曲線上のある点で「ぴったり触れる」直線が接線です。その傾きは微分係数 $f'(a)$ そのものであり、接線の方程式はただちに書き下せます。
微分法の最も直接的な応用である接線の方程式をマスターしましょう。
曲線 $y = f(x)$ 上の点 $\mathrm{P}(a, f(a))$ における接線とは、点 $\mathrm{P}$ において曲線に「触れる」直線のことです。
接線は曲線を「点 $\mathrm{P}$ の近くで最もよく近似する直線」です。$x = a$ の近くで $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ が成り立ち、右辺が接線の方程式です。
つまり接線とは、曲線の「1次近似」にほかなりません。微分が「接線を求める道具」として使われる理由がここにあります。
前回までに学んだように、接線の傾きは微分係数 $f'(a)$ です。割線の傾き（平均変化率）の極限として接線の傾き（微分係数）が得られるのでした。
曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の方程式は
$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$
すなわち $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
傾き $f'(a)$ で点 $(a, f(a))$ を通る直線の方程式を立てているだけです。
公式には $f(a)$（接点の $y$ 座標）と $f'(a)$（接線の傾き）の両方が登場します。取り違えに注意しましょう。
✗ 誤り：$y - f'(a) = f(a)(x - a)$（$f$ と $f'$ が逆）
✓ 正しい：$y - f(a) = f'(a)(x - a)$
問：$y = x^2 - 2x + 3$ の $x = 1$ における接線の方程式を求めよ。
$f(1) = 1 - 2 + 3 = 2$、$f'(x) = 2x - 2$ より $f'(1) = 0$
$$y - 2 = 0 \cdot (x - 1) \quad \Longrightarrow \quad y = 2$$
$x = 1$ は放物線の頂点であり、接線は水平線です。
問：$y = x^3 - 3x$ の $x = 2$ における接線の方程式を求めよ。
$f(2) = 8 - 6 = 2$、$f'(x) = 3x^2 - 3$ より $f'(2) = 9$
$$y - 2 = 9(x - 2) \quad \Longrightarrow \quad y = 9x - 16$$
問：$y = x^3 + x$ の原点における接線の方程式を求めよ。
$f(0) = 0$、$f'(x) = 3x^2 + 1$ より $f'(0) = 1$
$$y - 0 = 1 \cdot (x - 0) \quad \Longrightarrow \quad y = x$$
接線 $y = f'(a)(x-a)+f(a)$ と曲線 $y = f(x)$ は、$x = a$ で同じ $y$ 座標を持ち、同じ傾きを持ちます。つまり
$$\text{関数値が一致：} f(a) = f'(a)(a - a) + f(a) \quad \checkmark$$
$$\text{傾きが一致：} f'(a) = f'(a) \quad \checkmark$$
この「値と傾きが同時に一致する」ことが「接する」の正確な意味です。
接線の問題には2つのタイプがあります。
| タイプ | 問題文の例 | 解法 |
|---|---|---|
| 接点が指定 | 「$x = a$ における接線」 | $f(a)$、$f'(a)$ を計算して直接代入 |
| 通る点が指定 | 「点 $(p, q)$ を通る接線」 | 接点を $(t, f(t))$ とおいて条件から $t$ を求める |
例：$y = x^2$ の接線で、点 $(2, 3)$ を通るものを求めよ。
接点を $(t, t^2)$ とおくと、$f'(t) = 2t$ なので接線は $y - t^2 = 2t(x - t)$ すなわち $y = 2tx - t^2$
この接線が $(2, 3)$ を通るので $3 = 4t - t^2$、すなわち $t^2 - 4t + 3 = 0$、$(t-1)(t-3) = 0$
$t = 1$ のとき $y = 2x - 1$、$t = 3$ のとき $y = 6x - 9$
「点 $(2, 3)$ を通る接線」と「$x = 2$ における接線」は別物です。
✗ 誤り：$(2, 3)$ が曲線上の点だと決めつけて $f'(2)$ を傾きにする
✓ 正しい：接点を $(t, f(t))$ とおいて、接線が $(2, 3)$ を通る条件から $t$ を求める
$(2, 3)$ が曲線上にあるかどうかをまず確認しましょう。$f(2) = 4 \neq 3$ なので、$(2, 3)$ は曲線上にありません。
曲線上の点 $\mathrm{P}$ における法線とは、接線に垂直で点 $\mathrm{P}$ を通る直線です。
$f'(a) \neq 0$ のとき、点 $(a, f(a))$ における法線の方程式は
$$y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)$$
