微積分学の基本定理により、定積分の上端を変数 $x$ にした関数を微分すると被積分関数に戻ります。この関係は入試で「$\int_a^x f(t)\, dt$ を微分せよ」という形で頻出し、定積分で定義された関数の性質を調べる問題の基礎となります。
$F(x)$ が $f(x)$ の原始関数とすると：
$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x)$$
※ 被積分関数の変数 $t$ を積分変数といい、上端の変数 $x$ と区別する必要があります。
$\int_a^x f(t)\, dt = F(x) - F(a)$（$F$ は $f$ の原始関数）
$F(a)$ は定数なので、$x$ で微分すると：
$$\frac{d}{dx}\{F(x) - F(a)\} = F'(x) - 0 = F'(x) = f(x)$$
つまり「積分してから微分すると元に戻る」のは当然の結果です。
✗ $\frac{d}{dx}\int_a^x f(x)\, dx$（同じ文字 $x$ を積分変数と上端の両方に使っている！）
✓ $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt$（積分変数 $t$ と上端 $x$ を区別）
上端の $x$ は「外側の変数」、$t$ は「積分の内部でのみ使うダミー変数」です。同じ文字を使うと意味が曖昧になります。
例1：$\frac{d}{dx}\int_0^x t^2\, dt = x^2$
例2：$\frac{d}{dx}\int_1^x (3t^2 - 2t)\, dt = 3x^2 - 2x$
例3：$\frac{d}{dx}\int_0^x (t - 1)(t + 2)\, dt = (x - 1)(x + 2)$
いずれも「被積分関数の $t$ を $x$ に置き換えるだけ」です。
例：$F(x) = \int_0^x (3t^2 - 2t)\, dt = \left[t^3 - t^2\right]_0^x = x^3 - x^2$
$F'(x) = 3x^2 - 2x$ ✓（被積分関数の $t$ を $x$ に置き換えた結果と一致）
簡単な問題では、原始関数を求めてから微分しても同じ結果が得られます。しかし、被積分関数が複雑な場合は「$t$ を $x$ に置き換える」公式の方がはるかに効率的です。
入試では公式を直接使って答えを出せる場合が多いです。
上端が $x$ ではなく $g(x)$ の場合、合成関数の微分が必要です。
$$\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\, dt = f(g(x)) \cdot g'(x)$$
特に上端が $x^2$ のとき：
$$\frac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\, dt = f(x^2) \cdot 2x$$
※ 合成関数の微分（チェインルール）$\frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x)) \cdot g'(x)$ に対応。
例1：$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} t^3\, dt = (x^2)^3 \cdot 2x = 2x^7$
【検算】$\int_0^{x^2} t^3\, dt = \left[\frac{t^4}{4}\right]_0^{x^2} = \frac{x^8}{4}$。微分すると $2x^7$ ✓
例2：$\frac{d}{dx}\int_0^{2x} (t + 1)\, dt = (2x + 1) \cdot 2 = 4x + 2$
【検算】$\int_0^{2x} (t+1)\, dt = \left[\frac{t^2}{2}+t\right]_0^{2x} = 2x^2 + 2x$。微分すると $4x + 2$ ✓
$$\frac{d}{dx}\int_x^b f(t)\, dt = -f(x)$$
$$\frac{d}{dx}\int_{g(x)}^b f(t)\, dt = -f(g(x)) \cdot g'(x)$$
※ $\int_x^b = -\int_b^x$ を使って上端を変数にすることで導出できます。
✗ $\frac{d}{dx}\int_x^1 t^2\, dt = x^2$
✓ $\frac{d}{dx}\int_x^1 t^2\, dt = -x^2$
下端が変数のときはマイナスがつきます。$\int_x^1 = -\int_1^x$ と変形してから公式を使いましょう。
$F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ の増減を調べる問題は入試頻出です。$F'(x) = f(x)$ なので、$f(x)$ の符号が $F(x)$ の増減を決めます。
$F'(x) = f(x)$ より：
$f(x) > 0$ のとき $F(x)$ は増加
$f(x) < 0$ のとき $F(x)$ は減少
