「$\sin$、$\cos$、$\tan$ って結局何？」── その答えは単位円にあります。
原点中心・半径1の円の上の点の座標が、三角関数の最も本質的な定義です。数学Iの三角比を一般角へと拡張しましょう。
三角関数を理解するための最も重要な道具が単位円です。まずはこの円と角の関係を正確に押さえましょう。
座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の円を単位円といいます。その方程式は
$$x^2 + y^2 = 1$$
です。半径が $1$ であることが本質的に重要で、これによって座標の値がそのまま三角関数の値になります。
原点 $\mathrm{O}$ から出発して、$x$ 軸の正の方向を始線とし、角 $\theta$ だけ回転した半直線を動径といいます。この動径と単位円の交点を $\mathrm{P}$ とすると、$\mathrm{P}$ の座標は角 $\theta$ によって一意に決まります。
ここで $\theta$ は一般角です。正の方向（反時計回り）だけでなく、負の方向（時計回り）や、$360°$（$2\pi$）を超える回転も許されます。
単位円上の点の座標が $(\cos\theta, \sin\theta)$ です。これが三角関数の最も本質的な定義です。
角 $\theta$ に対応する動径と単位円の交点を $\mathrm{P}$ とすると、
$$\mathrm{P}(\cos\theta,\;\sin\theta)$$
つまり、$\cos\theta$ は点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標、$\sin\theta$ は点 $\mathrm{P}$ の $y$ 座標です。三角関数の性質はすべてこの定義から導かれます。
半径 $r$ の円で考えると、交点の座標は $(r\cos\theta, r\sin\theta)$ となり、$r$ が邪魔になります。半径を $1$ にすることで、座標がそのまま $\cos\theta$、$\sin\theta$ の値になるのです。これが「単位」円と呼ばれる理由です。
単位円上の角 $\theta$ に対応する点を $\mathrm{P}(x, y)$ とするとき、三角関数は次のように定義されます。
単位円上で、動径の角度が $\theta$ であるとき、交点 $\mathrm{P}(x, y)$ に対して
$$\cos\theta = x \quad\text{（$x$ 座標）}$$
$$\sin\theta = y \quad\text{（$y$ 座標）}$$
$$\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad\text{（$x \neq 0$）}$$
$\cos$ が $x$ 座標、$\sin$ が $y$ 座標であることを確実に覚えましょう。$\tan$ はその比です。
座標は $(x, y)$ の順番で書きます。$\cos\theta = x$、$\sin\theta = y$ なので、単位円上の点は $(\cos\theta, \sin\theta)$ と書きます。「$\cos$ が先、$\sin$ が後」の順番を間違えないようにしましょう。
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ですから、$\cos\theta = 0$ のとき $\tan\theta$ は定義されません。
$\cos\theta = 0$ となるのは $\theta = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$（$n$ は整数）、すなわち $\theta = 90° + 180° \times n$ のときです。
✗ 誤り：$\tan 90° = \infty$（値が存在するかのような記述）
✓ 正しい：$\tan 90°$ は定義されない
「値が存在しない」と「$\infty$」は厳密には異なります。高校数学の範囲では「定義されない」と答えましょう。
$\tan\theta$ には別の幾何学的な意味もあります。単位円上の点 $(1, 0)$ を通り $x$ 軸に垂直な直線（$x = 1$ の直線）と、動径の延長線の交点の $y$ 座標が $\tan\theta$ に等しくなります。この直線をタンジェント線（接線）と呼び、$\tan$（tangent）の語源になっています。
点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ は単位円 $x^2 + y^2 = 1$ 上にあるので、
$$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$$
が常に成り立ちます。これは三角関数の最も基本的な関係式です（次の節で詳しく扱います）。
単位円の定義から、$\cos\theta$ は $x$ 座標、$\sin\theta$ は $y$ 座標です。したがって、動径が位置する象限によって、各三角関数の符号が決まります。
| 第1象限 ($0° < \theta < 90°$) |
第2象限 ($90° < \theta < 180°$) |
第3象限 ($180° < \theta < 270°$) |
第4象限 ($270° < \theta < 360°$) |
|
|---|---|---|---|---|
| $\sin\theta$（$y$座標） | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ |
| $\cos\theta$（$x$座標） | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $\tan\theta$（$y/x$） | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ |
$\tan\theta$ は「$\sin$ と $\cos$ が同符号なら $+$、異符号なら $-$」と判断できます。
各象限でどの三角関数が正になるかを覚える語呂合わせがあります。
英語圏では "All Students Take Calculus"（ASTC）という覚え方が有名です。日本語では「全 + 正 + 短 + 余」や「あ・し・た・こ（明日来）」などの語呂合わせもあります。
覚え方を知っておくのは便利ですが、本質的には「$\cos$ は $x$ 座標、$\sin$ は $y$ 座標」さえ覚えていれば、符号はその場で判断できます。
第2象限なら $x < 0$、$y > 0$ → $\cos < 0$、$\sin > 0$、$\tan = y/x < 0$。この考え方のほうが確実です。
$\theta = 0°, 90°, 180°, 270°$ のように動径が軸上にある場合は、座標の一方が $0$ になるため、特別な扱いが必要です。例えば $\theta = 90°$ では $\mathrm{P}(0, 1)$ なので、$\cos 90° = 0$、$\sin 90° = 1$、$\tan 90°$ は定義されません。
まず $0°$ から $90°$ までの特殊角の値を確認しましょう。これらの値は、正方形や正三角形の辺の比から導かれます。
| $\theta$ | $0°$（$0$） | $30°$（$\frac{\pi}{6}$） | $45°$（$\frac{\pi}{4}$） | $60°$（$\frac{\pi}{3}$） | $90°$（$\frac{\pi}{2}$） |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos\theta$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan\theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | なし |
