$\frac{1}{6}$ 公式に続き、$\frac{1}{12}$ 公式とその関連公式を学びます。2つの放物線で囲まれた面積や、3次関数と接線で囲まれた面積を効率的に求める公式を導出し、面積公式の体系的な理解を目指します。入試では公式の使い分けが問われるため、各公式の適用条件を正確に把握しましょう。
$\frac{1}{6}$ 公式は「2次関数と直線（$x$ 軸を含む）」で囲まれた面積の公式でした。$\frac{1}{12}$ 公式は、2つの放物線で囲まれた面積を一発で求める公式です。
2つの放物線 $y = a_1 x^2 + b_1 x + c_1$ と $y = a_2 x^2 + b_2 x + c_2$（$a_1 \neq a_2$）の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$（$\alpha < \beta$）とすると、2つの放物線で囲まれた面積は：
$$S = \frac{|a_1 - a_2|}{6}(\beta - \alpha)^3$$
※ 形は $\frac{1}{6}$ 公式と同じですが、$|a|$ の代わりに $|a_1 - a_2|$ が入ります。実は $\frac{1}{6}$ 公式は一方の「放物線」が直線（$a_2 = 0$）の場合の特殊ケースです。
さらに、3次関数と接線の場合にも美しい公式があります。
$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$（$a \neq 0$）の $x = t$ における接線と曲線で囲まれた面積は：
$$S = \frac{|a|}{12}(\beta - t)^4$$
ただし $\beta$ は接線と曲線のもう一つの交点の $x$ 座標（接点 $t$ は重解）。
※ $\frac{1}{6}$ 公式の指数が $3$ だったのに対し、こちらの指数は $4$ になっています。
3次関数と接線の面積公式では、接点で2次の接触（重解）が起こるため、被積分関数が $(x-t)^2(x-\beta)$ の形になります。
$\int_0^h t^2(h-t)\, dt = \frac{h^4}{12}$ という積分結果から $\frac{1}{12}$ が現れます。
2つの放物線で囲まれた面積の公式を導出します。本質は「2つの放物線の差が2次関数になる」ことにあります。
$f(x) = a_1 x^2 + b_1 x + c_1$, $g(x) = a_2 x^2 + b_2 x + c_2$（$a_1 \neq a_2$）とする。
差 $f(x) - g(x) = (a_1 - a_2)x^2 + (b_1 - b_2)x + (c_1 - c_2)$ は2次関数。
交点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ は $f(x) - g(x) = 0$ の解なので：
$$f(x) - g(x) = (a_1 - a_2)(x - \alpha)(x - \beta)$$
囲まれた面積は：
$$S = \int_\alpha^\beta |f(x) - g(x)|\, dx = \int_\alpha^\beta |a_1 - a_2| \cdot |{(x-\alpha)(x-\beta)}|\, dx$$
$[\alpha, \beta]$ において $(x-\alpha)(x-\beta) \leq 0$ なので $|(x-\alpha)(x-\beta)| = -(x-\alpha)(x-\beta)$：
$$S = |a_1 - a_2| \int_\alpha^\beta (-(x-\alpha)(x-\beta))\, dx = |a_1 - a_2| \cdot \frac{(\beta-\alpha)^3}{6}$$
最後の等式は $\frac{1}{6}$ 公式の証明と全く同じ積分計算です。
例：$y = x^2$ と $y = -x^2 + 4x$ で囲まれた面積
交点：$x^2 = -x^2 + 4x$ より $2x^2 - 4x = 0$、$2x(x-2) = 0$ で $x = 0, 2$。
$a_1 - a_2 = 1 - (-1) = 2$ より：
$$S = \frac{|2|}{6}(2-0)^3 = \frac{2}{6} \cdot 8 = \frac{8}{3}$$
検算：$S = \int_0^2 |(-x^2+4x) - x^2|\, dx = \int_0^2 (-2x^2+4x)\, dx = \left[-\frac{2x^3}{3}+2x^2\right]_0^2 = -\frac{16}{3}+8 = \frac{8}{3}$ ✓
2つの放物線の面積公式 $S = \frac{|a_1 - a_2|}{6}(\beta - \alpha)^3$ において、一方が直線（$a_2 = 0$）のとき $|a_1 - a_2| = |a_1|$ となり、$\frac{1}{6}$ 公式に一致します。
つまり $\frac{1}{6}$ 公式は「2次関数と直線の面積」の公式であり、2つの放物線の公式の特殊ケースです。
3次関数 $y = f(x)$ の接線と曲線で囲まれた面積には、$\frac{1}{12}$ 公式が使えます。この公式の鍵は「接点が重解になる」という構造です。
$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ の $x = t$ における接線を $y = \ell(x)$ とします。$f(x) - \ell(x)$ は $x = t$ で接するので $x = t$ が重解：
$$f(x) - \ell(x) = a(x - t)^2(x - \beta)$$
ここで $\beta$ は接線と曲線のもう一つの交点の $x$ 座標です。
$t < \beta$ の場合を考える（$t > \beta$ も同様）。$a > 0$ とする。
$f(x) - \ell(x) = a(x-t)^2(x-\beta)$ において、$[t, \beta]$ で $(x-t)^2 \geq 0$ かつ $(x-\beta) \leq 0$。
