定積分にはいくつかの重要な性質があり、これらを活用することで計算を大幅に簡略化できます。特に、偶関数・奇関数の性質、区間の分割・結合、定数倍と和の性質は入試で頻出です。
定積分は不定積分（原始関数）を使って計算されますが、定積分自身にもいくつかの代数的な性質があります。
性質1（線形性）：
$$\int_a^b \{kf(x) + lg(x)\}\, dx = k\int_a^b f(x)\, dx + l\int_a^b g(x)\, dx$$
性質2（上下端の交換）：
$$\int_a^b f(x)\, dx = -\int_b^a f(x)\, dx$$
性質3（同じ端点）：
$$\int_a^a f(x)\, dx = 0$$
性質4（区間の分割）：
$$\int_a^b f(x)\, dx = \int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x)\, dx$$
※ 性質4は $c$ が $a$ と $b$ の間でなくても成立します。
性質2の証明：
$\int_b^a f(x)\, dx = F(a) - F(b) = -(F(b) - F(a)) = -\int_a^b f(x)\, dx$ ✓
性質4の証明：
$\int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x)\, dx = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c)) = F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\, dx$ ✓
✓ $\int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(t)\, dt = \int_a^b f(u)\, du$
定積分の値は積分変数の文字に依存しません。$x$ でも $t$ でも $u$ でも同じ値になります。これは定積分の結果が「数値」であり、変数が残らないためです。
このことを「積分変数はダミー変数（dummy variable）である」といいます。
偶関数・奇関数の対称性を利用すると、対称区間 $[-a, a]$ での定積分を効率的に計算できます。
偶関数：$f(-x) = f(x)$ のとき（$y$ 軸に関して対称）
$$\int_{-a}^a f(x)\, dx = 2\int_0^a f(x)\, dx$$
奇関数：$f(-x) = -f(x)$ のとき（原点に関して対称）
$$\int_{-a}^a f(x)\, dx = 0$$
$\int_{-a}^a f(x)\, dx = \int_{-a}^0 f(x)\, dx + \int_0^a f(x)\, dx$
$\int_{-a}^0 f(x)\, dx$ で $x = -t$ と置換すると $dx = -dt$、$x: -a \to 0$ で $t: a \to 0$：
$\int_{-a}^0 f(x)\, dx = \int_a^0 f(-t)(-dt) = \int_0^a f(-t)\, dt$
偶関数なら $f(-t) = f(t)$ より $= \int_0^a f(t)\, dt$。よって $\int_{-a}^a = 2\int_0^a$。
奇関数なら $f(-t) = -f(t)$ より $= -\int_0^a f(t)\, dt$。よって $\int_{-a}^a = 0$。
| 関数 | 種類 | 理由 |
|---|---|---|
| $x^{2n}$（偶数乗） | 偶関数 | $(-x)^{2n} = x^{2n}$ |
| $x^{2n+1}$（奇数乗） | 奇関数 | $(-x)^{2n+1} = -x^{2n+1}$ |
| $|x|$ | 偶関数 | $|-x| = |x|$ |
| $x|x|$ | 奇関数 | $(-x)|-x| = -x|x|$ |
$f(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ のような偶関数でも奇関数でもない関数は、偶部分と奇部分に分解できます：
偶部分：$x^2 + 1$、奇部分：$x^3 + x$
$\int_{-a}^a f(x)\, dx = \int_{-a}^a (x^2+1)\, dx + \int_{-a}^a (x^3+x)\, dx = 2\int_0^a (x^2+1)\, dx + 0$
奇関数部分の積分が $0$ になるので、計算量が約半分に削減できます。
被積分関数が区間ごとに異なる式で定義される場合や、途中で符号が変わる場合に、区間の分割が必要になります。
$$\int_a^b f(x)\, dx = \int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x)\, dx \quad (a < c < b)$$
これは3つ以上に分割しても成立：
$$\int_a^b f(x)\, dx = \int_a^{c_1} f(x)\, dx + \int_{c_1}^{c_2} f(x)\, dx + \cdots + \int_{c_{n-1}}^b f(x)\, dx$$
例：$f(x) = \begin{cases} x^2 & (0 \leq x < 1) \\ 2 - x & (1 \leq x \leq 2) \end{cases}$ のとき $\int_0^2 f(x)\, dx$ を求めよ。
$= \int_0^1 x^2\, dx + \int_1^2 (2 - x)\, dx$
$= \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 + \left[2x - \frac{x^2}{2}\right]_1^2$