$90°$ 以上の特殊角：
| $\theta$ | $120°$（$\frac{2\pi}{3}$） | $135°$（$\frac{3\pi}{4}$） | $150°$（$\frac{5\pi}{6}$） | $180°$（$\pi$） | $270°$（$\frac{3\pi}{2}$） | $360°$（$2\pi$） |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $\cos\theta$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $\tan\theta$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $0$ | なし | $0$ |
$90°$ 以上の値は、第1象限の値に符号をつけたものです。符号は動径の位置する象限から判断します。
これらの値を丸暗記するのではなく、導出方法を理解しておくことが重要です。
1辺の長さが $1$ の正方形の対角線を考えます。対角線の長さは $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ です。
単位円上で $\theta = 45°$ のとき、動径は $y = x$（$x > 0$）の直線上にあります。
点 $\mathrm{P}(x, y)$ は $x = y > 0$ を満たし、かつ $x^2 + y^2 = 1$ 上にあるので、
$$x^2 + x^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
したがって、
$$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tan 45° = \frac{\sin 45°}{\cos 45°} = 1$$
1辺の長さが $2$ の正三角形を考えます。頂角から底辺に垂線を下ろすと、底辺は $1 : 1$ に二等分されます。
三平方の定理より、垂線の長さは $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ です。
これにより、直角三角形の3辺の比は $1 : \sqrt{3} : 2$（$30° : 60° : 90°$）と分かります。
$\theta = 60°$ の場合：単位円上の点 $\mathrm{P}$ は、$x$ 座標が $\dfrac{1}{2}$、$y$ 座標が $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ です。
$$\cos 60° = \frac{1}{2}, \quad \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 60° = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$$
$\theta = 30°$ の場合：$60°$ と $\sin$, $\cos$ が入れ替わります。
$$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \tan 30° = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
$\sin$ の値は $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ に対して
$$\frac{\sqrt{0}}{2},\; \frac{\sqrt{1}}{2},\; \frac{\sqrt{2}}{2},\; \frac{\sqrt{3}}{2},\; \frac{\sqrt{4}}{2}$$
と、ルートの中身が $0, 1, 2, 3, 4$ と増えていきます。$\cos$ は逆順（$4, 3, 2, 1, 0$）です。この規則性を知っておくと、忘れたときに復元できます。
数学Iで学んだ三角比は、直角三角形の辺の比として定義されていました。
$$\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$$
この定義では $\theta$ の範囲が $0° < \theta < 180°$ に限られていました（直角三角形から出発するので、本来は $0° < \theta < 90°$ ですが、$90° < \theta < 180°$ への拡張は座標を使って行いました）。
数学IIの三角関数では、単位円による定義に切り替えることで、次の拡張がなされています。
| 数学I：三角比 | 数学II：三角関数 | |
|---|---|---|
| 定義の基盤 | 直角三角形の辺の比 | 単位円上の点の座標 |
| $\theta$ の範囲 | $0° < \theta < 180°$ | すべての実数（一般角） |
| 角の単位 | 度数法（$°$） | 弧度法（ラジアン）も使用 |
| 「関数」としての意識 | 三角形の性質 | 角 $\theta$ から値への対応（関数） |
$0° < \theta < 90°$ の範囲では、単位円による定義と直角三角形による定義は完全に一致します。単位円上の点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ から $x$ 軸に下ろした垂線で直角三角形を作ると、斜辺 = 1（半径）、隣辺 = $\cos\theta$（$x$ 座標）、対辺 = $\sin\theta$（$y$ 座標）となり、三角比の定義と同じ値が得られます。
三角比の範囲（$0° < \theta < 180°$）では、回転運動や波動現象を記述できません。例えば、観覧車が一周するとき、位置を表すには $0°$ から $360°$ まで（さらに何周もする場合はそれ以上）の角度が必要です。
単位円による定義は、角度の制限を完全に取り払い、$\sin$, $\cos$, $\tan$ をすべての実数 $\theta$ に対して定義された関数として扱えるようにします。これにより、周期的な現象を数学的に記述する強力なツールになるのです。
三角「関数」と呼ぶ以上、これは実数 $\theta$ を入力すると実数値を出力する関数です。
次の節以降で、これらの関数のグラフや周期性について詳しく学びます。
大学数学では、複素指数関数を使って三角関数を定義します。オイラーの公式
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
は、指数関数と三角関数を結びつける美しい等式です。特に $\theta = \pi$ を代入すると
$$e^{i\pi} + 1 = 0$$
という、数学の基本定数 $e$, $i$, $\pi$, $1$, $0$ がすべて登場する驚くべき等式（オイラーの等式）が得られます。この公式により、三角関数の加法定理や微分公式が自然に導かれます。
Q1. 単位円上で $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$（$120°$）に対応する点の座標を求めよ。
Q2. $\theta = 225°$（$\dfrac{5\pi}{4}$）のとき、$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ の値をそれぞれ求めよ。
Q3. $\tan\theta$ が定義されない $\theta$ の値を、$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で全て求めよ。