よって $f(x) - \ell(x) \leq 0$（曲線が接線の下側）。
$$S = \int_t^\beta (\ell(x) - f(x))\, dx = -a\int_t^\beta (x-t)^2(x-\beta)\, dx$$
$u = x - t$ と置換すると $x - \beta = u - (\beta - t)$。$h = \beta - t$ として：
$$S = -a\int_0^h u^2(u - h)\, du = -a\int_0^h (u^3 - hu^2)\, du$$
$$= -a\left[\frac{u^4}{4} - \frac{hu^3}{3}\right]_0^h = -a\left(\frac{h^4}{4} - \frac{h^4}{3}\right) = -a \cdot \left(-\frac{h^4}{12}\right) = \frac{ah^4}{12}$$
一般に $S = \frac{|a|}{12}|\beta - t|^4 = \frac{|a|}{12}(\beta - t)^4$。
例：$y = x^3 - 3x$ の $x = 1$ における接線と曲線で囲まれた面積
$f(1) = 1 - 3 = -2$, $f'(x) = 3x^2 - 3$ より $f'(1) = 0$。
接線：$y = -2$。
$f(x) - (-2) = x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$
接点 $t = 1$, もう一つの交点 $\beta = -2$。$a = 1$。
$$S = \frac{1}{12}|{-2-1}|^4 = \frac{1}{12} \cdot 81 = \frac{27}{4}$$
✗ $f(x) - \ell(x) = 0$ を因数分解せずに数値的に解く（計算ミスの元）
✓ $f(x) - \ell(x)$ が $(x-t)^2$ を因数にもつことを利用して、組立除法または多項式の割り算で $\beta$ を求める
接点 $x = t$ が重解であることが $\frac{1}{12}$ 公式の本質です。この構造を利用しましょう。
ここまでに学んだ面積公式を体系的に整理します。各公式の適用場面を正確に把握しましょう。
| 公式名 | 場面 | 公式 |
|---|---|---|
| $\frac{1}{6}$ 公式 | 2次関数と直線 | $S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$ |
| 2放物線の公式 | 2つの放物線 | $S = \frac{|a_1-a_2|}{6}(\beta - \alpha)^3$ |
| $\frac{1}{12}$ 公式 | 3次関数と接線 | $S = \frac{|a|}{12}(\beta - t)^4$ |
| $\frac{1}{3}$ 公式 | 放物線と2接線 | $S = \frac{|a|}{3}(\beta - \alpha)^3$ |
| $\frac{1}{30}$ 公式 | 3次関数と変曲点の接線 | $S_1 + S_2 = \frac{|a|}{30}(\beta - \alpha)^5$ |
放物線 $y = ax^2 + bx + c$ の2点 $x = \alpha, x = \beta$ における接線と放物線で囲まれた面積は：
$$S = \frac{|a|}{3}(\beta - \alpha)^3$$
※ $\frac{1}{6}$ 公式の2倍になっていることに注目。2本の接線と放物線で作られる三角形状の領域です。
$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ の変曲点における接線と曲線で囲まれた2つの部分の面積の和は：
$$S_1 + S_2 = \frac{|a|}{30}(\beta - \alpha)^5$$
ただし $\alpha, \beta$ は接線と曲線の変曲点以外の2つの交点の $x$ 座標。
※ 変曲点では3次の接触（3重解）が起こるため、指数が $5$ になります。
すべての公式の根底にある積分は同じ構造です：
$$\int_0^h t^m (h-t)^n\, dt = \frac{m!\, n!}{(m+n+1)!} \cdot h^{m+n+1}$$
$\frac{1}{6}$ 公式：$m = 1, n = 1 \Rightarrow \frac{1! \cdot 1!}{3!} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{12}$ 公式：$m = 2, n = 1 \Rightarrow \frac{2! \cdot 1!}{4!} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$
$\frac{1}{30}$ 公式：$m = 2, n = 2 \Rightarrow \frac{2! \cdot 2!}{5!} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$
ベータ関数（二項係数の逆数）として統一的に理解できます。
入試問題で正しい公式を選ぶための判断基準を示します。
Q1. 2つの関数の差は何次式？
→ 2次式 → $\frac{1}{6}$ 公式（2次関数と直線 or 2つの放物線）
→ 3次式 → Q2 へ
Q2. 3次式の因数分解の形は？
→ $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$（単解3つ）→ 公式適用不可、直接積分
→ $(x-t)^2(x-\beta)$（重解+単解）→ $\frac{1}{12}$ 公式
→ $(x-p)^3$（3重解）→ 囲まれた部分なし
例1：$y = 2x^2 - 3x + 1$ と $y = x^2 + x - 2$ で囲まれた面積
差：$(2x^2-3x+1)-(x^2+x-2) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$（2次式）
