積分法で最初に学ぶ応用は「面積の計算」です。曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた領域の面積を、定積分を使って正確に求める方法を学びます。$x$ 軸より下にある部分の処理が重要なポイントです。
曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸、および2直線 $x = a$, $x = b$ で囲まれた領域の面積を求めます。
$[a, b]$ で $f(x) \geq 0$ のとき：
$$S = \int_a^b f(x)\, dx$$
$[a, b]$ で $f(x) \leq 0$ のとき：
$$S = -\int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b (-f(x))\, dx$$
一般の場合：
$$S = \int_a^b |f(x)|\, dx$$
面積は図形の「大きさ」を表す量なので、常に正（$\geq 0$）です。
定積分の値は正にも負にもなりますが、面積を求めるときは絶対値を使って常に正にします。
「面積 $= \int_a^b f(x)\, dx$」が成り立つのは $f(x) \geq 0$ の場合だけです。
✗ $y = x^2 - 4$ と $x$ 軸で囲まれた面積 $= \int_{-2}^2 (x^2-4)\, dx = -\frac{32}{3}$（負の値！）
✓ $[-2, 2]$ で $x^2-4 \leq 0$ なので $S = -\int_{-2}^2 (x^2-4)\, dx = \int_{-2}^2 (4-x^2)\, dx = \frac{32}{3}$
$x$ 軸の下側の部分は符号を反転（$-f(x)$ を積分）する必要があります。
$f(x) \geq 0$ の区間 $[a, b]$ では、定積分がそのまま面積になります。
例1：$y = x^2$ と $x$ 軸、$x = 0$, $x = 3$ で囲まれた面積
$[0, 3]$ で $x^2 \geq 0$ より $S = \int_0^3 x^2\, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9$
例2：$y = 6x - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた面積
$6x - x^2 = x(6-x) = 0$ で $x = 0, 6$。$[0, 6]$ で $f(x) \geq 0$。
$S = \int_0^6 (6x - x^2)\, dx = \left[3x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^6 = 108 - 72 = 36$
「$y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分」とは、曲線と $x$ 軸が交わる点で区切られた閉じた領域を指します。
交点は $f(x) = 0$ の解です。まず交点を求め、次に区間を特定してから積分しましょう。
曲線が $x$ 軸の上下にまたがる場合、区間を分割して各部分の面積を求めます。
$f(x) = 0$ の解 $c$ が $[a, b]$ 内にあり、$[a, c]$ で $f(x) \geq 0$、$[c, b]$ で $f(x) \leq 0$ のとき：
$$S = \int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b (-f(x))\, dx = \int_a^c f(x)\, dx - \int_c^b f(x)\, dx$$
例：$y = x^2 - 2x$ と $x$ 軸、$x = -1$, $x = 3$ で囲まれた面積
$x^2 - 2x = x(x-2) = 0$ で $x = 0, 2$。
$[-1, 0]$: $f(x) \geq 0$（上側）、$[0, 2]$: $f(x) \leq 0$（下側）、$[2, 3]$: $f(x) \geq 0$（上側）
$S = \int_{-1}^0 (x^2-2x)\, dx - \int_0^2 (x^2-2x)\, dx + \int_2^3 (x^2-2x)\, dx$
$= \left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{-1}^0 - \left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_0^2 + \left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_2^3$
$= \left(0-(-\frac{1}{3}-1)\right) - \left(\frac{8}{3}-4\right) + \left(9-9-\frac{8}{3}+4\right)$
$= \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4$
2次関数と $x$ 軸で囲まれた面積は入試で最も頻出のパターンです。有名な$\frac{1}{6}$ 公式が使えます。
$y = a(x - \alpha)(x - \beta)$（$a \neq 0$, $\alpha < \beta$）と $x$ 軸で囲まれた面積は：
$$S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$$
※ この公式を使うと、展開・積分の計算を省略できます。
$a > 0$ の場合（$[\alpha, \beta]$ で $f(x) \leq 0$）：
$S = -\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta)\, dx$
$t = x - \alpha$ と置換（$x = t + \alpha$, $x - \beta = t - (\beta - \alpha)$）：
$= -a\int_0^{\beta-\alpha} t(t - (\beta-\alpha))\, dt = -a\int_0^h t(t-h)\, dt$（$h = \beta - \alpha$）
$= -a\int_0^h (t^2 - ht)\, dt = -a\left[\frac{t^3}{3} - \frac{ht^2}{2}\right]_0^h = -a\left(\frac{h^3}{3} - \frac{h^3}{2}\right) = -a \cdot \left(-\frac{h^3}{6}\right) = \frac{ah^3}{6}$
$a < 0$ の場合も $|a|$ がつくので $S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$。
例1：$y = x^2 - 4$ と $x$ 軸で囲まれた面積
$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$ で $\alpha = -2, \beta = 2$, $a = 1$
$S = \frac{1}{6}(2-(-2))^3 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$
例2：$y = -2x^2 + 8x - 6$ と $x$ 軸で囲まれた面積
$= -2(x^2 - 4x + 3) = -2(x-1)(x-3)$ で $\alpha = 1, \beta = 3$, $|a| = 2$
