$\int_a^b |f(x)|\, dx$ は、定積分の中でも特に間違えやすいテーマです。絶対値を外すために $f(x) = 0$ の解で区間を分割し、各区間で符号を判定してから積分します。面積計算の基礎としても重要です。
$|f(x)|$ を含む定積分は、そのままでは原始関数を求めることができません。絶対値を外して場合分けすることが第一歩です。
Step 1：$f(x) = 0$ の解を $[a, b]$ 内で求める → $x = c_1, c_2, \ldots$
Step 2：各区間で $f(x)$ の符号を判定する
Step 3：$f(x) \geq 0$ の区間では $|f(x)| = f(x)$、$f(x) \leq 0$ の区間では $|f(x)| = -f(x)$
Step 4：区間ごとに積分して足し合わせる
$|f(x)|$ は「常に $0$ 以上」なので、$\int_a^b |f(x)|\, dx \geq 0$ です。
一方、$\int_a^b f(x)\, dx$ は $f(x)$ が負の部分を含むと正と負が相殺されて値が小さくなります。
したがって $\int_a^b |f(x)|\, dx \neq \left|\int_a^b f(x)\, dx\right|$ が一般に成り立ちます。
正しい計算には区間分割が不可欠です。
✗ $\int_0^2 |x - 1|\, dx = \left|\int_0^2 (x-1)\, dx\right| = \left|\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_0^2\right| = |0| = 0$
✓ $x = 1$ で分割：$\int_0^1 (1-x)\, dx + \int_1^2 (x-1)\, dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
「絶対値を積分の外に出す」ことはできません。必ず中身の符号に応じて区間を分けましょう。
$|ax + b|$ の定積分は最も基本的なパターンです。
例1：$\displaystyle\int_{-1}^3 |x - 1|\, dx$
$x - 1 = 0$ で $x = 1$。$[-1, 1]$ で $x - 1 \leq 0$、$[1, 3]$ で $x - 1 \geq 0$。
$= \int_{-1}^1 (1-x)\, dx + \int_1^3 (x-1)\, dx$
$= \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^1 + \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_1^3$
$= \left(\frac{1}{2} - (-\frac{3}{2})\right) + \left(\frac{3}{2} - (-\frac{1}{2})\right) = 2 + 2 = 4$
例2：$\displaystyle\int_0^4 |2x - 3|\, dx$
$2x - 3 = 0$ で $x = \frac{3}{2}$。$[0, \frac{3}{2}]$ で負、$[\frac{3}{2}, 4]$ で正。
$= \int_0^{3/2} (3-2x)\, dx + \int_{3/2}^4 (2x-3)\, dx$
$= \left[3x - x^2\right]_0^{3/2} + \left[x^2 - 3x\right]_{3/2}^4$
$= \frac{9}{4} + \left(4 - (-\frac{9}{4})\right) = \frac{9}{4} + \frac{25}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2}$
$y = |ax + b|$ のグラフはV字型です。定積分は三角形の面積として直接計算できます。
例：$\int_{-1}^3 |x - 1|\, dx$ は頂点 $(1, 0)$ のV字型で、左の三角形（底辺2, 高さ2）と右の三角形（底辺2, 高さ2）の面積の和 $= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 4$ ✓
簡単な問題では図形的に考える方が速いです。
$|ax^2 + bx + c|$ の定積分では、2次方程式の解が区間分割の境界になります。
例：$\displaystyle\int_0^3 |x^2 - 3x + 2|\, dx$
$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) = 0$ で $x = 1, 2$。
符号：$[0, 1]$ で正、$[1, 2]$ で負、$[2, 3]$ で正。
$= \int_0^1 (x^2-3x+2)\, dx + \int_1^2 -(x^2-3x+2)\, dx + \int_2^3 (x^2-3x+2)\, dx$
$= \left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x\right]_0^1 + \left[-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-2x\right]_1^2 + \left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x\right]_2^3$
