被積分関数に $ax + b$ のかたまりが繰り返し現れるとき、$t = ax + b$ と置換することで計算が簡潔になります。数学IIの範囲では1次式の置換に限られますが、この考え方は数学IIIの置換積分法の基礎となります。
$\int (2x + 3)^5\, dx$ を計算するとき、展開して項ごとに積分するのは大変です。「$2x + 3$ をひとかたまりとして扱う」ことで、計算を大幅に簡略化できます。
$t = 2x + 3$ と置くと、$\frac{dt}{dx} = 2$ すなわち $dx = \frac{dt}{2}$。
$$\int (2x+3)^5\, dx = \int t^5 \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^6}{6} + C = \frac{t^6}{12} + C = \frac{(2x+3)^6}{12} + C$$
これは前回学んだ公式 $\int (ax+b)^n\, dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$ と同じ結果です。
置換は、この公式の導出原理を理解するためのものです。
$t = ax + b$ のとき $\frac{dt}{dx} = a$ なので、形式的に $dt = a\, dx$ すなわち $dx = \frac{1}{a}\, dt$ と書けます。この「$dx$ と $dt$ の変換」は、大学の微積分学で厳密に正当化されますが、高校数学では「結果を微分して確認する」方法で正しさを保証します。
大学の解析学では置換積分法（integration by substitution）として一般の関数 $t = g(x)$ による置換を学びます：
$$\int f(g(x)) \cdot g'(x)\, dx = \int f(t)\, dt \quad (t = g(x))$$
$t = ax + b$ の場合は $g'(x) = a$ が定数なので最もシンプルなケースです。数学IIIでは $t = x^2$ や $t = \sin x$ など非線形な置換も扱います。
Step 1：$t = ax + b$ と置く
Step 2：$\frac{dt}{dx} = a$ より $dx = \frac{1}{a}\, dt$
Step 3：被積分関数の $x$ を $t$ で表す（$x = \frac{t - b}{a}$）
Step 4：$t$ の関数として積分を実行
Step 5：$t = ax + b$ を代入して $x$ に戻す
例1：$\displaystyle\int x(2x + 1)^3\, dx$
$t = 2x + 1$ とおくと $x = \frac{t-1}{2}$、$dx = \frac{dt}{2}$
$= \int \frac{t-1}{2} \cdot t^3 \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{4}\int (t^4 - t^3)\, dt$
$= \frac{1}{4}\left(\frac{t^5}{5} - \frac{t^4}{4}\right) + C = \frac{t^5}{20} - \frac{t^4}{16} + C$
$= \frac{(2x+1)^5}{20} - \frac{(2x+1)^4}{16} + C$
例2：$\displaystyle\int (3x - 2)^4\, dx$
$t = 3x - 2$ とおくと $dx = \frac{dt}{3}$
$= \int t^4 \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^5}{5} + C = \frac{(3x-2)^5}{15} + C$
✗ $\int x(2x+1)^3\, dx$ で $t = 2x+1$ としたのに $x$ をそのまま残す
✓ $x = \frac{t-1}{2}$ として $x$ も $t$ で表す。$dx$ も $\frac{dt}{2}$ に変換する
被積分関数中のすべての $x$ と $dx$ を $t$ と $dt$ に変換してから積分します。
数学IIの範囲では、$t = ax + b$ の置換が有効な場面は限られています。どのような場面で置換を使うか整理しましょう。
パターン1：$(ax + b)^n$ の形 → 公式で直接計算可能（置換は不要だが原理理解に有用）
パターン2：$x \cdot (ax+b)^n$ の形 → $x$ を $t$ で表すことで多項式の積分に帰着
パターン3：$x^2 \cdot (ax+b)^n$ の形 → 同様に $x^2$ を $t$ で表して帰着
問題：$\displaystyle\int x(x - 3)^4\, dx$
$t = x - 3$ とおくと $x = t + 3$、$dx = dt$
$= \int (t + 3) \cdot t^4\, dt = \int (t^5 + 3t^4)\, dt$
