「$\sin\theta$ の値がわかれば $\cos\theta$ も $\tan\theta$ も求まる」── これを可能にするのが三角関数の相互関係です。
3つの基本公式の意味を単位円から理解し、1つの三角関数の値から他の値を導く計算力を身につけましょう。
三角関数 $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ は独立した3つの関数ではなく、互いに密接に関連しています。その関係を表す3つの公式を三角関数の相互関係と呼びます。
$$\text{(I)} \quad \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$
$$\text{(II)} \quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad (\cos\theta \neq 0)$$
$$\text{(III)} \quad 1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} \quad (\cos\theta \neq 0)$$
公式 (I) はすべての $\theta$ で成立します。公式 (II)(III) は $\cos\theta \neq 0$、すなわち $\theta \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$（$n$ は整数）のときに成立します。
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ は、単位円上の点 $(\cos\theta, \sin\theta)$ がピタゴラスの定理を満たすということです。
単位円とは原点を中心とする半径1の円 $x^2 + y^2 = 1$ のことです。角 $\theta$ に対応する単位円上の点は $(\cos\theta, \sin\theta)$ なので、$x = \cos\theta$, $y = \sin\theta$ を代入すれば $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ が直ちに得られます。
3つの公式はすべてこの1つの事実から導かれます。
各公式の役割を整理しておきましょう。
単位円（原点中心、半径1の円）の方程式は $x^2 + y^2 = 1$ です。角 $\theta$ に対応する単位円上の点を $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ とすると、$\mathrm{P}$ は円上にあるので
$$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$$
が成り立ちます。これが公式 (I) です。
鋭角 $\theta$ の場合、直角三角形で考えることもできます。斜辺 $r$、対辺 $y$、隣辺 $x$ とすると、$\sin\theta = \frac{y}{r}$, $\cos\theta = \frac{x}{r}$ なので
$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = \frac{y^2}{r^2} + \frac{x^2}{r^2} = \frac{x^2 + y^2}{r^2} = \frac{r^2}{r^2} = 1$$
ピタゴラスの定理 $x^2 + y^2 = r^2$ を使いました。単位円は $r = 1$ の場合に相当します。
$\tan\theta$ の定義から直ちに得られます。単位円上の点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ に対して
$$\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad (\cos\theta \neq 0)$$
公式 (I) の両辺を $\cos^2\theta$ で割ります（$\cos\theta \neq 0$ のとき）。
$$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta}$$
公式 (II) より $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$ なので、
$$\tan^2\theta + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta}$$
すなわち
$$1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$$
が得られます。■
大学数学や海外の教科書では、三角関数の逆数にも名前がつけられています。
$$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$
これらを使うと、公式 (III) は $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ と簡潔に書けます。同様に、公式 (I) の両辺を $\sin^2\theta$ で割ると $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ が得られます。
高校の範囲では sec, csc, cot は必須ではありませんが、大学入試の一部や理系の進学先では頻出です。
まとめると、3つの公式は次のような導出関係にあります。
つまり、公式 (I) と (II) が基本であり、公式 (III) はそこから導かれるものです。
三角関数の相互関係を使えば、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ のうち1つの値と$\theta$ の範囲（象限）がわかれば、残りの2つの値が決定できます。
$\sin\theta$ の値から $\cos\theta$ を求めるとき、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ から $\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$ となりますが、$\pm$ の符号は $\theta$ の象限で決まります。符号を忘れると致命的なミスになります。
✗ 誤り：$\sin\theta = \frac{3}{5}$ のとき $\cos\theta = \frac{4}{5}$（符号の検討なし）
✓ 正しい：$\sin\theta = \frac{3}{5}$ のとき $\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ より $\cos\theta = \pm\frac{4}{5}$。$\theta$ の象限で符号を決定する
$\theta$ がどの象限の角であるかによって、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ の符号が決まります。
| 象限 | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
|---|---|---|---|
| 第1象限 | $+$ | $+$ | $+$ |
| 第2象限 | $+$ | $-$ | $-$ |
| 第3象限 | $-$ | $-$ | $+$ |
| 第4象限 | $-$ | $+$ | $-$ |
例題：$\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ で $\theta$ が第2象限の角のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。
解：公式 (I) より
$$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$
$\theta$ は第2象限の角なので $\cos\theta < 0$。よって
$$\cos\theta = -\frac{4}{5}$$
公式 (II) より
$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$$