第1項：$\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2 = \frac{5}{6}$
第2項：$\left(-\frac{8}{3}+6-4\right)-\left(-\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-2\right) = -\frac{2}{3}-(-\frac{5}{6}) = \frac{1}{6}$
第3項：$\left(9-\frac{27}{2}+6\right)-\left(\frac{8}{3}-6+4\right) = \frac{3}{2}-\frac{2}{3} = \frac{5}{6}$
$= \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$
① 因数分解：$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$（$\alpha < \beta$）
② 符号判定：$a > 0$ のとき $[\alpha, \beta]$ で負、それ以外で正
③ 区間分割：$\alpha, \beta$ で分割して絶対値を外す
※ 判別式 $D < 0$ で実数解がなければ、$f(x)$ の符号は区間全体で一定（絶対値を外すのが簡単）。
✗ 解を求めたが、積分区間の外にある解まで分割点に含めてしまう
✓ 解が $[a, b]$ の中にあるかどうかを確認し、区間内の解のみで分割する
例：$\int_0^1 |x^2-4|\, dx$ では $x^2-4 = 0$ の解 $x = \pm 2$ はいずれも $[0, 1]$ の外。この区間で $x^2 - 4 < 0$ なので $|x^2-4| = 4 - x^2$。
$\int_a^b |f(x) - g(x)|\, dx$ は、2曲線で囲まれた面積を求めるのに使われます。
$|f(x) - g(x)|$ は2つの曲線の間の「高さ」（距離）を表します。
$f(x) \geq g(x)$ の区間では $|f(x) - g(x)| = f(x) - g(x)$
$f(x) \leq g(x)$ の区間では $|f(x) - g(x)| = g(x) - f(x)$
どちらが上にあるかで場合分けし、常に「上 $-$ 下」を積分します。
例：$\displaystyle\int_0^2 |x^2 - x|\, dx$
$x^2 - x = x(x - 1) = 0$ で $x = 0, 1$。
$[0, 1]$: $x^2 - x \leq 0$ → $|x^2-x| = x - x^2$
$[1, 2]$: $x^2 - x \geq 0$ → $|x^2-x| = x^2 - x$
$= \int_0^1 (x - x^2)\, dx + \int_1^2 (x^2 - x)\, dx$
$= \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 + \left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_1^2$
$= \frac{1}{6} + \left(\frac{8}{3}-2-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{6} + \frac{7}{6} - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$
$= \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1$
絶対値を含む定積分は、面積計算の本質的なツールです。
曲線と $x$ 軸の間の面積：
$$S = \int_a^b |f(x)|\, dx$$
2曲線の間の面積：
$$S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\, dx$$
※ いずれも絶対値をつけることで「符号に関わらず面積が正」になります。
① 交点を正確に求める：$f(x) = g(x)$ の解が区間分割の境界。因数分解できるかがポイント。
② 上下関係を図で確認：区間ごとにどちらの曲線が上にあるかを確認し、常に「上 $-$ 下」で積分。
③ 対称性の活用：$f(x)$ や区間が対称なら、半分を計算して2倍する。
面積計算の詳細は次の記事以降で扱います。
問題：$y = x^2 - 1$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。
$x^2 - 1 = 0$ で $x = \pm 1$。$[-1, 1]$ で $x^2 - 1 \leq 0$。
$S = \int_{-1}^1 |x^2 - 1|\, dx = \int_{-1}^1 (1 - x^2)\, dx = 2\int_0^1 (1-x^2)\, dx$（偶関数）
$= 2\left[x - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$
Q1. $\int_0^4 |x - 2|\, dx$ を計算せよ。
Q2. $\int_{-1}^2 |x^2 - 1|\, dx$ を計算せよ。