$S = \frac{2}{6}(3-1)^3 = \frac{2}{6} \cdot 8 = \frac{8}{3}$
✗ $y = x^2 + 1$ と $x$ 軸で囲まれた面積に $\frac{1}{6}$ 公式を使う（$x^2 + 1 = 0$ は実数解をもたないので、囲まれた部分が存在しない！）
✓ $\frac{1}{6}$ 公式は「放物線が $x$ 軸と2点で交わる」場合にのみ使える
$\frac{1}{6}$ 公式は計算を大幅に省略できますが、使える場面を正確に見極めましょう：
✅ 2次関数と $x$ 軸で囲まれた面積 → 使える
✅ 2次関数と直線で囲まれた面積 → 使える（次の記事で扱います）
❌ 3次関数と $x$ 軸で囲まれた面積 → 使えない
❌ 「$x = a$ から $x = b$ まで」と指定がある場合 → 交点と一致するか確認
3次関数の場合は $\frac{1}{6}$ 公式が直接使えないため、丁寧に計算する必要があります。
例：$y = x^3 - x$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積
$x^3 - x = x(x-1)(x+1) = 0$ で $x = -1, 0, 1$。
$[-1, 0]$: $f(x) \geq 0$（上側）、$[0, 1]$: $f(x) \leq 0$（下側）
$S = \int_{-1}^0 (x^3 - x)\, dx - \int_0^1 (x^3 - x)\, dx$
$= \left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0 - \left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1$
$= \left(0 - (\frac{1}{4}-\frac{1}{2})\right) - \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
$f(x) = x^3 - x$ は奇関数なので、$[-1, 0]$ の上側部分と $[0, 1]$ の下側部分の面積は等しくなります。
$$S = 2\int_0^1 |x^3 - x|\, dx = 2\int_0^1 (x - x^3)\, dx = 2\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$
対称性を使うと計算が半分になります。
Q1. $y = x^2$ と $x$ 軸、$x = 0$, $x = 2$ で囲まれた面積を求めよ。
Q2. $y = x^2 - 9$ と $x$ 軸で囲まれた面積を $\frac{1}{6}$ 公式で求めよ。
Q3. $y = -x^2 + 4x$ と $x$ 軸で囲まれた面積を求めよ。
Q4. $y = x^3 - 4x$ と $x$ 軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ。
Q5. $\frac{1}{6}$ 公式の「$\frac{1}{6}$」はどこから来るか、簡潔に説明せよ。
次の曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
(1) $y = x^2 - 6x + 8$
(2) $y = -x^2 + 2x + 3$
(1) $x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$。$\frac{1}{6}$ 公式：$S = \frac{1}{6}(4-2)^3 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
(2) $-x^2+2x+3 = -(x^2-2x-3) = -(x-3)(x+1)$。$S = \frac{1}{6}(3-(-1))^3 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$
$y = x^2 - 4x + 3$ と $x$ 軸、$x = 0$, $x = 4$ で囲まれた部分の面積を求めよ。
$x^2-4x+3 = (x-1)(x-3) = 0$ で $x = 1, 3$。
$[0,1]$: 正、$[1,3]$: 負、$[3,4]$: 正
$S = \int_0^1 (x^2-4x+3)\, dx - \int_1^3 (x^2-4x+3)\, dx + \int_3^4 (x^2-4x+3)\, dx$
各項を計算：
$\int_0^1 = \left[\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right]_0^1 = \frac{1}{3}-2+3 = \frac{4}{3}$
$\int_1^3 = \left[\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right]_1^3 = (9-18+9)-\frac{4}{3} = -\frac{4}{3}$
$\int_3^4 = \left[\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right]_3^4 = (\frac{64}{3}-32+12)-0 = \frac{4}{3}$
$S = \frac{4}{3} - (-\frac{4}{3}) + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4$
放物線 $y = x^2 - ax$（$a > 0$）と $x$ 軸で囲まれた部分の面積が $\frac{9}{2}$ であるとき、$a$ の値を求めよ。
$x^2 - ax = x(x - a) = 0$ で $x = 0, a$。
$\frac{1}{6}$ 公式：$S = \frac{1}{6}(a - 0)^3 = \frac{a^3}{6}$
$\frac{a^3}{6} = \frac{9}{2}$ より $a^3 = 27$ すなわち $a = 3$
$y = x^3 - 3x^2 + 2x$ と $x$ 軸で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求めよ。
$x^3 - 3x^2 + 2x = x(x^2-3x+2) = x(x-1)(x-2) = 0$ で $x = 0, 1, 2$。
$[0, 1]$: $f(x) \geq 0$、$[1, 2]$: $f(x) \leq 0$
$S = \int_0^1 (x^3-3x^2+2x)\, dx - \int_1^2 (x^3-3x^2+2x)\, dx$
$F(x) = \frac{x^4}{4}-x^3+x^2$ として
$F(0) = 0$, $F(1) = \frac{1}{4}-1+1 = \frac{1}{4}$, $F(2) = 4-8+4 = 0$
第1項：$F(1)-F(0) = \frac{1}{4}$
第2項：$-(F(2)-F(1)) = -(0-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$
$S = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
$f(x) = x(x-1)(x-2)$ において $f(1-t) = -f(1+t)$（$x = 1$ に関して反対称）なので、2つの部分の面積は等しくなります。$S = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ と計算することもできます。