放物線と直線で囲まれた面積は、$\frac{1}{6}$ 公式を使うと驚くほど速く求まります。$S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$ という美しい公式の意味を理解し、証明を通じてその仕組みを学びましょう。入試では「知っていて当然」の必須公式です。
2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ と1次関数 $y = mx + n$ が異なる2点で交わるとき、その交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$（$\alpha < \beta$）とします。このとき、2曲線で囲まれた部分の面積は次の公式で一発で求まります。
2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ と1次関数 $y = mx + n$ の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$（$\alpha < \beta$）とするとき：
$$S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$$
※ $a$ は2次関数の $x^2$ の係数です。直線の傾き $m$ とは無関係です。
$\frac{1}{6}$ という値は、$t(1-t)$ を $0$ から $1$ まで積分した結果に由来します：
$$\int_0^1 t(1-t)\, dt = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$
2次関数と1次関数の差は必ず $a(x-\alpha)(x-\beta)$ の形になるので、この積分パターンが常に出現します。だから $\frac{1}{6}$ は偶然ではなく、必然なのです。
$\frac{1}{6}$ 公式で面積を求めるために必要な情報は次の2つだけです：
1次関数の傾きや切片、2次関数の $bx + c$ の部分は、すべて $\alpha, \beta$ の中に含まれているため、個別に知る必要はありません。
交点の $x$ 座標が具体的に求まらない場合でも、解と係数の関係を使えば $\beta - \alpha$ を計算できます：
$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$
2次方程式 $ax^2 + (b-m)x + (c-n) = 0$ に対して $\alpha + \beta = -\frac{b-m}{a}$、$\alpha\beta = \frac{c-n}{a}$ です。
$\frac{1}{6}$ 公式を証明しましょう。証明のカギは、差の関数を $a(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解する点にあります。
前提：$f(x) = ax^2 + bx + c$、$g(x) = mx + n$ とし、$f(\alpha) = g(\alpha)$、$f(\beta) = g(\beta)$（$\alpha < \beta$）とする。
Step 1：差の関数の因数分解
$f(x) - g(x) = ax^2 + (b-m)x + (c-n)$ は $x = \alpha, \beta$ を解にもつ2次式なので：
$$f(x) - g(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)$$
Step 2：面積の立式
$a > 0$ のとき、$[\alpha, \beta]$ で $f(x) - g(x) = a(x-\alpha)(x-\beta) \leq 0$（下に凸の放物線が直線より下）。よって直線が上：
$$S = \int_\alpha^\beta \{g(x) - f(x)\}\, dx = -\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta)\, dx = -a\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\, dx$$
Step 3：積分の計算
$t = x - \alpha$ と置換する（$dt = dx$、$x - \beta = t - (\beta - \alpha)$）。$h = \beta - \alpha$ とおくと：
$$\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\, dx = \int_0^h t(t - h)\, dt = \int_0^h (t^2 - ht)\, dt$$
$$= \left[\frac{t^3}{3} - \frac{ht^2}{2}\right]_0^h = \frac{h^3}{3} - \frac{h^3}{2} = -\frac{h^3}{6}$$
Step 4：結論
$a > 0$ のとき：$S = -a \cdot \left(-\frac{h^3}{6}\right) = \frac{a}{6}h^3 = \frac{a}{6}(\beta - \alpha)^3$
$a < 0$ のとき：$[\alpha, \beta]$ で $f(x) - g(x) \geq 0$（放物線が上）なので $S = \int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta)\, dx = a \cdot \left(-\frac{h^3}{6}\right) = -\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3 = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$