$|a_1-a_2| = |2-1| = 1$ より $S = \frac{1}{6}(3-1)^3 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
例2：$y = x^3$ の原点における接線と曲線で囲まれた面積
接線：$y = 0$（$x$ 軸）。$f(x) - 0 = x^3 = x^2 \cdot (x-0)$。
接点 $t = 0$, もう一つの交点 $\beta = 0$ ...？ これは3重解なので囲まれた部分がありません。
例3：$y = x^3 - 3x$ の $x = -1$ における接線と曲線で囲まれた面積
$f(-1) = -1+3 = 2$, $f'(-1) = 3-3 = 0$。接線：$y = 2$。
$x^3-3x-2 = (x+1)^2(x-2)$。接点 $t = -1$, $\beta = 2$。
$S = \frac{1}{12}(2-(-1))^4 = \frac{81}{12} = \frac{27}{4}$
✗ 3次関数と直線が3点で交わる場合に $\frac{1}{12}$ 公式を使う（重解がないので使えない！）
✓ 3つの交点をもつ場合は、区間ごとに $\frac{1}{6}$ 公式を2回使う
$\frac{1}{12}$ 公式は「接点＝重解」がある場合にのみ適用できます。
Q1. $y = x^2 + 1$ と $y = -x^2 + 2x + 3$ で囲まれた面積を求めよ。
Q2. $y = x^3 - 6x^2 + 9x$ の $x = 1$ における接線と曲線で囲まれた面積を求めよ。
Q3. $\frac{1}{6}$ 公式と2つの放物線の公式の関係を説明せよ。
Q4. $\frac{1}{12}$ 公式の分母 $12$ は $\int_0^h t^m(h-t)^n\,dt$ において $m, n$ がいくつのとき現れるか。
Q5. 3次関数 $y = 2x^3$ と直線 $y = 6x - 4$ が3点で交わるとき、囲まれた2つの部分の面積の和を求められるか。どのように計算すべきか述べよ。
2つの放物線 $y = x^2 - 2x$ と $y = -x^2 + 4x - 3$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。
交点：$(x^2-2x) = (-x^2+4x-3)$ より $2x^2-6x+3=0$。
$x = \frac{6 \pm \sqrt{36-24}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$
$\beta - \alpha = \sqrt{3}$, $|a_1-a_2| = |1-(-1)| = 2$
$$S = \frac{2}{6}(\sqrt{3})^3 = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$$
曲線 $y = x^3 - 3x^2$ 上の点 $(3, 0)$ における接線と曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。
$f(x) = x^3-3x^2$, $f'(x) = 3x^2-6x$。$f'(3) = 27-18 = 9$。
接線：$y = 9(x-3) = 9x - 27$。
$f(x) - (9x-27) = x^3-3x^2-9x+27 = (x-3)^2(x+3)$
接点 $t = 3$, もう一つの交点 $\beta = -3$。
$$S = \frac{1}{12}|-3-3|^4 = \frac{1}{12} \cdot 1296 = 108$$
$f(x)-(9x-27)$ を因数分解する際、$x=3$ が重解であることを利用します。$(x-3)^2$ でくくれることを確認してから、割り算で残りの因数 $(x+3)$ を求めます。
放物線 $y = x^2$ 上の2点 $\mathrm{A}(-1, 1)$, $\mathrm{B}(2, 4)$ における接線と放物線で囲まれた部分の面積を求めよ。
$y' = 2x$ より、点 A での接線：$y = -2(x+1)+1 = -2x-1$
点 B での接線：$y = 4(x-2)+4 = 4x-4$
$\frac{1}{3}$ 公式を適用：$|a| = 1$, $\beta - \alpha = 2-(-1) = 3$
$$S = \frac{1}{3}(3)^3 = 9$$
放物線と2本の接線で囲まれた面積には $\frac{1}{3}$ 公式が使えます。$\frac{1}{3}$ 公式を知らない場合は、2本の接線の交点を求め（$-2x-1=4x-4$ より $x=\frac{1}{2}$）、2つの領域に分けてそれぞれ $\frac{1}{6}$ 公式を適用することもできます。
曲線 $y = x^3 - 3ax^2$（$a > 0$）の原点における接線と曲線で囲まれた部分の面積が $\frac{27}{4}$ であるとき、$a$ の値を求めよ。
$f(x) = x^3-3ax^2$, $f(0) = 0$, $f'(x) = 3x^2-6ax$ より $f'(0) = 0$。
接線：$y = 0$（$x$ 軸）。
$f(x) - 0 = x^3-3ax^2 = x^2(x-3a)$
接点 $t = 0$（重解）, もう一つの交点 $\beta = 3a$。
$\frac{1}{12}$ 公式：$S = \frac{1}{12}(3a-0)^4 = \frac{81a^4}{12} = \frac{27a^4}{4}$
$\frac{27a^4}{4} = \frac{27}{4}$ より $a^4 = 1$。$a > 0$ より $a = 1$。
$f(x) = x^2(x-3a)$ の形から、$x=0$ が2次の接触（重解）で $x=3a$ が単解とわかります。3次関数の最高次の係数は $1$ なので $|a| = 1$ として $\frac{1}{12}$ 公式を適用します。パラメータ $a$ が残る形で面積を表現し、条件から $a$ を決定します。