微分係数 $f'(a)$ は特定の1点での値でした。$a$ の代わりに変数 $x$ を使えば、すべての点での微分係数をまとめた導関数 $f'(x)$ が得られます。
導関数の公式を導出し、微分計算の基礎を確立しましょう。
微分係数 $f'(a)$ の $a$ を変数 $x$ に置き換えると、各 $x$ の値に対して微分係数の値が定まります。これを新しい関数とみなしたものが導関数です。
関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$
関数 $f(x)$ から導関数 $f'(x)$ を求めることを、$f(x)$ を微分するという。
導関数 $f'(x)$ は、すべての点での微分係数を1つの関数にまとめたものです。
$f'(x)$ に $x = a$ を代入すれば、$x = a$ における微分係数 $f'(a)$ が得られます。つまり
$$\text{導関数} f'(x) \xrightarrow{x = a \text{ を代入}} \text{微分係数} f'(a)$$
導関数は「微分計算の元」であり、必要な点の値をいつでも取り出せるのです。
$f(x) = c$（$c$ は定数）のとき
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$
定数関数は変化しないので、変化率は常に $0$ です。
$n = 1$：$f(x) = x$ のとき $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)-x}{h} = 1$
$n = 2$：$f(x) = x^2$ のとき $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0}(2x+h) = 2x$
$n = 3$：$f(x) = x^3$ のとき $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h} = \lim_{h \to 0}(3x^2+3xh+h^2) = 3x^2$
$n$ が正の整数のとき
$$(x^n)' = nx^{n-1}$$
「指数を前に出して、指数を1つ減らす」── この操作が微分の基本です。
| $f(x)$ | $f'(x)$ | 規則の確認 |
|---|---|---|
| $c$（定数） | $0$ | 変化しない → 変化率 $0$ |
| $x$ | $1$ | $1 \cdot x^0 = 1$ |
| $x^2$ | $2x$ | $2 \cdot x^1 = 2x$ |
| $x^3$ | $3x^2$ | $3 \cdot x^2 = 3x^2$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ | 一般公式 |
$(x + h)^n$ を二項定理で展開すると
$$(x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$$
したがって
$$\frac{(x+h)^n - x^n}{h} = \frac{nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h}$$
$$= nx^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1}$$
$h \to 0$ とすると、$h$ を含む項はすべて $0$ になるので
$$\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} = nx^{n-1} \quad \blacksquare$$
$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})$ を利用します。
$a = x + h$、$b = x$ とおくと
$$\frac{(x+h)^n - x^n}{h} = \frac{(x+h-x)\{(x+h)^{n-1} + (x+h)^{n-2}x + \cdots + x^{n-1}\}}{h}$$
$$= (x+h)^{n-1} + (x+h)^{n-2}x + \cdots + x^{n-1}$$
$h \to 0$ とすると各項が $x^{n-1}$ になり、$n$ 個の $x^{n-1}$ が加わるので $nx^{n-1}$。■
導関数には $f'(x)$ のほかに、ライプニッツが考案した$\dfrac{dy}{dx}$ という記法もあります。$y = f(x)$ のとき
$$\frac{dy}{dx} = f'(x)$$
これは $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ の極限を表す記号であり、分数ではありません。しかし、合成関数の微分（$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$）では「あたかも分数のように」約分できるため、非常に便利な記法です。
他にも $\dfrac{d}{dx}f(x)$ や $Df(x)$ といった記法があり、大学では $\dfrac{d}{dx}$ を微分作用素（differential operator）と呼びます。
| 記法 | 読み方 | 特徴 |
|---|---|---|
| $f'(x)$ | エフダッシュ $x$ | ラグランジュ記法。最も基本的 |
| $y'$ | ワイダッシュ | $y = f(x)$ のとき使用 |
| $\dfrac{dy}{dx}$ | ディーワイ ディーエックス | ライプニッツ記法。変数を明示 |
| $\dfrac{d}{dx}f(x)$ | ディーディーエックス $f(x)$ | 微分作用素として使う |
「定義に従って微分係数を求めよ」と問われた場合は、極限の計算を省略せずに書く必要があります。
✗ 誤り：$(x^2)' = 2x$ と公式を使って即答（定義を使えという指示に反する）
✓ 正しい：$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0}(2x+h) = 2x$ と計算過程を書く