Q3. $\int_0^3 |x(x-2)|\, dx$ を計算せよ。
Q4. $\int_0^1 |x^2 - 4|\, dx$ を計算せよ。
Q5. $\int_{-2}^2 |x^2 - 2x|\, dx$ を計算するとき、分割点はどこか。
$\displaystyle\int_{-2}^4 |x - 1|\, dx$ の値を求めよ。
$x = 1$ で分割。$[-2, 1]$ で $|x-1| = 1-x$、$[1, 4]$ で $|x-1| = x-1$。
$\int_{-2}^1 (1-x)\, dx + \int_1^4 (x-1)\, dx = \left[x-\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^1 + \left[\frac{x^2}{2}-x\right]_1^4$
$= \left(\frac{1}{2}-(-4)\right) + \left(4-(-\frac{1}{2})\right) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9$
$\displaystyle\int_0^3 |x^2 - 4x + 3|\, dx$ の値を求めよ。
$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = 0$ で $x = 1, 3$。
$[0, 1]$: 正、$[1, 3]$: 負。
$= \int_0^1 (x^2-4x+3)\, dx + \int_1^3 (4x-x^2-3)\, dx$
$= \left[\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right]_0^1 + \left[2x^2-\frac{x^3}{3}-3x\right]_1^3$
$= \frac{4}{3} + \left(0-(-\frac{4}{3})\right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$
$\displaystyle\int_0^a |x - 1|\, dx = 5$（$a > 0$）を満たす $a$ の値を求めよ。
$a \leq 1$ のとき：$\int_0^a (1-x)\, dx = a - \frac{a^2}{2} \leq 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} < 5$ なので不適。
$a > 1$ のとき：$\int_0^1 (1-x)\, dx + \int_1^a (x-1)\, dx = \frac{1}{2} + \frac{(a-1)^2}{2} = 5$
$(a-1)^2 = 9$ より $a - 1 = 3$（$a > 1$ より正）すなわち $a = 4$。
$I(a) = \displaystyle\int_0^2 |x^2 - a|\, dx$ を最小にする $a$ の値と、そのときの最小値を求めよ。
$a \leq 0$ のとき：$[0, 2]$ で $x^2 - a \geq 0$ より $I(a) = \int_0^2 (x^2-a)\, dx = \frac{8}{3}-2a$。$a$ が小さくなるほど大きくなる。
$0 < a < 4$ のとき：$x^2 - a = 0$ で $x = \sqrt{a}$（$0 < \sqrt{a} < 2$）。
$[0, \sqrt{a}]$ で $x^2-a \leq 0$、$[\sqrt{a}, 2]$ で $x^2-a \geq 0$。
$I(a) = \int_0^{\sqrt{a}} (a-x^2)\, dx + \int_{\sqrt{a}}^2 (x^2-a)\, dx$
$= \left[ax-\frac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{a}} + \left[\frac{x^3}{3}-ax\right]_{\sqrt{a}}^2$
$= a\sqrt{a}-\frac{a\sqrt{a}}{3} + \frac{8}{3}-2a-\frac{a\sqrt{a}}{3}+a\sqrt{a}$
$= \frac{4a\sqrt{a}}{3} - 2a + \frac{8}{3}$
$I'(a) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3\sqrt{a}}{2} - 2 = 2\sqrt{a} - 2 = 0$ で $\sqrt{a} = 1$ すなわち $a = 1$。
$I(1) = \frac{4}{3} - 2 + \frac{8}{3} = 4 - 2 = 2$
$a \geq 4$ のとき：$I(a) = \int_0^2 (a-x^2)\, dx = 2a - \frac{8}{3} \geq \frac{16}{3}$
最小値は $a = 1$ のとき $I(1) = 2$。
パラメータを含む絶対値積分の最小値問題です。$a$ の範囲で場合分けし、$I(a)$ を $a$ の関数として求めてから微分で最小値を求めます。$a = 1$ は $y = x^2$ と $y = a$ の交点が $[0, 2]$ の「ちょうどよい位置」にあるときに対応します。