接線の傾きが $m$ のとき、垂直な直線の傾きは $-\dfrac{1}{m}$ です。
$y = x^2$ の $x = 1$ における法線：$f'(1) = 2$ なので
$$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \quad \Longrightarrow \quad y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$$
接線 $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ は、$f(x)$ の $x = a$ における1次テイラー近似です。大学ではこれを拡張して
$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$$
というテイラー展開を学びます。項を増やすほど近似の精度が上がります。
Q1. $y = x^2 + 1$ の $x = 2$ における接線の方程式を求めよ。
Q2. $y = x^3$ の $x = -1$ における接線の方程式を求めよ。
Q3. $y = x^2 - 4x$ の接線が水平になる点の座標を求めよ。
Q4. $y = x^2$ の $x = 3$ における法線の方程式を求めよ。
Q5. 「$x = 1$ における接線」と「点 $(1, 1)$ を通る接線」の違いを説明せよ。
曲線 $y = 2x^3 - 3x^2 + 1$ について、次の各点における接線の方程式を求めよ。
(1) $x = 0$
(2) $x = 1$
(3) $x = -1$
$y' = 6x^2 - 6x$
(1) $f(0)=1$, $f'(0)=0$ → $y = 1$
(2) $f(1)=0$, $f'(1)=0$ → $y = 0$
(3) $f(-1)=-4$, $f'(-1)=12$ → $y+4=12(x+1)$ すなわち $y=12x+8$
曲線 $y = x^2$ 上の点 $\mathrm{A}(a, a^2)$ における接線が $x$ 軸と交わる点を $\mathrm{B}$ とする。
(1) 点 $\mathrm{A}$ における接線の方程式を求めよ。
(2) 点 $\mathrm{B}$ の座標を求めよ。
(3) 三角形 $\mathrm{OAB}$（$\mathrm{O}$ は原点）の面積を $a$ で表せ（$a > 0$）。
(1) $y' = 2x$ より $y - a^2 = 2a(x - a)$ すなわち $y = 2ax - a^2$
(2) $y = 0$ とすると $0 = 2ax - a^2$ より $x = \dfrac{a}{2}$。$\mathrm{B}\left(\dfrac{a}{2}, 0\right)$
(3) $\mathrm{OB} = \dfrac{a}{2}$、$\mathrm{A}$ の $y$ 座標は $a^2$ なので $S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a}{2} \cdot a^2 = \dfrac{a^3}{4}$
曲線 $y = x^3 - 3x + 2$ の接線で、傾きが $9$ であるものの方程式を求めよ。
接点の $x$ 座標を $t$ とすると $f'(t) = 3t^2 - 3 = 9$ より $t^2 = 4$、$t = \pm 2$
$t = 2$：$f(2) = 4$、接線は $y - 4 = 9(x - 2)$ → $y = 9x - 14$
$t = -2$：$f(-2) = 0$、接線は $y - 0 = 9(x + 2)$ → $y = 9x + 18$
「傾きが指定される」タイプの問題です。$f'(t) = 9$ の方程式を解いて接点を求め、そこでの接線の方程式を求めます。
曲線 $y = x^3$ 上の点 $\mathrm{P}(t, t^3)$ における接線が、曲線と $\mathrm{P}$ 以外の点 $\mathrm{Q}$ で交わるとする。
(1) 点 $\mathrm{P}$ における接線の方程式を $t$ で表せ。
(2) 点 $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標を $t$ で表せ。
(3) 点 $\mathrm{Q}$ における接線の傾きは、点 $\mathrm{P}$ における接線の傾きの何倍か。
(1) $y' = 3x^2$ より $y - t^3 = 3t^2(x - t)$ すなわち $y = 3t^2 x - 2t^3$
(2) $x^3 = 3t^2 x - 2t^3$ より $x^3 - 3t^2 x + 2t^3 = 0$
$x = t$ は解なので $(x - t)$ で割ると $x^2 + tx - 2t^2 = 0$
$(x - t)(x^2 + tx - 2t^2) = (x - t)^2(x + 2t) = 0$（※ $x^3 - 3t^2x + 2t^3 = (x-t)^2(x+2t)$）
$\mathrm{Q}$ の $x$ 座標は $x = -2t$
(3) $\mathrm{P}$ での傾き：$3t^2$、$\mathrm{Q}$ での傾き：$3(-2t)^2 = 12t^2$
$\dfrac{12t^2}{3t^2} = 4$ 倍