いずれの場合も：$\displaystyle S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$ ■
証明の核心は、$\int_0^h t(t-h)\, dt = -\frac{h^3}{6}$ という計算結果です。
2次関数と1次関数の差は必ず $a(x-\alpha)(x-\beta)$ の形になるため、この積分パターンが自動的に出現します。公式を暗記するだけでなく、この構造を理解しておくことが重要です。
$\frac{1}{6}$ 公式は非常に便利ですが、使える場面と使えない場面を正確に区別する必要があります。
| パターン | $\frac{1}{6}$ 公式 | $a$ の値 |
|---|---|---|
| 放物線と直線 | 適用可 | 放物線の $x^2$ の係数 |
| 放物線と $x$ 軸 | 適用可（直線 $y=0$ の場合） | 放物線の $x^2$ の係数 |
| 2つの放物線（$x^2$ の係数が異なる） | 適用可 | 差の関数の $x^2$ の係数 |
✗ 3次関数と直線（差の関数が3次式 → $\frac{1}{6}$ 公式の前提が崩れる）
✗ 2つの放物線で $x^2$ の係数が同じ（差の関数が1次式以下 → 囲まれた部分なし）
✗ 積分区間が交点と一致しない場合（例えば「$x = 0$ から $x = 3$ まで」のように指定された場合）
✓ $\frac{1}{6}$ 公式は「2次関数と1次関数（または定数関数）の交点間の面積」にのみ適用可
$\frac{1}{6}$ 公式では $|a|$ を使うため、上下関係を気にする必要がありません。これが大きな利点です。
どちらの場合も公式の結果は同じ $\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ です。
$y = a_1 x^2 + b_1 x + c_1$ と $y = a_2 x^2 + b_2 x + c_2$（$a_1 \neq a_2$）のとき、差の関数の $x^2$ の係数は $a_1 - a_2$ です。
$$S = \frac{|a_1 - a_2|}{6}(\beta - \alpha)^3$$
「2次の係数の差の絶対値」を使う点に注意しましょう。
$\frac{1}{6}$ 公式が威力を発揮する典型的な問題パターンを見ていきましょう。
例：$y = x^2$ 上の点 $(2, 4)$ における接線と放物線で囲まれた面積
$y' = 2x$ より接線の傾きは $2 \cdot 2 = 4$。接線：$y = 4x - 4$。
交点：$x^2 = 4x - 4$ より $x^2 - 4x + 4 = 0$、$(x-2)^2 = 0$。
接点では重解になるので、もう1つの交点が必要です。
→ 接線が放物線と再び交わる点は存在しない。この場合、接点のみなので面積は $0$ です。
接点だけでは囲まれた部分ができません。そこで、別の点からの接線を考えます。
例：$y = x^2$ と点 $(1, -1)$ を通る直線で囲まれた面積
$y = x^2$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線：$y = 2tx - t^2$。
$(1, -1)$ を通る条件：$-1 = 2t - t^2$ より $t^2 - 2t - 1 = 0$、$t = 1 \pm \sqrt{2}$。
2本の接線の接点の $x$ 座標が $\alpha = 1 - \sqrt{2}$, $\beta = 1 + \sqrt{2}$。
$(1, -1)$ を通る直線 $y = -1$ ではなく、2接線と放物線の問題ですが、放物線と「$(1, -1)$ を通る直線 $y = mx + n$」の面積なら $\frac{1}{6}$ 公式が使えます。
例1：$y = 2x^2 - 8x + 6$ と $x$ 軸で囲まれた面積
$2x^2-8x+6 = 2(x^2-4x+3) = 2(x-1)(x-3)$
$\alpha = 1$, $\beta = 3$, $|a| = 2$
$$S = \frac{2}{6}(3-1)^3 = \frac{2}{6} \cdot 8 = \frac{8}{3}$$
例2：$y = -3x^2 + 12$ と $x$ 軸で囲まれた面積
$-3x^2 + 12 = -3(x^2-4) = -3(x+2)(x-2)$
$\alpha = -2$, $\beta = 2$, $|a| = 3$
$$S = \frac{3}{6}(2-(-2))^3 = \frac{1}{2} \cdot 64 = 32$$
例：$y = x^2 - 2x$ と $y = x$ で囲まれた面積
交点：$x^2 - 2x = x$ より $x^2 - 3x = 0$、$x(x-3) = 0$。$\alpha = 0$, $\beta = 3$。
差の関数は $x^2-2x-x = x^2-3x = 1 \cdot x(x-3)$。$a = 1$。
$$S = \frac{1}{6}(3-0)^3 = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$
通常の計算なら $\int_0^3 (3x-x^2)\, dx = \left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{2}-9 = \frac{9}{2}$ ✓