$= \frac{t^6}{6} + \frac{3t^5}{5} + C = \frac{(x-3)^6}{6} + \frac{3(x-3)^5}{5} + C$
【別解：展開法】$(x-3)^4$ を展開して $x$ を掛けてから積分することもできますが、計算量は置換の方が少ないです。
| 方法 | メリット | デメリット |
|---|---|---|
| 展開法 | 常に使える。機械的 | 高次のべき乗では計算量大 |
| 置換法 | 計算が簡潔になることが多い | 使える場面が限られる |
置換積分を定積分で用いるときは、積分区間も $t$ に合わせて変換する必要があります。
$t = ax + b$ のとき、$x$ が $\alpha$ から $\beta$ まで変化すると、$t$ は $a\alpha + b$ から $a\beta + b$ まで変化する：
$$\int_{\alpha}^{\beta} f(ax+b)\, dx = \frac{1}{a}\int_{a\alpha + b}^{a\beta + b} f(t)\, dt$$
例：$\displaystyle\int_0^1 x(2x+1)^2\, dx$
$t = 2x + 1$ とおくと $x = \frac{t-1}{2}$、$dx = \frac{dt}{2}$
$x: 0 \to 1$ のとき $t: 1 \to 3$
$= \int_1^3 \frac{t-1}{2} \cdot t^2 \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{4}\int_1^3 (t^3 - t^2)\, dt$
$= \frac{1}{4}\left[\frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3}\right]_1^3 = \frac{1}{4}\left\{\left(\frac{81}{4} - 9\right) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\right)\right\}$
$= \frac{1}{4}\left(\frac{45}{4} + \frac{1}{12}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{136}{12} = \frac{34}{12} = \frac{17}{6}$
✗ $t$ に置換したのに積分区間を $x$ のままにする
✓ $t = ax + b$ で $x$ の区間 $[\alpha, \beta]$ を $t$ の区間 $[a\alpha+b, a\beta+b]$ に変換する
あるいは、不定積分を先に求めて $x$ に戻してから定積分を計算する方法もあります。
どちらの方法を使うべきかの判断基準を整理します。
展開法を使うべき場合：
・べき乗の次数が低い（2乗、3乗程度）
・$ax + b$ のかたまりがない
・被積分関数がそもそも多項式の積
置換法を使うべき場合：
・べき乗の次数が高い（4乗以上）
・$ax + b$ のかたまりが明確に見える
・$x \cdot (ax+b)^n$ や $x^2 \cdot (ax+b)^n$ の形
迷ったら展開法を選びましょう。計算量は多くなりますが、確実に答えが出ます。置換法は計算が合っているか自信がない場合、展開法で検算できるメリットもあります。
ただし、$\int x(x-1)^{10}\, dx$ のような問題では明らかに置換が有利です。展開すると11次式になってしまいます。
展開法が適切：$\int (x+1)(x+2)\, dx = \int (x^2+3x+2)\, dx = \frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+2x+C$
置換法が適切：$\int (x+2)(x+1)^5\, dx$
$t = x+1$ とおくと $x+2 = t+1$、$dx = dt$
$= \int (t+1)t^5\, dt = \int (t^6 + t^5)\, dt = \frac{t^7}{7} + \frac{t^6}{6} + C = \frac{(x+1)^7}{7} + \frac{(x+1)^6}{6} + C$
Q1. $t = 3x - 1$ と置いたとき、$dx$ を $dt$ で表せ。
Q2. $\int (5x + 2)^3\, dx$ を置換法で求めよ。
Q3. $\int x(x+1)^3\, dx$ を $t = x + 1$ の置換で求めよ。
Q4. 定積分 $\displaystyle\int_0^2 (x+1)^4\, dx$ を置換法で計算せよ。
Q5. $\int x^2(x - 1)^3\, dx$ を $t = x - 1$ の置換で求めよ。
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle\int (2x - 5)^4\, dx$
