不定積分の計算では、被積分関数を展開・整理して $x^n$ の和に帰着させることが基本です。本記事では、さまざまな多項式の積分計算を練習し、計算力を磨きます。分数式や無理式が現れる場合の処理方法も扱います。
数学IIの範囲では、不定積分の被積分関数は多項式（または多項式に帰着できるもの）に限られます。積の形で与えられた場合は、まず展開して $x^n$ の和にしてから、項ごとに積分します。
$$\int f(x) \cdot g(x)\, dx \quad \text{→ まず } f(x) \cdot g(x) \text{ を展開する}$$
$$= \int (a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0)\, dx$$
$$= \frac{a_n x^{n+1}}{n+1} + \frac{a_{n-1} x^n}{n} + \cdots + a_0 x + C$$
例1：$\displaystyle\int (x+2)(x^2 - 3)\, dx$
展開：$(x+2)(x^2-3) = x^3 + 2x^2 - 3x - 6$
$= \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - 6x + C$
例2：$\displaystyle\int (x-1)^3\, dx$
展開：$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$
$= \frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{3x^2}{2} - x + C$
例3：$\displaystyle\int (2x+1)(x-3)(x+1)\, dx$
$(x-3)(x+1) = x^2 - 2x - 3$ → $(2x+1)(x^2-2x-3) = 2x^3 - 3x^2 - 8x - 3$
$= \frac{x^4}{2} - x^3 - 4x^2 - 3x + C$
✗ $\int (x+1)(x+2)\, dx = \frac{(x+1)^2}{2} \cdot \frac{(x+2)^2}{2}$（大間違い！）
✓ まず展開：$(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2$ として $\int (x^2+3x+2)\, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C$
不定積分には「積の積分公式」はありません（数IIIの部分積分法まで待つ必要があります）。必ず展開してから積分しましょう。
被積分関数が分数式のとき、割り算を実行して多項式に変形してから積分します。
$\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}$ の形の被積分関数は、$\deg f \geq \deg g$ のとき割り算を行い：
$$\frac{f(x)}{g(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{g(x)}$$
と変形します。数学IIの範囲では、余りが $0$ になるか、$g(x)$ が定数のケースが多いです。
例1：$\displaystyle\int \frac{x^3 + 2x^2 - 1}{x}\, dx$
各項を $x$ で割る：$\frac{x^3}{x} + \frac{2x^2}{x} - \frac{1}{x} = x^2 + 2x - \frac{1}{x}$
$\frac{1}{x}$ の項は数学IIの範囲では積分できません。出題される場合は割り切れるケースです。
例2：$\displaystyle\int \frac{x^3 - 8}{x - 2}\, dx$
因数分解：$x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$ より
$\frac{x^3-8}{x-2} = x^2 + 2x + 4$
$\int (x^2 + 2x + 4)\, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + 4x + C$
例3：$\displaystyle\int \frac{(x+1)^3}{x+1}\, dx = \int (x+1)^2\, dx = \int (x^2 + 2x + 1)\, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C$
分子が分母で割り切れる場合、因数分解してから約分するのが最も効率的です。
特に $\frac{x^n - a^n}{x - a}$ の形は $x^{n-1} + ax^{n-2} + \cdots + a^{n-1}$ と割り切れます。
割り算で商を求めても同じ結果が得られますが、因数分解の方が計算ミスが少ないです。
$\int (ax + b)^n\, dx$ は、展開して計算することもできますが、次の公式を使うと効率的です。
$$\int (ax + b)^n\, dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \quad (n \neq -1, \; a \neq 0)$$
