{1}{m-1}\right) \to e \cdot 1 = e$
$t = \frac{1}{h}$ とおくと $(1+h)^{1/h} = \left(1+\frac{1}{t}\right)^t$ です。
$h \to +0$ のとき $t \to +\infty$、$h \to -0$ のとき $t \to -\infty$ なので：
$$\lim_{t \to \pm\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t = e$$
つまり $t \to +\infty$ でも $t \to -\infty$ でも同じ値 $e$ に収束します。
✗ $(1+\frac{1}{n})^n$ は「$1$ の $\infty$ 乗」だから $1$ になる、と考える
✓ $1+\frac{1}{n}$ は $1$ より少し大きい数を、非常に多くの回数掛け合わせる。底と指数が連動して変化するため、$1$ にも $\infty$ にもならず、$e$ という有限値に収束する
$1^\infty$ 型は不定形であり、個別に極限を計算する必要があります。
$e$ がなぜ自然に現れるのか、複利計算（利息が利息を生む仕組み）を通じて理解しましょう。
元金 $1$ 円を年利 $100\%$ で $1$ 年間預けるとします。
年1回の複利：$1 \times (1+1)^1 = 2$ 円
半年ごとの複利（年2回）：$1 \times \left(1+\frac{1}{2}\right)^2 = 2.25$ 円
四半期ごと（年4回）：$1 \times \left(1+\frac{1}{4}\right)^4 \approx 2.4414$ 円
毎月（年12回）：$1 \times \left(1+\frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.6130$ 円
毎日（年365回）：$1 \times \left(1+\frac{1}{365}\right)^{365} \approx 2.7146$ 円
連続複利（$n \to \infty$）：$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2.7183$ 円
利息をどれだけ細かく分割して付与しても、1年後の元利合計は $e$ 円を超えません。
$e$ は「連続的な成長の限界値」を表す定数であり、金融、物理、生物学など至るところに登場します。
年利 $r$（$100r\%$）の連続複利で元金 $P$ を $t$ 年間運用すると：
$$A = P \cdot e^{rt}$$
これは $\lim_{n \to \infty}P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt} = Pe^{rt}$ から導かれます。
連続複利で資産が2倍になる年数は $e^{rt} = 2$ より $t = \frac{\ln 2}{r} \approx \frac{0.693}{r}$ です。
実用的な近似として「72の法則」が知られています：年利 $r\%$ のとき約 $\frac{72}{r}$ 年で2倍。
例：年利 $6\%$ なら約 $\frac{72}{6} = 12$ 年で2倍（正確には $\frac{\ln 2}{0.06} \approx 11.55$ 年）。
$e$ は無限級数（無限に続く和）としても表すことができます。
$$e = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots$$
$$= 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \cdots$$
※ $0! = 1$ と約束する。この級数は非常に速く収束する。
二項定理の展開：
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}$$
$\binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!} \cdot \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} = \frac{1}{k!}\cdot 1 \cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)$
$n \to \infty$ で各因子 $\to 1$ となるので、$k$ 番目の項 $\to \frac{1}{k!}$。
よって形式的に $e = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$。
| $k$ | $\frac{1}{k!}$ | 部分和 $\sum_{j=0}^{k}\frac{1}{j!}$ |
|---|---|---|
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $2$ |
| $2$ | $0.5$ | $2.5$ |
| $3$ | $0.1\overline{6}$ | $2.6\overline{6}$ |
| $4$ | $0.041\overline{6}$ | $2.708\overline{3}$ |
| $5$ | $0.008\overline{3}$ | $2.71\overline{6}$ |
| $10$ | $\approx 0.0000003$ | $\approx 2.7182818$ |
$e \approx 2.71828$ は「ふなひとはつは（2.71828）」のような語呂合わせで覚えられます。
さらに精密には $e \approx 2.71828\,18284\,59045\cdots$ で、$1828$ が2回繰り返される偶然の一致が記憶の助けになります。
$e$ の定義から、入試で頻出する極限公式を導きましょう。次の記事で扱う指数・対数関数の極限の土台となります。
$$\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \qquad \text{（数列版）}$$
$$\lim_{h \to 0}(1+h)^{1/h} = e \qquad \text{（関数版）}$$
$$\lim_{x \to \pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x = e^a \qquad \text{（$a$ は定数）}$$
$t = \frac{x}{a}$（$a \neq 0$）とおくと $x = at$、$x \to \infty$ のとき $t \to \infty$。
$$\left(1+\frac{a}{x}\right)^x = \left(1+\frac{1}{t}\right)^{at} = \left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^a \to e^a$$
$a = 0$ のとき $(1+0)^x = 1 = e^0$ で成立。
$$\left(1+\frac{3}{n}\right)^{2n} = \left[\left(1+\frac{3}{n}\right)^n\right]^2 \to (e^3)^2 = e^6$$
