定積分は、不定積分に「区間」の情報を加えて具体的な数値を求める操作です。幾何学的には曲線と $x$ 軸で囲まれた領域の面積に関連しますが、定積分そのものは「符号つきの面積」として定義されます。微積分学の基本定理により、定積分は不定積分を用いて計算できます。
不定積分 $\int f(x)\, dx = F(x) + C$ では結果が「関数」でしたが、定積分は特定の区間 $[a, b]$ を指定して1つの数値を得る操作です。
$f(x)$ の原始関数の1つを $F(x)$ とするとき、$a$ から $b$ までの定積分を次で定義する：
$$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a) = \left[F(x)\right]_a^b$$
$a$ を下端（下限）、$b$ を上端（上限）という。
$\left[F(x)\right]_a^b$ は「$F(x)$ に $x = b$ を代入した値から $x = a$ を代入した値を引く」を表す記号。
不定積分では積分定数 $C$ が必要でしたが、定積分では $C$ は自動的に消えます：
$$\left[F(x) + C\right]_a^b = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$$
したがって、定積分の計算では$+C$ を書く必要がありません。
✗ $\int_0^1 2x\, dx = \left[x^2 + C\right]_0^1 = 1 + C - C = 1$（途中で $C$ が登場するのは冗長）
✓ $\int_0^1 2x\, dx = \left[x^2\right]_0^1 = 1 - 0 = 1$
定積分の途中計算で $+C$ を書くのは誤りではありませんが不要です。
定積分の計算は3ステップで行います。
Step 1：被積分関数 $f(x)$ の原始関数 $F(x)$ を求める（不定積分の計算）
Step 2：上端 $b$ の値を代入して $F(b)$ を計算
Step 3：下端 $a$ の値を代入して $F(a)$ を計算し、$F(b) - F(a)$ を求める
例1：$\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\, dx = \left[x^2 + x\right]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10$
例2：$\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\, dx = \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_0^2 = (8 - 8 + 2) - 0 = 2$
例3：$\displaystyle\int_{-1}^1 (x^3 + x^2)\, dx = \left[\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1 = \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$
①分数の通分は最後に：$\left[\frac{x^3}{3} - x\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$ のように、代入後にまとめて通分する。
②$F(a) = 0$ となる下端を選ぶ：下端が $0$ の場合、$F(0)$ は多くの場合 $0$ になるので計算が楽になります。
③括弧を丁寧に：$\left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)$ で、特に $F(a)$ に負の値が含まれるとき符号ミスが起きやすい。
定積分は符号つき面積と解釈できます。これは後に面積計算で重要になります。
区間 $[a, b]$ において：
$f(x) \geq 0$ のとき：$\int_a^b f(x)\, dx$ は曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸の間の面積（正の値）
$f(x) \leq 0$ のとき：$\int_a^b f(x)\, dx$ は面積に負の符号をつけた値
$f(x)$ が正負両方をとるとき：正の部分の面積と負の部分の面積が相殺される
例：$\displaystyle\int_0^2 (x - 1)\, dx = \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_0^2 = (2 - 2) - 0 = 0$
$y = x - 1$ は $x = 1$ で $0$ になり、$[0, 1]$ では負、$[1, 2]$ では正。
$[0, 1]$ の面積 $= \frac{1}{2}$（三角形）、$[1, 2]$ の面積 $= \frac{1}{2}$（三角形）。
$-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$ なので、定積分の値は $0$ になります。
このように、定積分の値は「面積そのもの」ではなく「符号つき面積の合計」です。
✗ 「$\int_a^b f(x)\, dx$ が面積を表す」と無条件に思い込む
✓ 面積を求めるには $|f(x)|$ を使うか、正負で区間を分ける必要がある
定積分と面積の関係は、後の記事「面積（曲線と$x$軸の間）」で詳しく扱います。
さまざまなタイプの定積分を計算してみましょう。
(1) $\displaystyle\int_1^2 (x^2 - 3x + 2)\, dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x\right]_1^2$
$= \left(\frac{8}{3} - 6 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2\right) = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} = -\frac{1}{6}$
(2) $\displaystyle\int_{-2}^2 x^3\, dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-2}^2 = \frac{16}{4} - \frac{16}{4} = 0$
（$x^3$ は奇関数なので、対称区間で定積分が $0$ になる）
(3) $\displaystyle\int_0^3 (x - 1)(x - 2)\, dx = \int_0^3 (x^2 - 3x + 2)\, dx$
$= \left[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x\right]_0^3 = 9 - \frac{27}{2} + 6 = \frac{30 - 27}{2} = \frac{3}{2}$
(4) $\displaystyle\int_0^1 (2x + 1)^3\, dx = \left[\frac{(2x+1)^4}{8}\right]_0^1 = \frac{3^4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{81 - 1}{8} = 10$