ただし、「微分せよ」と単に言われた場合は公式を使って構いません。問題の指示をよく読みましょう。
「$f(x)$ を微分する」とは、導関数 $f'(x)$ を求めることです。例えば「$f(x) = x^3 + 2x$ を微分せよ」と問われたら、答えは $f'(x) = 3x^2 + 2$ です。
例：$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ の $x = 2$ における微分係数
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ なので $f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3$
一度導関数を求めておけば、任意の点での微分係数が代入一発で求まります。いちいち極限計算をする必要がありません。
これが導関数の最大の利点であり、微分法が強力な理由です。接線の傾き、関数の増減、極値、最大最小 ── すべてが導関数から分かります。
例：$f(x) = x^3 - 3x$ について、$f'(a) = 0$ となる $a$ を求めよ。
$f'(x) = 3x^2 - 3$ より $f'(a) = 3a^2 - 3 = 0$。$a^2 = 1$ なので $a = \pm 1$
$f'(a) = 0$ は「接線が水平になる点」を意味し、これは関数の極値を与える点の候補です。
$f'(x) = 0$ は「接線が水平」、$f(x) = 0$ は「グラフが $x$ 軸と交わる」です。意味が全く異なります。
✗ 誤り：$f'(x) = 0$ を解いて「$x$ 切片」と答える
✓ 正しい：$f'(x) = 0$ を解いて「極値の候補」と答える
Q1. $f(x) = x^4$ の導関数を求めよ。
Q2. $f(x) = 5$ の導関数を求めよ。
Q3. $f(x) = x^3$ の $x = -2$ における微分係数を求めよ。
Q4. $(x^n)' = nx^{n-1}$ の公式で $n = 1$ のとき何が得られるか。
Q5. $\dfrac{dy}{dx}$、$f'(x)$、$y'$ の3つの記法の関係を述べよ。
$f(x) = x^2$ について、定義に従って導関数 $f'(x)$ を求めよ。また、$f'(3)$ を求めよ。
$f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{2xh+h^2}{h} = \lim_{h \to 0}(2x+h) = 2x$
$f'(3) = 2 \times 3 = 6$
$f(x) = x^3 - 4x$ について、次の問いに答えよ。
(1) 導関数 $f'(x)$ を求めよ。
(2) $f'(a) = 0$ となる $a$ の値を求めよ。
(3) (2) で求めた $a$ における $f(a)$ の値をそれぞれ求めよ。
(1) $f'(x) = 3x^2 - 4$
(2) $3a^2 - 4 = 0$ より $a^2 = \dfrac{4}{3}$ よって $a = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}} = \pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
(3) $a = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ のとき $f(a) = \dfrac{8\sqrt{3}}{27} - \dfrac{8\sqrt{3}}{3} = -\dfrac{16\sqrt{3}}{9}$
$a = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ のとき $f(a) = \dfrac{16\sqrt{3}}{9}$
$f'(a) = 0$ となる点は接線が水平になる点で、極値の候補です。この問題は、導関数から極値を求める典型的な流れを示しています。
$f(x) = x^3$ について、定義に従って $\displaystyle\lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ を求めよ。ただし因数分解の公式 $x^3 - a^3 = (x-a)(x^2+ax+a^2)$ を利用せよ。
$$\lim_{x \to a}\frac{x^3 - a^3}{x - a} = \lim_{x \to a}\frac{(x-a)(x^2+ax+a^2)}{x-a} = \lim_{x \to a}(x^2+ax+a^2) = 3a^2$$
$x$ 型の定義式を因数分解で処理するパターンです。結果の $3a^2$ は、公式 $(x^3)' = 3x^2$ に $x = a$ を代入した値と一致します。
正の整数 $n$ に対し、$f(x) = x^n$ とする。
(1) $x^n - a^n = (x - a)(x^{n-1} + x^{n-2}a + \cdots + xa^{n-2} + a^{n-1})$ が成り立つことを示せ。
(2) (1) を利用して $(x^n)' = nx^{n-1}$ を証明せよ。
(3) $g(x) = x^n + x^{n-1}$ について $g'(1)$ を求めよ。
(1) 右辺を展開すると
$(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+a^{n-1})$
$= x^n + x^{n-1}a + \cdots + xa^{n-1} - ax^{n-1} - ax^{n-2}a - \cdots - a^n$
$= x^n - a^n$（中間の項がすべて相殺される）■
(2) $f'(x) = \displaystyle\lim_{t \to x}\frac{t^n - x^n}{t - x} = \lim_{t \to x}(t^{n-1}+t^{n-2}x+\cdots+x^{n-1})$
$= x^{n-1}+x^{n-1}+\cdots+x^{n-1} = nx^{n-1}$ （$x^{n-1}$ が $n$ 個）■
(3) $g'(x) = nx^{n-1}+(n-1)x^{n-2}$ より $g'(1) = n + (n-1) = 2n - 1$