$\frac{1}{6}$ 公式は、単に計算を省略するだけでなく、パラメータを含む面積問題や面積の最小値問題で特に威力を発揮します。
例：$y = x^2$ と $y = 2ax - a^2$（$a > 0$）で囲まれた面積を $a$ で表せ。
交点：$x^2 = 2ax - a^2$ より $x^2 - 2ax + a^2 = 0$、$(x-a)^2 = 0$。
重解 $x = a$ → 接している！ 面積は $0$ です。
※ $y = 2ax - a^2$ は $y = x^2$ の $x = a$ における接線です。
例：$y = x^2$ と $y = 2x + a$（$a > -1$）で囲まれた面積を $a$ で表せ。
交点：$x^2 = 2x + a$ より $x^2 - 2x - a = 0$。
$\alpha + \beta = 2$, $\alpha\beta = -a$（解と係数の関係）
$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = 4 + 4a$
$$S = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 = \frac{1}{6}(4+4a)^{3/2} = \frac{1}{6} \cdot 8(1+a)^{3/2} = \frac{4}{3}(1+a)^{3/2}$$
例：$y = x^2 - 2x + 2$ と $y = -x + k$ で囲まれた面積の最小値を求めよ。
交点：$x^2 - 2x + 2 = -x + k$ より $x^2 - x + (2-k) = 0$。
異なる2点で交わる条件：$D = 1 - 4(2-k) > 0$ より $k > \frac{7}{4}$。
$(\beta - \alpha)^2 = \frac{D}{a^2} = \frac{1-8+4k}{1} = 4k - 7$
$\frac{1}{6}$ 公式：$S = \frac{1}{6}(4k-7)^{3/2}$
$k > \frac{7}{4}$ で $S$ は $k$ の増加関数なので、$k \to \frac{7}{4}$ のとき $S \to 0$。
ただし $k = \frac{7}{4}$ のとき接するので面積は $0$。異なる2点で交わる条件下で $S > 0$ であり、$S$ に最小値は存在しない（下限は $0$ だが達しない）。
$\frac{1}{6}$ 公式の最大の利点は、面積を $(\beta - \alpha)^3$ の関数として表せることです。
パラメータを含む問題では、$(\beta-\alpha)^2$ を判別式 $D$ や解と係数の関係で表すことで、面積をパラメータの関数として陽に書けるようになります。
これにより、面積の最大・最小問題や、面積がある値になる条件を求める問題が解けるのです。
2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とすると：
$$(\beta - \alpha)^2 = \frac{D}{a^2}$$
これを $\frac{1}{6}$ 公式に代入すると：$S = \frac{|a|}{6} \cdot \left(\frac{D}{a^2}\right)^{3/2} = \frac{|a|}{6} \cdot \frac{D^{3/2}}{|a|^3} = \frac{D^{3/2}}{6a^2}$（$D > 0$）
判別式で面積を直接表す方法も覚えておくと便利です。
Q1. $y = x^2$ と $y = 3x$ で囲まれた面積を $\frac{1}{6}$ 公式で求めよ。
Q2. $y = -2x^2 + 3x + 5$ と $x$ 軸で囲まれた面積を $\frac{1}{6}$ 公式で求めよ。
Q3. $y = x^2 + 1$ と $y = -x^2 + 4x + 1$ で囲まれた面積を求めよ。
Q4. $\frac{1}{6}$ 公式の証明で使う置換 $t = x - \alpha$ の後、$\int_0^h t(t-h)\, dt$ の値を求めよ。
Q5. $\frac{1}{6}$ 公式が使えない例を1つ挙げ、その理由を述べよ。
次の曲線と直線で囲まれた部分の面積を $\frac{1}{6}$ 公式を用いて求めよ。
(1) $y = x^2 - 4x + 3$, $y = -x + 3$
(2) $y = -x^2 + 2x + 3$, $y = x + 1$
(1) $x^2-4x+3 = -x+3$ より $x^2-3x = 0$、$x(x-3) = 0$。$\alpha=0$, $\beta=3$, $a=1$。
$S = \frac{1}{6}(3-0)^3 = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$
(2) $-x^2+2x+3 = x+1$ より $x^2-x-2 = 0$、$(x-2)(x+1) = 0$。$\alpha=-1$, $\beta=2$。
差の関数の $x^2$ の係数は $-1$（$-x^2+2x+3$ から $x+1$ を引いて $-x^2+x+2$）。$|a|=1$。
$S = \frac{1}{6}(2-(-1))^3 = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$