(5) $\displaystyle\int_{-1}^0 (3x + 2)^2\, dx = \left[\frac{(3x+2)^3}{9}\right]_{-1}^0 = \frac{8}{9} - \frac{(-1)^3}{9} = \frac{8 + 1}{9} = 1$
$\displaystyle\int_0^1 x^n\, dx = \frac{1}{n+1}$
$\displaystyle\int_0^a x^n\, dx = \frac{a^{n+1}}{n+1}$
$\displaystyle\int_{-a}^a x^{2k}\, dx = \frac{2a^{2k+1}}{2k+1}$（偶数乗は偶関数）
$\displaystyle\int_{-a}^a x^{2k+1}\, dx = 0$（奇数乗は奇関数）
定積分を原始関数で計算できるのは、微積分学の基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）があるからです。この定理は数学の中で最も重要な定理の1つです。
第1部：$f(x)$ が連続関数のとき、$F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ とおくと $F'(x) = f(x)$。
（「定積分の上端を変数にした関数を微分すると、被積分関数に戻る」）
第2部：$F'(x) = f(x)$ のとき $\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$。
（「定積分は原始関数の端点値の差で計算できる」）
高校数学では第2部（定積分の計算法）を主に使いますが、第1部（定積分で定義された関数の微分）も入試で出題されます。
微分と積分は一見異なる操作です。微分は「瞬間の変化率」、積分（定積分の本来の定義）は「面積の極限」です。
この定理は「微分の逆操作（原始関数を求める操作）で、面積が計算できる」ことを保証します。微分と積分という2つの概念を統一する橋渡しが基本定理の役割です。
ニュートンとライプニッツがそれぞれ独立にこの関係を発見したことで、微積分学が実用的な計算手段になりました。
$$\int_a^a f(x)\, dx = 0$$
$$\int_a^b f(x)\, dx = -\int_b^a f(x)\, dx$$
$$\int_a^b f(x)\, dx + \int_b^c f(x)\, dx = \int_a^c f(x)\, dx$$
※ これらの性質は定積分の定義 $F(b) - F(a)$ から直ちに導かれます。
Q1. $\displaystyle\int_0^3 (2x - 1)\, dx$ を計算せよ。
Q2. $\displaystyle\int_{-1}^2 (x^2 - 1)\, dx$ を計算せよ。
Q3. $\displaystyle\int_1^2 (3x^2 - 2x)\, dx$ を計算せよ。
Q4. $\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx + \int_b^a f(x)\, dx$ の値は？
Q5. $\displaystyle\int_{-2}^2 x^3\, dx$ を計算せよ（計算の工夫を含めて説明）。
次の定積分を計算せよ。
(1) $\displaystyle\int_0^2 (x^2 + 2x - 3)\, dx$
(2) $\displaystyle\int_{-1}^1 (x + 1)^3\, dx$
(3) $\displaystyle\int_1^4 (2x - 3)^2\, dx$
(1) $\left[\frac{x^3}{3}+x^2-3x\right]_0^2 = \frac{8}{3}+4-6 = \frac{8}{3}-2 = \frac{2}{3}$
(2) $\left[\frac{(x+1)^4}{4}\right]_{-1}^1 = \frac{2^4}{4}-\frac{0}{4} = 4$
(3) $\left[\frac{(2x-3)^3}{6}\right]_1^4 = \frac{5^3}{6}-\frac{(-1)^3}{6} = \frac{125+1}{6} = 21$
$\displaystyle\int_0^3 |x^2 - 2x|\, dx$ の値を求めよ。
$x^2 - 2x = x(x - 2)$ は $0 \leq x \leq 2$ で $\leq 0$、$x \geq 2$ で $\geq 0$。
$\int_0^3 |x^2-2x|\, dx = \int_0^2 -(x^2-2x)\, dx + \int_2^3 (x^2-2x)\, dx$
$= \int_0^2 (2x-x^2)\, dx + \int_2^3 (x^2-2x)\, dx$
$= \left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 + \left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_2^3$
$= \left(4-\frac{8}{3}\right) + \left(9-9-\frac{8}{3}+4\right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$
$\displaystyle\int_0^1 (x - a)^2\, dx$ を最小にする定数 $a$ の値を求め、そのときの最小値を求めよ。
$I(a) = \int_0^1 (x-a)^2\, dx = \int_0^1 (x^2 - 2ax + a^2)\, dx$
$= \left[\frac{x^3}{3} - ax^2 + a^2 x\right]_0^1 = \frac{1}{3} - a + a^2$
$I(a) = a^2 - a + \frac{1}{3} = \left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{12}$
最小は $a = \frac{1}{2}$ のとき、最小値は $\frac{1}{12}$。
定積分をパラメータ $a$ の関数として計算し、$a$ についての2次関数の最小値問題に帰着させています。これは統計学の「最小二乗法」の原型です。
$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ が $\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\, dx = 0$ を満たし、かつ $f(0) = 1$、$f'(0) = -2$ であるとき、$f(x)$ を求めよ。
$f(0) = c = 1$、$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ で $f'(0) = b = -2$。
$\int_{-1}^1 (x^3 + ax^2 - 2x + 1)\, dx$
$x^3$ と $-2x$ は奇関数なので対称区間で $0$：
$= \int_{-1}^1 (ax^2 + 1)\, dx = 2\int_0^1 (ax^2 + 1)\, dx = 2\left[\frac{ax^3}{3}+x\right]_0^1 = 2\left(\frac{a}{3}+1\right) = \frac{2a}{3}+2$
$= 0$ より $\frac{2a}{3} = -2$ すなわち $a = -3$。
$f(x) = x^3 - 3x^2 - 2x + 1$