面積の応用問題
─ 面積を条件とする問題を攻略

例：放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2tx - t^2 + 1$（$t$ は実数）で囲まれた面積 $S(t)$ の最小値を求めよ。

Step 1：交点を求める。$x^2 = 2tx - t^2 + 1$ より $x^2 - 2tx + t^2 - 1 = 0$。

$(x-t)^2 = 1$ より $x = t \pm 1$。よって $\alpha = t-1$, $\beta = t+1$。

Step 2：$\frac{1}{6}$ 公式で面積を求める。$a = 1$, $\beta - \alpha = 2$ より

$$S(t) = \frac{1}{6} \cdot 2^3 = \frac{4}{3}$$

$S(t)$ は $t$ に依存しない（定数）。したがって最小値は $\frac{4}{3}$。

例：放物線 $y = x^2$ と直線 $y = t$（$t > 0$）で囲まれた面積 $S(t)$ を最小にする $t$ は存在するか。

交点：$x^2 = t$ より $x = \pm\sqrt{t}$。$\beta - \alpha = 2\sqrt{t}$。

$$S(t) = \frac{1}{6}(2\sqrt{t})^3 = \frac{1}{6} \cdot 8t\sqrt{t} = \frac{4}{3}t^{3/2}$$

$S(t)$ は $t > 0$ で単調増加なので最小値は存在しない（$t \to +0$ で $S \to 0$）。

例：$y = x^2$ と $x$ 軸、$x = 2$ で囲まれた面積を、直線 $x = k$（$0 < k < 2$）で2等分するとき、$k$ の値を求めよ。

全体の面積：$\int_0^2 x^2\, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}$

条件：$\int_0^k x^2\, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

$$\frac{k^3}{3} = \frac{4}{3} \quad \Longrightarrow \quad k^3 = 4 \quad \Longrightarrow \quad k = \sqrt[3]{4}$$

例：$y = x^2$（$0 \leq x \leq 1$）と $x$ 軸、$x = 1$ で囲まれた面積を、直線 $y = k$（$0 < k < 1$）で2等分するとき、$k$ の値を求めよ。

全体の面積：$\int_0^1 x^2\, dx = \frac{1}{3}$

$y = k$ より下の面積：$x^2 = k$ の正の解は $x = \sqrt{k}$。$[0, \sqrt{k}]$ では曲線は $y = k$ の下にあり、$[\sqrt{k}, 1]$ では上にある。

下の面積 $= \int_0^{\sqrt{k}} x^2\, dx + k(1-\sqrt{k})$

$= \frac{(\sqrt{k})^3}{3} + k - k\sqrt{k} = \frac{k\sqrt{k}}{3} + k - k\sqrt{k} = k - \frac{2k\sqrt{k}}{3}$

条件：$k - \frac{2}{3}k^{3/2} = \frac{1}{6}$

$t = \sqrt{k}$ とおくと $t^2 - \frac{2}{3}t^3 = \frac{1}{6}$、すなわち $4t^3 - 6t^2 + 1 = 0$。

$(2t-1)(2t^2-2t-1) = 0$ より $t = \frac{1}{2}$ または $t = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$。

$0 < t < 1$ より $t = \frac{1}{2}$。$k = t^2 = \frac{1}{4}$。

例：$y = x^2$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線と $y = x^2$、$x$ 軸で囲まれた面積を $t$ の関数として表せ（$t > 0$）。

接線：$y = 2t(x - t) + t^2 = 2tx - t^2$

接線と $x$ 軸の交点：$2tx - t^2 = 0$ より $x = \frac{t}{2}$

放物線と $x$ 軸で囲まれた面積から、接線と $x$ 軸の三角形を引く方法：

放物線と接線の面積（$\frac{1}{6}$ 公式）：$x^2 - (2tx-t^2) = (x-t)^2$ なので交点は $x = t$ のみ（接する）。

ここでは別の方法で考えます。$[0, t]$ で $y = x^2$ と $x$ 軸の面積は $\frac{t^3}{3}$。

$[\frac{t}{2}, t]$ で接線と $x$ 軸の三角形の面積は $\frac{1}{2} \cdot \frac{t}{2} \cdot t^2 = \frac{t^3}{4}$。

$[0, \frac{t}{2}]$ で放物線と $x$ 軸の面積は $\frac{1}{3}\left(\frac{t}{2}\right)^3 = \frac{t^3}{24}$。

求める面積 $= \frac{t^3}{3} - \frac{t^3}{4} - \frac{t^3}{24} = \frac{8t^3 - 6t^3 - t^3}{24} = \frac{t^3}{24}$

$y = x^2$ と2点 $(\alpha, \alpha^2)$, $(\beta, \beta^2)$ を結ぶ弦を考える（$\alpha < \beta$）。

弦の方程式：$y = (\alpha+\beta)x - \alpha\beta$。

弦と放物線で囲まれた面積：$S_1 = \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$（$\frac{1}{6}$ 公式）。

弦の中点の $x$ 座標は $\frac{\alpha+\beta}{2}$。この $x$ 値での弦上の $y$ 値と放物線上の $y$ 値の差が三角形の高さ。

弦上：$y_{\ell} = (\alpha+\beta)\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha\beta = \frac{(\alpha+\beta)^2}{2}-\alpha\beta = \frac{\alpha^2+\beta^2}{2}$

放物線上：$y_c = \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 = \frac{(\alpha+\beta)^2}{4}$

高さ $h = y_\ell - y_c = \frac{\alpha^2+\beta^2}{2} - \frac{(\alpha+\beta)^2}{4} = \frac{(\beta-\alpha)^2}{4}$

三角形の面積：$S_2 = \frac{1}{2}(\beta-\alpha) \cdot \frac{(\beta-\alpha)^2}{4} = \frac{(\beta-\alpha)^3}{8}$

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}{\frac{1}{8}(\beta-\alpha)^3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

よって $S_1 = \frac{4}{3}S_2$、すなわち放物線の弓形の面積は内接三角形の面積の $\frac{4}{3}$ 倍。

例：放物線 $y = x^2 - 2x$ と直線 $y = mx$（$m > -2$）で囲まれた面積 $S(m)$ が最小となる $m$ の値と、そのときの面積を求めよ。

Step 1：交点

$x^2 - 2x = mx$ より $x^2 - (m+2)x = 0$、$x(x-(m+2)) = 0$。

$x = 0, m+2$。$m > -2$ より $m+2 > 0$ なので $\alpha = 0$, $\beta = m+2$。

Step 2：面積を $m$ の関数で表す

$$S(m) = \frac{1}{6}(m+2)^3$$

Step 3：最小値を求める

$S'(m) = \frac{1}{6} \cdot 3(m+2)^2 = \frac{(m+2)^2}{2} > 0$（$m > -2$）

$S(m)$ は $m > -2$ で単調増加。$m \to -2+0$ で $S \to 0$。

したがって最小値は存在しない（下限 $0$ に近づくが到達しない）。