「$x^n$ の微分は $nx^{n-1}$」── この公式に加え、和・差・定数倍のルールを組み合わせれば、あらゆる多項式関数が微分できます。
数学IIの微分計算の核心をここで確実に押さえましょう。
① 和の微分：$\{f(x) + g(x)\}' = f'(x) + g'(x)$
② 差の微分：$\{f(x) - g(x)\}' = f'(x) - g'(x)$
③ 定数倍の微分：$\{kf(x)\}' = kf'(x)$ （$k$ は定数）
これらを合わせて「微分の線形性」と呼びます。各項を独立に微分して足し合わせてよいのです。
$F(x) = f(x) + g(x)$ とおくと
$$F'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{\{f(x+h)+g(x+h)\}-\{f(x)+g(x)\}}{h}$$
$$= \lim_{h \to 0}\left\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\} = f'(x) + g'(x) \quad \blacksquare$$
多項式の微分では、各項を独立に微分して結果を足し合わせればよいのです。これは微分の線形性と呼ばれる基本性質です。
$$\{3x^3 + 2x^2 - 5x + 1\}' = (3x^3)' + (2x^2)' + (-5x)' + (1)' = 9x^2 + 4x - 5$$
項がいくつあっても、それぞれを独立に微分して足すだけです。
例1：$f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x - 7$
$$f'(x) = 12x^2 - 12x + 2$$
例2：$f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + 5$
$$f'(x) = x^2 - x$$
例3：$f(x) = -2x^4 + 3x^3 - x + 8$
$$f'(x) = -8x^3 + 9x^2 - 1$$
$x^n$ を微分すると指数が $n-1$ に下がります。特に $x^1$ の微分で間違えやすいです。
✗ 誤り：$(5x)' = 5x$（指数が下がっていない）
✓ 正しい：$(5x)' = 5 \cdot 1 \cdot x^0 = 5$
✗ 誤り：$(3x^2)' = 3x$（係数を忘れている）
✓ 正しい：$(3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x$
数学IIでは積の微分法則を学びません。そのため、関数が積の形で与えられた場合は、まず展開してから微分します。
$$f(x) = (x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3$$
$$f'(x) = 2x - 2$$
$$f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2$$
$$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$
$$f(x) = 4x^2 - 4x + 1$$
$$f'(x) = 8x - 4$$
数学IIの範囲では、積のまま微分することはできません。
✗ 誤り：$\{(x+1)(x-3)\}' = 1 \cdot 1 = 1$（各因子の導関数を掛ける）
✓ 正しい：まず展開して $x^2 - 2x - 3$ としてから微分して $2x - 2$
数学IIIでは積の微分法則 $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を学びます。
数学IIIで学ぶ積の微分法則（ライプニッツの規則）は
$$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
上の例1を検証：$\{(x+1)(x-3)\}' = 1 \cdot (x-3) + (x+1) \cdot 1 = 2x - 2$ ✓
展開して微分した結果と一致します。高次の関数では展開が大変になるため、この法則が非常に役立ちます。
次の関数を微分せよ。
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $2x^3 + 5x^2 - x + 4$ | $6x^2 + 10x - 1$ |
| $-x^4 + 3x^2 - 2$ | $-4x^3 + 6x$ |
| $\dfrac{2}{3}x^3 - 4x$ | $2x^2 - 4$ |
| $(x - 1)(x + 2)$ | $2x + 1$（展開後に微分） |
| $(x + 3)^2$ | $2x + 6$（展開後に微分） |
| $x(x - 1)(x + 1)$ | $3x^2 - 1$（展開後に微分） |
導関数 $f'(x)$ が求められるようになったことで、次のことが可能になります。
導関数 $f'(x)$ は関数 $f(x)$ の「変化の速さ」を表します。$f'(x)$ の符号を調べることで、$f(x)$ がどこで増加し、どこで減少するかが分かります。
つまり、導関数を求めることで、関数のグラフの概形が完全に把握できるのです。これが微分法の真の力です。
数学IIIでは、$f(g(x))$ のような合成関数の微分法則（連鎖律, chain rule）を学びます。
$$\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
例えば $(2x+1)^3$ を展開せずに微分できます：$3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$。
数学IIの段階では展開が必要ですが、この「外側の微分 × 内側の微分」という発想は非常に強力です。
Q1. $f(x) = 3x^3 - 2x + 1$ を微分せよ。
Q2. $f(x) = -x^4 + 4x^3 - 6$ を微分せよ。
Q3. $f(x) = (x+2)(x-4)$ を微分せよ。
Q4. $f(x) = (2x-1)^2$ を微分せよ。
Q5. $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 2$ について $f'(x) = 0$ を満たす $x$ を求めよ。
次の関数を微分せよ。
(1) $y = 5x^3 - 3x^2 + 7x - 2$
(2) $y = (x+1)(2x-3)$
(3) $y = (x-2)^3$
(1) $y' = 15x^2 - 6x + 7$
(2) $y = 2x^2 - x - 3$ より $y' = 4x - 1$
(3) $y = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ より $y' = 3x^2 - 12x + 12 = 3(x-2)^2$
$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $f(0) = 1$、$f'(0) = -2$、$f(1) = 3$、$f'(1) = 4$ を満たすとき、定数 $a$, $b$, $c$, $d$ を求めよ。
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$
$f(0) = d = 1$ ∴ $d = 1$
$f'(0) = c = -2$ ∴ $c = -2$
$f(1) = a + b - 2 + 1 = 3$ より $a + b = 4$ ...
$f'(1) = 3a + 2b - 2 = 4$ より $3a + 2b = 6$ ...
② - ① × 2 より $a = -2$。① より $b = 6$
よって $a = -2$、$b = 6$、$c = -2$、$d = 1$
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k$ について、次の問いに答えよ。
(1) $f'(x) = 0$ を満たす $x$ を求めよ。
(2) $f(x)$ の極大値と極小値を $k$ を用いて表せ。
(1) $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3) = 0$
$x = 1, 3$
(2) $f(1) = 1 - 6 + 9 + k = 4 + k$（極大値）
$f(3) = 27 - 54 + 27 + k = k$（極小値）
$f'(x) = 3(x-1)(x-3)$ は $x < 1$ で正、$1 < x < 3$ で負、$x > 3$ で正なので、$x = 1$ で極大、$x = 3$ で極小です。導関数の符号変化から増減が分かる好例です。
3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$（$a \neq 0$）が次の条件を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$
$x = -1, 3$ で $f'(x) = 0$ なので $f'(x) = 3a(x+1)(x-3) = 3a(x^2-2x-3)$
比較して $2b = -6a$ より $b = -3a$、$c = -9a$
$f(0) = d = 2$ ∴ $d = 2$
$f(-1) = -a + 3a + 9a + 2 = 11a + 2 = 5$ より $a = \dfrac{3}{11}$
$b = -\dfrac{9}{11}$、$c = -\dfrac{27}{11}$
$$f(x) = \frac{3}{11}x^3 - \frac{9}{11}x^2 - \frac{27}{11}x + 2 = \frac{1}{11}(3x^3 - 9x^2 - 27x + 22)$$