※ 検算：$\left\{\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}\right\}' = \frac{(n+1)(ax+b)^n \cdot a}{a(n+1)} = (ax+b)^n$ ✓
導出：$F(x) = (ax+b)^{n+1}$ を微分すると、合成関数の微分（数IIIの内容）により $F'(x) = a(n+1)(ax+b)^n$。よって $(ax+b)^n = \frac{F'(x)}{a(n+1)}$。
数IIの範囲では、この公式は「結果を微分して確認」する形で正当化できます。
例1：$\int (3x + 1)^4\, dx = \frac{(3x+1)^5}{3 \cdot 5} + C = \frac{(3x+1)^5}{15} + C$
例2：$\int (2x - 3)^3\, dx = \frac{(2x-3)^4}{2 \cdot 4} + C = \frac{(2x-3)^4}{8} + C$
例3：$\int (1 - x)^5\, dx = \frac{(1-x)^6}{(-1) \cdot 6} + C = -\frac{(1-x)^6}{6} + C$
✗ $\int (2x+1)^3\, dx = \frac{(2x+1)^4}{4} + C$
✓ $\int (2x+1)^3\, dx = \frac{(2x+1)^4}{2 \cdot 4} + C = \frac{(2x+1)^4}{8} + C$
$x^n$ の積分公式と混同して $a$ で割ることを忘れがちです。結果を微分して検算する習慣をつけましょう。
$\int (ax + b)^n\, dx$ はこの公式で計算できますが、$\int (x^2 + 1)^3\, dx$ のように中身が2次以上の場合は展開するしかありません。
「$\int (x^2+1)^3\, dx = \frac{(x^2+1)^4}{2x \cdot 4}$」は完全に誤りです。展開して $\int (x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1)\, dx$ として計算します。
効率的な計算のために知っておくべきテクニックを紹介します。
例：$\int (x+1)(x-1)\, dx$
和と差の積の公式：$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$
$\int (x^2 - 1)\, dx = \frac{x^3}{3} - x + C$
地道に展開するよりも公式を使う方が速くて正確です。
$(ax+b)^n$ の公式が使える部分と、展開が必要な部分を見分けることも大切です。
例1：$\int \{(x+1)^3 - (x-1)^3\}\, dx$
$(x+1)^3 - (x-1)^3$ をまず計算：
$(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$
$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$
差 $= 6x^2 + 2$
$\int (6x^2 + 2)\, dx = 2x^3 + 2x + C$
例2：$\int x(x - 2)^2\, dx$
展開：$x(x-2)^2 = x(x^2 - 4x + 4) = x^3 - 4x^2 + 4x$
$= \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2 + C$
方法1（微分検算）：結果を微分して被積分関数と一致するか確認
方法2（代入検算）：特定の $x$ の値を代入して数値的に確認
方法3（次数チェック）：被積分関数が $n$ 次なら結果は $n+1$ 次
※ 方法1が最も確実。試験本番では少なくとも次数チェックは行いましょう。
ここまでのテクニックを使って、典型的な計算問題を解いてみましょう。
(1) $\displaystyle\int (3x^2 - 2x + 5)\, dx = x^3 - x^2 + 5x + C$
(2) $\displaystyle\int (x + 3)(2x - 1)\, dx = \int (2x^2 + 5x - 3)\, dx = \frac{2x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 3x + C$
(3) $\displaystyle\int (x^2 - 1)^2\, dx = \int (x^4 - 2x^2 + 1)\, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x + C$
(4) $\displaystyle\int (3x - 2)^3\, dx = \frac{(3x-2)^4}{12} + C$
(5) $\displaystyle\int \frac{x^4 - 1}{x^2 + 1}\, dx = \int \frac{(x^2+1)(x^2-1)}{x^2+1}\, dx = \int (x^2 - 1)\, dx = \frac{x^3}{3} - x + C$
✗ 係数の処理忘れ：$\int 6x^2\, dx = \frac{x^3}{3}$（$6$ がどこかに消えた！）