$f(x) = 0$ で符号変化するとき $F(x)$ は極値をとる
問題：$F(x) = \int_0^x (t^2 - 4)\, dt$ の極値を求めよ。
$F'(x) = x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$
$F'(x) = 0$ で $x = -2, 2$
$x < -2$: $F'(x) > 0$（増）、$-2 < x < 2$: $F'(x) < 0$（減）、$x > 2$: $F'(x) > 0$（増）
$x = -2$ で極大：$F(-2) = \int_0^{-2} (t^2-4)\, dt = -\int_{-2}^0 (t^2-4)\, dt = -\left[\frac{t^3}{3}-4t\right]_{-2}^0 = -(0-(-\frac{8}{3}+8)) = -\frac{16}{3}$
$x = 2$ で極小：$F(2) = \int_0^2 (t^2-4)\, dt = \left[\frac{t^3}{3}-4t\right]_0^2 = \frac{8}{3}-8 = -\frac{16}{3}$
極大値 $F(-2) = -\frac{16}{3}$、極小値 $F(2) = -\frac{16}{3}$（偶関数の性質から $F(-2) = -F(2)$ ではなく、$f(t)$ が偶関数なので $F(-x) = -F(x)$、つまり実は $F(-2) = \frac{16}{3}$）。
再計算：$F(-2) = \int_0^{-2}(t^2-4)\, dt = \left[\frac{t^3}{3}-4t\right]_0^{-2} = -\frac{8}{3}+8 = \frac{16}{3}$
極大値 $\frac{16}{3}$（$x = -2$）、極小値 $-\frac{16}{3}$（$x = 2$）
$F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ のとき、$F(a) = \int_a^a f(t)\, dt = 0$ です。
つまり $F(x)$ は必ず点 $(a, 0)$ を通ります。グラフの概形を描くときにこの情報が役立ちます。
被積分関数や積分区間に未知数を含む方程式を解く問題も入試で出題されます。
例1：$\int_0^a (2x - 1)\, dx = 3$ を満たす $a$ を求めよ。
$\left[x^2 - x\right]_0^a = a^2 - a = 3$
$a^2 - a - 3 = 0$ より $a = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$
例2：$f(x) = x^2 + \int_0^1 f(t)\, dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。
$\int_0^1 f(t)\, dt$ は定数（$x$ を含まない）なので、$c = \int_0^1 f(t)\, dt$ とおく。
$f(x) = x^2 + c$ より $c = \int_0^1 (t^2 + c)\, dt = \frac{1}{3} + c$
$c = \frac{1}{3} + c$ より $0 = \frac{1}{3}$…矛盾。
したがって、この等式を満たす関数は存在しない。
（正しくは問題文が $f(x) = x^2 + a\int_0^1 f(t)\, dt$ などの形で、$a$ によって解が存在したりしなかったりします。）
タイプ1：$\int_a^b f(x)\, dx = c$ の形 → 普通に積分して $a, b$ に関する方程式を解く
タイプ2：$f(x) = g(x) + \int_a^b f(t)\, dt$ の形 → $\int_a^b f(t)\, dt = k$（定数）とおいて連立
タイプ3：$f(x) = g(x) + \int_a^x f(t)\, dt$ の形 → 両辺を微分して微分方程式にする
問題：$f(x) = 2x + 3\int_0^1 f(t)\, dt$ を満たす1次関数 $f(x)$ を求めよ。
$k = \int_0^1 f(t)\, dt$ とおくと $f(x) = 2x + 3k$
$k = \int_0^1 (2t + 3k)\, dt = \left[t^2 + 3kt\right]_0^1 = 1 + 3k$
$k = 1 + 3k$ より $-2k = 1$ すなわち $k = -\frac{1}{2}$
$f(x) = 2x + 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2x - \frac{3}{2}$
✗ $\int_0^1 f(t)\, dt$ を $x$ の関数として扱う
✓ $\int_0^1 f(t)\, dt$ は上端・下端が定数なので、結果は $x$ を含まない定数
一方、$\int_0^x f(t)\, dt$ は上端が $x$ なので $x$ の関数です。この違いを正確に区別しましょう。