$= \frac{1}{3} + \left\{(4 - 2) - (2 - \frac{1}{2})\right\} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$
$\int_a^b |f(x)|\, dx$ を計算するには、$f(x) = 0$ の解で区間を分割します：
① $f(x) = 0$ の解 $c_1, c_2, \ldots$ を $[a, b]$ 内で求める
② 各区間で $f(x)$ の符号を判定
③ $f(x) \geq 0$ の区間では $|f(x)| = f(x)$、$f(x) \leq 0$ の区間では $|f(x)| = -f(x)$
定積分に関する不等式は、被積分関数の大小関係から導かれます。
区間 $[a, b]$（$a < b$）で $f(x) \leq g(x)$ のとき：
$$\int_a^b f(x)\, dx \leq \int_a^b g(x)\, dx$$
特に、$m \leq f(x) \leq M$ のとき：
$$m(b - a) \leq \int_a^b f(x)\, dx \leq M(b - a)$$
例：$\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2}\, dx$ の値の範囲を評価せよ。
$0 \leq x \leq 1$ で $1 \leq 1 + x^2 \leq 2$ より $\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1+x^2} \leq 1$
よって $\frac{1}{2} \cdot 1 \leq \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\, dx \leq 1 \cdot 1$
$$\frac{1}{2} \leq \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\, dx \leq 1$$
（実際の値は $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ です。）
$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx$ は $f(x)$ の区間 $[a,b]$ における平均値と呼ばれます。
$f(x)$ が連続なら、$f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx$ を満たす $c \in [a, b]$ が存在します（積分の平均値の定理）。
これは大学数学の重要な定理ですが、高校レベルでも直感的には「グラフの下の面積を長方形で置き換えた高さ」と理解できます。
定積分の性質を組み合わせることで、計算を大幅に効率化できます。
例1（奇関数の利用）：$\int_{-2}^2 (x^5 - 3x^3 + x)\, dx$
$f(x) = x^5 - 3x^3 + x$ は奇関数（すべての項が奇数乗）なので $= 0$
例2（偶関数の利用）：$\int_{-1}^1 (x^4 + x^3 + x^2 + x)\, dx$
奇関数部分 $x^3 + x$ の積分は $0$。偶関数部分 $x^4 + x^2$ の積分は：
$= 2\int_0^1 (x^4 + x^2)\, dx = 2\left[\frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\right) = \frac{16}{15}$
例3（区間の分割）：$\int_0^3 |x - 2|\, dx$
$= \int_0^2 (2-x)\, dx + \int_2^3 (x-2)\, dx = \left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_0^2 + \left[\frac{x^2}{2}-2x\right]_2^3$
$= 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
定積分を計算する前に、以下をチェックしましょう：
✅ 対称区間 $[-a, a]$ なら偶関数・奇関数を確認
✅ 絶対値があれば $f(x) = 0$ の点で区間分割
✅ $(ax + b)^n$ の形なら公式を使用
✅ 区間の端点で関数が $0$ なら計算が簡単かも
✗ $f(x) = x^2 + x$ を偶関数と判定する（$f(-x) = x^2 - x \neq f(x)$）
✓ すべての項が偶数乗のときだけ偶関数。すべてが奇数乗のときだけ奇関数。混在する場合はどちらでもない。
偶関数でも奇関数でもない場合は、偶部分と奇部分に分けてそれぞれ処理します。
Q1. $\int_{-3}^3 x^3\, dx$ の値は？
Q2. $\int_{-2}^2 x^4\, dx$ を偶関数の性質を使って計算せよ。
Q3. $\int_0^2 |x - 1|\, dx$ を計算せよ。
Q4. $\int_a^b f(x)\, dx = 3$, $\int_b^c f(x)\, dx = -1$ のとき、$\int_a^c f(x)\, dx$ は？
Q5. $\int_{-1}^1 (x^3 + 2x^2 - x + 3)\, dx$ を効率的に計算せよ。
次の定積分を計算せよ。
(1) $\displaystyle\int_{-3}^3 (x^4 - x^3 + x^2 - x)\, dx$
(2) $\displaystyle\int_{-2}^2 |x|(x + 1)\, dx$
(1) 奇関数部分 $-x^3 - x$ の積分は $0$。偶関数部分 $x^4 + x^2$：