✓ $\int 6x^2\, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3 + C$
✗ 符号ミス：展開時に負の符号を見落とす
✓ 展開後に項数を確認し、各項の符号を丁寧にチェック
Q1. $\int (x^2 + 1)(x - 1)\, dx$ を求めよ。
Q2. $\int (4x + 3)^2\, dx$ を2通りの方法で求めよ。
Q3. $\displaystyle\int \frac{x^3 + x^2 - 2x}{x}\, dx$ を求めよ。
Q4. $\int (1 - 2x)^4\, dx$ を求めよ。
Q5. $\displaystyle\int \frac{x^2 - 4}{x + 2}\, dx$ を求めよ。
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle\int (x+2)^2(x-1)\, dx$
(2) $\displaystyle\int \frac{x^4 - x^2 + 1}{x^2}\, dx$（$x \neq 0$）
(1) $(x+2)^2(x-1) = (x^2+4x+4)(x-1) = x^3 + 3x^2 - 4$
$\int (x^3+3x^2-4)\, dx = \frac{x^4}{4} + x^3 - 4x + C$
(2) $\frac{x^4-x^2+1}{x^2} = x^2 - 1 + \frac{1}{x^2} = x^2 - 1 + x^{-2}$
$\int (x^2 - 1 + x^{-2})\, dx = \frac{x^3}{3} - x - \frac{1}{x} + C$
2次関数 $f(x)$ が次の条件を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。
・$f'(x) = 4x - 6$
・$f(x)$ の最小値が $-5$ である
$f(x) = \int (4x - 6)\, dx = 2x^2 - 6x + C$
$f(x) = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + C$
最小値は $x = \frac{3}{2}$ のとき $-\frac{9}{2} + C = -5$ より $C = -\frac{1}{2}$。
$f(x) = 2x^2 - 6x - \frac{1}{2}$
$\displaystyle\int (2x - 1)^4\, dx$ を次の2通りの方法で計算し、結果が一致することを確かめよ。
(1) 公式 $\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$ を用いる方法
(2) 展開して項ごとに積分する方法
(1) $\frac{(2x-1)^5}{2 \cdot 5} + C = \frac{(2x-1)^5}{10} + C_1$
(2) $(2x-1)^4 = 16x^4 - 32x^3 + 24x^2 - 8x + 1$
$\int (16x^4 - 32x^3 + 24x^2 - 8x + 1)\, dx = \frac{16x^5}{5} - 8x^4 + 8x^3 - 4x^2 + x + C_2$
$(2x-1)^5 = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1$ を $10$ で割ると
$\frac{(2x-1)^5}{10} = \frac{16x^5}{5} - 8x^4 + 8x^3 - 4x^2 + x - \frac{1}{10}$
定数項の差 $\frac{1}{10}$ を除いて一致。$C_1 = C_2 + \frac{1}{10}$ の関係です。
3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が次の条件をすべて満たすとき、$f(x)$ を求めよ。
・$f'(x)$ は $(x + 1)$ を因数にもつ
・$f(x)$ は $x = 1$ で極小値 $0$ をとる
・$f(-1) = 4$
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ が $(x+1)$ を因数にもち、$f'(1) = 0$（$x = 1$ で極値）なので：
$f'(x) = 3a(x+1)(x-1) = 3a(x^2-1) = 3ax^2 - 3a$
係数比較：$2b = 0$ より $b = 0$、$c = -3a$。
$f(x) = ax^3 - 3ax + d$
$f(1) = a - 3a + d = -2a + d = 0$ より $d = 2a$ ⋯ ①
$f(-1) = -a + 3a + d = 2a + d = 4$ ⋯ ②
① を ② に代入：$2a + 2a = 4$ より $a = 1$、$d = 2$。
$f(x) = x^3 - 3x + 2$
検算：$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$ ✓、$f(1) = 0$ ✓、$f(-1) = -1+3+2 = 4$ ✓
導関数の因数条件から $f'(x)$ を先に決定し、積分して $f(x)$ を求めています。初期条件が2つ与えられているのは、$a$ と $d$ の2つの未知数を決めるためです。