$$\left(\frac{n+2}{n}\right)^{3n} = \left(1+\frac{2}{n}\right)^{3n} = \left[\left(1+\frac{2}{n}\right)^n\right]^3 \to (e^2)^3 = e^6$$
✗ $\lim\left(1+\frac{a}{n}\right)^n = (1+0)^\infty$ として処理する
✓ 底と指数を分離せず、$\left[\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n/a}\right]^a$ のように $e$ の定義の形に変形する
$e$ の真価は微分法で明らかになります。$f(x) = e^x$ は微分しても自分自身になる唯一の指数関数です：
$$(e^x)' = e^x$$
これが $e$ を底に選ぶ最大の理由であり、自然対数 $\ln x = \log_e x$ が「自然」と呼ばれる所以です。
次の記事「指数・対数関数の極限」で、この性質を極限の観点から詳しく見ていきます。
Q1. $e$ の定義を数列の極限として述べよ。
Q2. $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{5}{n}\right)^n$ の値を求めよ。
Q3. $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < 3$ がすべての正の整数 $n$ で成り立つ理由を簡潔に述べよ。
Q4. $(1+h)^{1/h}$ は $h \to 0$ でどんな値に収束するか。
Q5. 年利 $100\%$ の連続複利で元金 $1$ 円を $1$ 年間預けると、$1$ 年後の元利合計はいくらか。
次の極限を求めよ。
$$\lim_{n \to \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$$
$m = n - 1$ とおくと $n = m+1$、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$。
$$\left(1-\frac{1}{n}\right)^n = \left(\frac{n-1}{n}\right)^n = \left(\frac{m}{m+1}\right)^{m+1} = \frac{1}{\left(\frac{m+1}{m}\right)^{m+1}} = \frac{1}{\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m+1}}$$
$$= \frac{1}{\left(1+\frac{1}{m}\right)^m \cdot \left(1+\frac{1}{m}\right)} \to \frac{1}{e \cdot 1} = \frac{1}{e} = e^{-1}$$
次の極限を求めよ。
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^{n+1}$$
$$\frac{2n+3}{2n+1} = 1 + \frac{2}{2n+1}$$
$$\left(1 + \frac{2}{2n+1}\right)^{n+1} = \left(1 + \frac{2}{2n+1}\right)^{\frac{2n+1}{2} \cdot \frac{2(n+1)}{2n+1}}$$
$t = 2n+1$ とおくと $\left(1+\frac{2}{t}\right)^{t/2} \to (e^2)^{1/2} = e$。
指数の補正：$\frac{2(n+1)}{2n+1} = \frac{2n+2}{2n+1} \to 1$。
$$\therefore \quad \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^{n+1} = e^1 = e$$
$\left(1+\frac{a}{f(n)}\right)^{g(n)}$ の形では、$\frac{g(n)}{f(n)} \to c$ のとき極限は $e^{ac}$ です。本問では $a=2$、$\frac{g(n)}{f(n)} = \frac{n+1}{2n+1} \to \frac{1}{2}$ なので $e^{2 \cdot 1/2} = e$ です。
次の極限を求めよ。
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^2+1}{n^2-1}\right)^{n^2}$$
$$\frac{n^2+1}{n^2-1} = 1 + \frac{2}{n^2-1}$$
$$\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)^{n^2} = \left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)^{(n^2-1) \cdot \frac{n^2}{n^2-1}}$$
$\left(1+\frac{2}{n^2-1}\right)^{n^2-1} \to e^2$（$\lim(1+a/m)^m = e^a$ より）。
$\frac{n^2}{n^2-1} \to 1$。
$$\therefore \quad \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^2+1}{n^2-1}\right)^{n^2} = e^2$$
数列 $\{a_n\}$ を $a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ で定める。
(1) $\{a_n\}$ は単調減少であることを示せ。（ヒント：$\frac{a_n}{a_{n+1}}$ を考えよ）
(2) $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。
(1) $\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}}$ を計算する。
$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}}{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+2}}$
相加・相乗平均の不等式を利用すると $\frac{a_n}{a_{n+1}} > 1$ が示せる。
よって $a_n > a_{n+1}$、すなわち $\{a_n\}$ は単調減少。
(2) $a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)$
$n \to \infty$ のとき $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$、$\left(1+\frac{1}{n}\right) \to 1$。
$$\therefore \quad \lim_{n \to \infty}a_n = e \cdot 1 = e$$
$b_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ は単調増加で $e$ に収束し、$a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ は単調減少で $e$ に収束します。つまり $b_n < e < a_n$ がすべての $n$ で成り立ち、$e$ は $b_n$ と $a_n$ に挟まれています。