$2\int_0^3 (x^4+x^2)\, dx = 2\left[\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = 2\left(\frac{243}{5}+9\right) = 2 \cdot \frac{288}{5} = \frac{576}{5}$
(2) $|x|(x+1) = |x| \cdot x + |x|$。$|x| \cdot x = x|x|$ は奇関数で積分は $0$。$|x|$ は偶関数。
$= 2\int_0^2 x\, dx = 2\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 4$
$\displaystyle\int_{-1}^3 |x^2 - 2x|\, dx$ の値を求めよ。
$x^2-2x = x(x-2) = 0$ で $x = 0, 2$。
$[-1, 0]$: $x(x-2) > 0$, $[0, 2]$: $x(x-2) \leq 0$, $[2, 3]$: $x(x-2) > 0$
$= \int_{-1}^0 (x^2-2x)\, dx + \int_0^2 -(x^2-2x)\, dx + \int_2^3 (x^2-2x)\, dx$
$= \left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{-1}^0 + \left[-\frac{x^3}{3}+x^2\right]_0^2 + \left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_2^3$
$= \left(0-(-\frac{1}{3}-1)\right) + \left(-\frac{8}{3}+4\right) + \left(9-9-\frac{8}{3}+4\right)$
$= \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4$
$\displaystyle\int_{-a}^a (x^2 + bx + 1)\, dx = 0$ を満たす正の数 $a$ を求めよ（$b$ は任意の定数）。
$bx$ は奇関数なので $\int_{-a}^a bx\, dx = 0$。
$\int_{-a}^a (x^2 + 1)\, dx = 2\int_0^a (x^2+1)\, dx = 2\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^a = 2\left(\frac{a^3}{3}+a\right) = \frac{2a^3}{3}+2a$
$= 0$ より $\frac{2a^3}{3} + 2a = 0$ すなわち $2a\left(\frac{a^2}{3}+1\right) = 0$
$a > 0$ かつ $\frac{a^2}{3}+1 > 0$ なので解なし。
したがって、条件を満たす正の数 $a$ は存在しない。
$x^2 + 1 > 0$ より偶関数部分の積分は常に正。奇関数部分は消えても、偶関数部分が $0$ にならないため、全体を $0$ にすることはできません。「解なし」が答えになることもある良問です。
$0 \leq x \leq 1$ において $x^4 \leq x^2$ であることを利用して、次の不等式を示せ：
$$\frac{1}{3} - \frac{1}{5} \leq \int_0^1 \frac{x^2}{1 + x^2}\, dx \leq \frac{1}{3}$$
$0 \leq x \leq 1$ で $1 \leq 1 + x^2 \leq 2$ より $\frac{x^2}{1+x^2} \leq \frac{x^2}{1} = x^2$。
右辺の評価：$\int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2}\, dx \leq \int_0^1 x^2\, dx = \frac{1}{3}$
左辺の評価：$\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2} \geq \frac{x^2}{1+x^2} \cdot \frac{1+x^2-x^2}{1} = x^2 - \frac{x^4}{1+x^2} \geq x^2 - x^4$
（$0 \leq x \leq 1$ で $\frac{x^4}{1+x^2} \leq x^4$ より）
別法として、$\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$ に着目：
$\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1+x^2} \leq 1$ より $0 \leq 1 - \frac{1}{1+x^2} \leq \frac{1}{2}$ すなわち $0 \leq \frac{x^2}{1+x^2} \leq \frac{1}{2}$
より精密に：$\frac{x^2}{1+x^2} \geq x^2 - x^4$（$\because$ $\frac{x^2}{1+x^2} = x^2 \cdot \frac{1}{1+x^2} \geq x^2(1 - x^2)$ は $\frac{1}{1+x^2} \geq 1-x^2$ から成立）
$\int_0^1 (x^2 - x^4)\, dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$
よって $\frac{1}{3} - \frac{1}{5} \leq \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2}\, dx \leq \frac{1}{3}$ ■