Q4. $\sin\theta > 0$ かつ $\cos\theta < 0$ を満たす $\theta$ は第何象限の角か。
Q5. 数学Iの三角比では $\sin 240°$ は定義できるか。数学IIの三角関数ではどうか。$\sin 240°$ の値を求めよ。
次の値を求めよ。
(1) $\sin\dfrac{5\pi}{6}$
(2) $\cos\dfrac{4\pi}{3}$
(3) $\tan\dfrac{7\pi}{4}$
(4) $\sin(-60°)$
(1) $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$（第2象限）。$\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$
(2) $\dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3}$（第3象限）。$\cos\dfrac{4\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$
(3) $\dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4}$（第4象限）。$\tan\dfrac{7\pi}{4} = -\tan\dfrac{\pi}{4} = -1$
(4) $-60°$ は時計回りに $60°$ で第4象限。$\sin(-60°) = -\sin 60° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\theta$ は第3象限の角で、$\sin\theta = -\dfrac{3}{5}$ とする。
(1) $\cos\theta$ の値を求めよ。
(2) $\tan\theta$ の値を求めよ。
(1) $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より
$$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$
$\theta$ は第3象限なので $\cos\theta < 0$。よって $\cos\theta = -\dfrac{4}{5}$
(2) $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{-3/5}{-4/5} = \dfrac{3}{4}$
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ は単位円の方程式 $x^2 + y^2 = 1$ そのものです。$\cos^2\theta$ の値が求まったら、象限の情報から符号を決定します。第3象限では $\cos\theta < 0$ です。
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の等式を満たす $\theta$ の値をすべて求めよ。
(1) $\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
(2) $\tan\theta = -1$
(1) $\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす角を探す。
$\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\cos$ が $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $x$ 座標が負の象限（第2・第3象限）。
$$\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}, \quad \theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$$
(2) $\tan\theta = -1$ を満たす角を探す。
$\tan 45° = 1$ なので、$\tan$ が $-1$ となるのは $\sin$ と $\cos$ が異符号の象限（第2・第4象限）。
$$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}, \quad \theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$$
三角関数の方程式を解くときは、(i) まず対応する第1象限の角を見つけ、(ii) 次に符号条件からどの象限に解があるかを判断する、という手順で解きます。単位円の図を描くと視覚的にわかりやすくなります。
単位円上に点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ がある。$\theta$ が第2象限の角で $\tan\theta = -\dfrac{5}{12}$ であるとき、次の問いに答えよ。
(1) $\cos\theta$、$\sin\theta$ の値を求めよ。
(2) 原点 $\mathrm{O}$ から直線 $x = 1$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}(1, 0)$ とする。$\triangle\mathrm{OPH}$ の面積を求めよ。
(1) $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\dfrac{5}{12}$ より $\sin\theta = -\dfrac{5}{12}\cos\theta$
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に代入すると
$$\frac{25}{144}\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1$$
$$\frac{169}{144}\cos^2\theta = 1 \implies \cos^2\theta = \frac{144}{169}$$
$\theta$ は第2象限なので $\cos\theta < 0$。よって $\cos\theta = -\dfrac{12}{13}$
$\sin\theta = -\dfrac{5}{12} \times \left(-\dfrac{12}{13}\right) = \dfrac{5}{13}$
(2) $\mathrm{O}(0, 0)$、$\mathrm{P}\!\left(-\dfrac{12}{13}, \dfrac{5}{13}\right)$、$\mathrm{H}(1, 0)$
$\mathrm{OH}$ を底辺とすると $\mathrm{OH} = 1$。高さは点 $\mathrm{P}$ の $y$ 座標の絶対値 $\dfrac{5}{13}$。
$$\triangle\mathrm{OPH} = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{5}{13} = \frac{5}{26}$$
(1) は $\tan\theta$ の値と $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を連立する典型問題です。$\cos^2\theta$ の値が求まったら、象限の情報から符号を確定します。(2) では三角形の面積を座標で計算します。$\mathrm{O}$ と $\mathrm{H}$ が $x$ 軸上にあるので、底辺 $\mathrm{OH} = 1$、高さ $= |\sin\theta|$ とすれば簡潔に求まります。