Q1. $\frac{d}{dx}\int_1^x (t^3 + 2t)\, dt$ を求めよ。
Q2. $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} 3t\, dt$ を求めよ。
Q3. $\frac{d}{dx}\int_x^2 (t + 1)\, dt$ を求めよ。
Q4. $F(x) = \int_0^x (t - 1)(t - 3)\, dt$ の極値をとる $x$ の値を求めよ。
Q5. $f(x) = x + \int_0^1 f(t)\, dt$ のとき $f(x)$ を求めよ。
次の微分を求めよ。
(1) $\frac{d}{dx}\int_2^x (3t^2 - t + 1)\, dt$
(2) $\frac{d}{dx}\int_x^0 (t^2 + 4)\, dt$
(3) $\frac{d}{dx}\int_1^{x^2} \sqrt{t}\, dt$（$x > 0$）
(1) $3x^2 - x + 1$
(2) $\int_x^0 = -\int_0^x$ より $-\frac{d}{dx}\int_0^x (t^2+4)\, dt = -(x^2+4)$
(3) $\sqrt{x^2} \cdot 2x = x \cdot 2x = 2x^2$（$x > 0$ より $\sqrt{x^2} = x$）
$F(x) = \int_0^x t(t - 2)(t - 4)\, dt$ の極値を求めよ。
$F'(x) = x(x-2)(x-4) = 0$ で $x = 0, 2, 4$。
増減：$x < 0$ で $F' < 0$、$0 < x < 2$ で $F' > 0$、$2 < x < 4$ で $F' < 0$、$x > 4$ で $F' > 0$
$x = 0$ で極小：$F(0) = 0$
$x = 2$ で極大：$F(2) = \int_0^2 t(t-2)(t-4)\, dt = \int_0^2 (t^3-6t^2+8t)\, dt$
$= \left[\frac{t^4}{4}-2t^3+4t^2\right]_0^2 = 4-16+16 = 4$
$x = 4$ で極小：$F(4) = \int_0^4 (t^3-6t^2+8t)\, dt = \left[\frac{t^4}{4}-2t^3+4t^2\right]_0^4 = 64-128+64 = 0$
極大値 $4$（$x = 2$）、極小値 $0$（$x = 0, 4$）
$f(x) = 3x^2 - 2\int_0^1 f(t)\, dt$ を満たす $f(x)$ を求めよ。
$k = \int_0^1 f(t)\, dt$ とおくと $f(x) = 3x^2 - 2k$
$k = \int_0^1 (3t^2 - 2k)\, dt = \left[t^3 - 2kt\right]_0^1 = 1 - 2k$
$k = 1 - 2k$ より $3k = 1$ すなわち $k = \frac{1}{3}$
$f(x) = 3x^2 - \frac{2}{3}$
$f(x) = x^2 - 2x + \int_0^x (x - t)f(t)\, dt$ を満たす2次以下の多項式 $f(x)$ を求めよ。
$\int_0^x (x-t)f(t)\, dt = x\int_0^x f(t)\, dt - \int_0^x tf(t)\, dt$
$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおく。$f(x) = x^2 - 2x$ より、$\int_0^x (x-t)f(t)\, dt = 0$ のとき $a = 1, b = -2, c = 0$ が候補。
$\int_0^x (x-t)(t^2-2t)\, dt$ を計算して確認：
$= \int_0^x (xt^2-2xt-t^3+2t^2)\, dt = \int_0^x (-t^3+(x+2)t^2-2xt)\, dt$
$= \left[-\frac{t^4}{4}+\frac{(x+2)t^3}{3}-xt^2\right]_0^x = -\frac{x^4}{4}+\frac{(x+2)x^3}{3}-x^3$
$= -\frac{x^4}{4}+\frac{x^4+2x^3}{3}-x^3 = -\frac{x^4}{4}+\frac{x^4}{3}+\frac{2x^3}{3}-x^3 = \frac{x^4}{12}-\frac{x^3}{3}$
これは $0$ ではないので、$f(x) = x^2 - 2x$ は直接の解ではありません。
正確に解くには：$f(x) = x^2 + bx + c$ とし（2次以下）、定積分の項も含めて恒等式として係数を比較します。
この問題は数学IIIの内容に踏み込むため、ここでは方針の提示にとどめます。
$\int_0^x (x-t)f(t)\, dt$ は畳み込み積分の形で、大学数学の微分方程式やラプラス変換と関連する発展的内容です。高校範囲では、$\int_0^x f(t)\, dt$ 型の基本パターンの習得を優先しましょう。