例題：$\tan\theta = -2$ で $\theta$ が第4象限の角のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求めよ。
解：公式 (III) より
$$\frac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \tan^2\theta = 1 + 4 = 5$$
$$\cos^2\theta = \frac{1}{5}$$
$\theta$ は第4象限の角なので $\cos\theta > 0$。よって
$$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
公式 (II) より
$$\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = (-2) \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$
三角関数を含む式は、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いて $\sin\theta$ と $\cos\theta$ のみの式に統一できます。これは式の簡略化や恒等式の証明でよく使う手法です。
例題：$\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta}$ を $\sin\theta$ と $\cos\theta$ で表し、簡単にせよ。
解：
$$\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$$
逆に、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の式を $\tan\theta$ のみで表したい場合もあります。公式 (I) と (III) を組み合わせて使います。
公式 (III) より $\cos^2\theta = \dfrac{1}{1 + \tan^2\theta}$、公式 (I) より $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = \dfrac{\tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta}$ が得られます。
$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の対称式（$\sin\theta$ と $\cos\theta$ を入れ替えても変わらない式）は、基本対称式 $\sin\theta + \cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ で表せます。
基本対称式の関係
$s = \sin\theta + \cos\theta$, $p = \sin\theta\cos\theta$ とおくと
$$s^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2p$$
よって
$$p = \frac{s^2 - 1}{2}$$
この関係を使えば、$s$ の値から $p$ が求まり、さまざまな対称式の値が計算できます。
例：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$（公式 (I) そのもの）
$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) = s(1 - p)$
一方、$\sin\theta - \cos\theta$ のような交代式（入れ替えると符号が変わる式）も重要です。
$$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 - 2p$$
入試で頻出のパターンです。$\sin\theta + \cos\theta = k$ という条件が与えられたとき、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求めます。
前セクションで導いた関係
$$\sin\theta\cos\theta = \frac{k^2 - 1}{2}$$
を使えば、$\sin\theta + \cos\theta$ の値から直ちに $\sin\theta\cos\theta$ が求まります。
例題：$\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$ のとき、次の値を求めよ。
(1) $\sin\theta\cos\theta$ (2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$
解：
(1) $\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}$ の両辺を2乗して
$$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{4}$$
$$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$$
$$\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}$$
(2) 因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いて
$$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$$
$$= \frac{1}{2}\left(1 - \left(-\frac{3}{8}\right)\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8} = \frac{11}{16}$$
$\sin\theta + \cos\theta = s$, $\sin\theta\cos\theta = p$ がわかれば、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ は2次方程式
$$t^2 - st + p = 0$$
の2つの解です。解と係数の関係の逆を使っています。
例題：$\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$ のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求めよ（$0 \leq \theta < 2\pi$）。
解：(1) より $\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}$ なので、$\sin\theta$, $\cos\theta$ は
$$t^2 - \frac{1}{2}t - \frac{3}{8} = 0$$
の2解です。両辺を8倍して $8t^2 - 4t - 3 = 0$、すなわち $(2t + 1)(4t - 3) = 0$ より
$$t = -\frac{1}{2}, \quad \frac{3}{4}$$
$-1 \leq \sin\theta \leq 1$, $-1 \leq \cos\theta \leq 1$ の条件はどちらも満たすので、
$(\sin\theta, \cos\theta) = \left(-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{4}\right)$ または $\left(\dfrac{3}{4},\ -\dfrac{1}{2}\right)$
$\sin\theta + \cos\theta = k$ が実現可能であるための $k$ の範囲も重要です。三角関数の合成により
$$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$$
なので、$-\sqrt{2} \leq k \leq \sqrt{2}$ が必要条件です。