(2) $\displaystyle\int (1 - 3x)^5\, dx$
(1) $\frac{(2x-5)^5}{2 \cdot 5} + C = \frac{(2x-5)^5}{10} + C$
(2) $\frac{(1-3x)^6}{(-3) \cdot 6} + C = -\frac{(1-3x)^6}{18} + C$
$\displaystyle\int (2x - 1)(x + 1)^4\, dx$ を $t = x + 1$ と置換して求めよ。
$t = x + 1$ より $x = t - 1$, $dx = dt$, $2x - 1 = 2(t-1)-1 = 2t - 3$
$\int (2t - 3)t^4\, dt = \int (2t^5 - 3t^4)\, dt = \frac{t^6}{3} - \frac{3t^5}{5} + C$
$= \frac{(x+1)^6}{3} - \frac{3(x+1)^5}{5} + C$
$\displaystyle\int_1^3 (x - 1)(x - 3)^3\, dx$ を置換積分で計算せよ。
$t = x - 3$ とおくと $x - 1 = t + 2$, $dx = dt$。$x: 1 \to 3$ で $t: -2 \to 0$
$\int_{-2}^0 (t+2)t^3\, dt = \int_{-2}^0 (t^4 + 2t^3)\, dt$
$= \left[\frac{t^5}{5} + \frac{t^4}{2}\right]_{-2}^0 = 0 - \left(\frac{-32}{5} + \frac{16}{2}\right) = 0 - \left(-\frac{32}{5} + 8\right) = 0 - \frac{8}{5} = -\frac{8}{5}$
$f(x) = \displaystyle\int_0^x (t + 1)(t - 2)^3\, dt$ とするとき、$f(x)$ の極値を求めよ。
$f'(x) = (x + 1)(x - 2)^3$（微分と積分の関係より）
$f'(x) = 0$ のとき $x = -1$ または $x = 2$。
$x = -1$ の前後：$x < -1$ で $(x+1) < 0$, $(x-2)^3 < 0$ なので $f'(x) > 0$。$-1 < x < 2$ で $(x+1) > 0$, $(x-2)^3 < 0$ なので $f'(x) < 0$。正から負に変わるので $x = -1$ で極大。
$x = 2$ の前後：$1 < x < 2$ で $f'(x) < 0$、$x > 2$ で $(x+1) > 0$, $(x-2)^3 > 0$ なので $f'(x) > 0$。負から正に変わるので $x = 2$ で極小。
$f(-1) = \int_0^{-1} (t+1)(t-2)^3\, dt$。$u = t - 2$ とおくと $t + 1 = u + 3$, $dt = du$。$t: 0 \to -1$ で $u: -2 \to -3$。
$= \int_{-2}^{-3} (u+3)u^3\, du = \int_{-2}^{-3} (u^4 + 3u^3)\, du = \left[\frac{u^5}{5} + \frac{3u^4}{4}\right]_{-2}^{-3}$
$= \left(\frac{-243}{5}+\frac{243}{4}\right) - \left(\frac{-32}{5}+\frac{48}{4}\right) = \left(\frac{-243}{5}+\frac{243}{4}\right)-\left(-\frac{32}{5}+12\right)$
$= \frac{-243+32}{5} + \frac{243}{4} - 12 = -\frac{211}{5}+\frac{243-48}{4} = -\frac{211}{5}+\frac{195}{4} = \frac{-844+975}{20} = \frac{131}{20}$
極大値 $f(-1) = \frac{131}{20}$
$f(2) = \int_0^2 (t+1)(t-2)^3\, dt$。同様に $u = t - 2$ とおくと $t: 0 \to 2$ で $u: -2 \to 0$。
$= \int_{-2}^0 (u+3)u^3\, du = \left[\frac{u^5}{5}+\frac{3u^4}{4}\right]_{-2}^0 = 0 - \left(-\frac{32}{5}+12\right) = \frac{32}{5}-12 = -\frac{28}{5}$
極小値 $f(2) = -\frac{28}{5}$
定積分で定義された関数の極値問題です。$f'(x) = (\text{被積分関数で} t = x \text{を代入})$ という関係を使って増減を調べます。極値の具体的な計算には置換積分が有効です。