放物線 $y = x^2$ 上の点 $A(a, a^2)$（$a > 0$）における接線と、原点 $O$ を通り $x$ 軸に垂直でない直線 $y = mx$ が作る2つの交点で囲まれた面積を $a$ を用いて表せ。ただし、接線と直線は異なる2点で交わるものとする。
$y = x^2$ の $x = a$ における接線：$y = 2ax - a^2$。
この接線と $y = mx$ の交点を求める：
$2ax - a^2 = mx$ より $(2a-m)x = a^2$、$x = \frac{a^2}{2a-m}$（$m \neq 2a$）。
これは1つの交点しか与えないので、接線と $y = mx$ は1点でしか交わりません。
「2つの交点で囲まれた面積」とは、$y = x^2$ と $y = mx$ で囲まれた面積のことです。
交点：$x^2 = mx$ より $x(x-m) = 0$。$\alpha = 0$, $\beta = m$（$m > 0$ を仮定）。
接点 $A(a, a^2)$ が放物線上にあり、接線が直線 $y = mx$ と交わるという条件から：
$S = \frac{1}{6}m^3$（$m > 0$ のとき）
接線 $y = 2ax - a^2$ が $y = x^2$ と $y = mx$ の交点 $(0, 0)$ を通るとき：$-a^2 = 0$ で $a = 0$（不適）。
接線が $(m, m^2)$ を通るとき：$m^2 = 2am - a^2$、$(m-a)^2 = 0$、$m = a$。
$m \neq a$ のとき面積は $S = \frac{1}{6}|m|^3$。$m = a$ のとき面積は $\frac{a^3}{6}$。
問題文の解釈に注意が必要です。放物線と原点を通る直線 $y = mx$ で囲まれた面積なら $S = \frac{1}{6}|m|^3$ です。$m = a$ の場合、接線は放物線上の点 $A$ と原点を結ぶ割線（secant line）にもなり、$S = \frac{a^3}{6}$ と表されます。
放物線 $y = x^2 - 2x$ と直線 $y = kx$（$k > -2$）で囲まれた部分の面積が $\frac{9}{2}$ となるとき、$k$ の値を求めよ。
交点：$x^2-2x = kx$ より $x^2-(k+2)x = 0$、$x(x-(k+2)) = 0$。
$\alpha = 0$, $\beta = k+2$。$k > -2$ より $\beta > 0$。
差の関数の $x^2$ の係数は $1$（$x^2-2x-kx = x^2-(k+2)x$）。
$\frac{1}{6}$ 公式：$S = \frac{1}{6}(k+2)^3$
$\frac{1}{6}(k+2)^3 = \frac{9}{2}$ より $(k+2)^3 = 27$
$k+2 = 3$ すなわち $k = 1$
$\frac{1}{6}$ 公式を使わない場合、$\int_0^{k+2} \{kx-(x^2-2x)\}\, dx$ を計算して $k$ の方程式を解く必要があり、計算量が大幅に増えます。$\frac{1}{6}$ 公式の強みがよく分かる問題です。
$a$ を正の定数とする。放物線 $C: y = x^2 + a$ と、$C$ 上の点 $P(t, t^2+a)$ における接線 $\ell$ および $y$ 軸で囲まれた部分の面積を $S(t)$ とする（$t > 0$）。$S(t)$ を求め、$S(t)$ が最小となる $t$ の値とその最小値を求めよ。
$y = x^2 + a$ より $y' = 2x$。点 $P(t, t^2+a)$ における接線は：
$$\ell: y = 2t(x-t)+t^2+a = 2tx - t^2 + a$$
放物線と接線の交点を求める：$x^2+a = 2tx-t^2+a$ より $x^2-2tx+t^2 = 0$、$(x-t)^2 = 0$。
接点 $x = t$ のみ（重解）。
$y$ 軸（$x = 0$）と接線 $\ell$ の交点を使う。$C$ と $\ell$ と $y$ 軸（$x = 0$ から $x = t$）で囲まれた面積：
$[0, t]$ で $x^2+a \geq 2tx-t^2+a$（$\Leftrightarrow (x-t)^2 \geq 0$ で常に成立）。よって放物線が上。
$$S(t) = \int_0^t \{(x^2+a)-(2tx-t^2+a)\}\, dx = \int_0^t (x-t)^2\, dx$$
$$= \left[\frac{(x-t)^3}{3}\right]_0^t = 0 - \frac{(-t)^3}{3} = \frac{t^3}{3}$$
$S(t) = \frac{t^3}{3}$（$t > 0$）。
$S'(t) = t^2 > 0$（$t > 0$）なので $S(t)$ は単調増加。
$t > 0$ の範囲で最小値はない（$t \to +0$ で $S \to 0$ だが $t = 0$ は含まない）。
ただし問題が「$y$ 軸と接線と放物線」で囲まれた部分の存在を前提にしているので、$t > 0$ での $S(t) = \frac{t^3}{3}$ が答え。
もし $a$ に依存した条件が加わるなどして有界な $t$ の範囲が指定されれば最小値が定まりますが、$t > 0$ で単調増加のため、$S(t)$ は $t$ に対して最小値をもたず下限は $0$ です。
$(x-t)^2$ を積分するだけなので、$\frac{1}{6}$ 公式を使う場面ではなく直接計算が早いです。結果が $a$ に依存しない（$a$ が消える）点が興味深いポイントです。放物線と接線の間の距離は $x^2$ の係数だけで決まるため、定数項 $a$ による上下の平行移動は面積に影響しません。