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ という関係は、$\sin\theta + \cos\theta = k$ を2乗するだけで $\sin\theta\cos\theta$ が求まるという強力なツールを提供します。和と積がわかれば解と係数の関係で個々の値まで決定できるのです。
この「和を2乗して $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を使う」パターンは入試で繰り返し出題される定番手法です。
Q1. $\sin\theta = \dfrac{5}{13}$ で $\theta$ が第1象限の角のとき、$\cos\theta$ の値を求めよ。
Q2. $\cos\theta = -\dfrac{3}{5}$ で $\theta$ が第3象限の角のとき、$\tan\theta$ の値を求めよ。
Q3. $\tan\theta = 3$ のとき、$\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ の値を求めよ。
Q4. $\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = 3$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求めよ。
Q5. $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求めよ。
$\sin\theta = \dfrac{4}{5}$ で $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$ のとき、次の値を求めよ。
(1) $\cos\theta$
(2) $\tan\theta$
(3) $\sin^2\theta - \cos^2\theta$
(1) $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}$
$\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$（第2象限）なので $\cos\theta < 0$。よって $\cos\theta = -\dfrac{3}{5}$
(2) $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\dfrac{4}{3}$
(3) $\sin^2\theta - \cos^2\theta = \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}$
$\tan\theta = -\sqrt{3}$ で $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$ のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値をそれぞれ求めよ。
公式 (III) より $\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \tan^2\theta = 1 + 3 = 4$
$\cos^2\theta = \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$（第2象限）なので $\cos\theta < 0$。よって $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$
$\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = (-\sqrt{3}) \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan\theta$ から出発する場合は、公式 (III) $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ で $\cos\theta$ を求め、次に $\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta$ で $\sin\theta$ を求めるのが定石です。$\theta = \frac{2}{3}\pi$ であることも確認できます。
次の等式を証明せよ。
$$\frac{1}{1 + \sin\theta} + \frac{1}{1 - \sin\theta} = \frac{2}{\cos^2\theta}$$
（左辺）$= \dfrac{(1 - \sin\theta) + (1 + \sin\theta)}{(1 + \sin\theta)(1 - \sin\theta)}$
$= \dfrac{2}{1 - \sin^2\theta}$
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$ なので
$= \dfrac{2}{\cos^2\theta}$ =（右辺）
よって等式は成り立つ。■
分母を通分して整理すると、$1 - \sin^2\theta$ が現れます。ここで公式 (I) を $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ の形で使うのがポイントです。三角関数の等式の証明では、一方の辺を変形して他方に一致させるのが基本方針です。
$\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{3}$（$0 < \theta < \pi$）のとき、次の値を求めよ。
(1) $\sin\theta\cos\theta$
(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$
(3) $\sin\theta - \cos\theta$
(1) $\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{3}$ の両辺を2乗して
$$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{9}$$
$$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9}$$
$$\sin\theta\cos\theta = -\frac{4}{9}$$
(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$
$= \dfrac{1}{3}\left(1 - \left(-\dfrac{4}{9}\right)\right) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{13}{9} = \dfrac{13}{27}$
(3) $(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\left(-\dfrac{4}{9}\right) = 1 + \dfrac{8}{9} = \dfrac{17}{9}$
$0 < \theta < \pi$ で $\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{3} > 0$, $\sin\theta\cos\theta = -\frac{4}{9} < 0$ より、$\sin\theta > 0$ かつ $\cos\theta < 0$（$\theta$ は第2象限の角）。よって $\sin\theta - \cos\theta > 0$ なので
$$\sin\theta - \cos\theta = \frac{\sqrt{17}}{3}$$
(1) は「和の2乗から積を求める」定石パターンです。(2) では3乗の和の因数分解を用います。(3) は $(\sin\theta - \cos\theta)^2$ を計算した後、符号の決定が重要です。$\sin\theta\cos\theta < 0$ であること（一方が正、他方が負）と、$0 < \theta < \pi$ での $\sin\theta > 0$ から $\cos\theta < 0$ を導き、$\sin\theta - \cos\theta > 0$ と判断します。