円は「ある点から等距離にある点の集まり」です。
この幾何学的な定義を方程式に翻訳すれば、円の方程式が自然に得られます。
平面上で、ある定点 $\mathrm{C}$ からの距離が一定値 $r$（$r > 0$）である点 $\mathrm{P}$ の集まりを円（circle）といいます。点 $\mathrm{C}$ を中心、$r$ を半径と呼びます。
「中心 $\mathrm{C}(a, b)$ からの距離が $r$」という条件を、座標を使って式にすると
$$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r$$
両辺を2乗すれば円の方程式が得られます。円の方程式は「距離＝一定」の翻訳にすぎません。
上の条件を2乗すると、中心 $(a, b)$、半径 $r$ の円の方程式が得られます。
中心 $(a, b)$、半径 $r$ の円の方程式：
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
特に、原点を中心とする半径 $r$ の円は $x^2 + y^2 = r^2$ です。
標準形を見れば、中心と半径が一目でわかります。
| 方程式 | 中心 | 半径 |
|---|---|---|
| $x^2 + y^2 = 9$ | $(0, 0)$ | $3$ |
| $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$ | $(1, 2)$ | $2$ |
| $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$ | $(-3, 1)$ | $\sqrt{5}$ |
$(x + 3)^2$ は $(x - (-3))^2$ と読みます。中心の $x$ 座標は $+3$ ではなく $-3$ です。
✗ 誤り：$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$ の中心は $(3, 1)$
✓ 正しい：$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$ の中心は $(-3, 1)$
また、右辺は $r^2$ であり $r$ ではありません。$r^2 = 5$ なら $r = \sqrt{5}$ です。
標準形 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ を展開してみましょう。
$$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$
$$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$
ここで $l = -2a$、$m = -2b$、$n = a^2 + b^2 - r^2$ とおくと、次の形になります。
$$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$$
ここで中心は $\left(-\dfrac{l}{2}, -\dfrac{m}{2}\right)$、半径は $r = \sqrt{\dfrac{l^2}{4} + \dfrac{m^2}{4} - n}$ です。
この方程式が円を表すためには $\dfrac{l^2}{4} + \dfrac{m^2}{4} - n > 0$ が必要です。
一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ の特徴は次の2点です：
① $x^2$ と $y^2$ の係数が等しい：どちらも $1$（係数が同じ）。もし異なれば楕円や双曲線になります。
② $xy$ の項がない：$xy$ の項があると、軸が傾いた曲線になります。
「$x^2$ と $y^2$ の係数が同じで、$xy$ の項がない2次方程式」が円の条件です。
$r^2 = \dfrac{l^2}{4} + \dfrac{m^2}{4} - n$ が正でなければ円になりません。
$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ が与えられたとき、必ず「円を表すか」を確認しましょう。$r^2$ の値が0以下なら、この式は図形としての円を表しません。
例：$x^2 + y^2 + 2x + 4y + 6 = 0$ → $r^2 = 1 + 4 - 6 = -1 < 0$ → 実数の点を表さない
一般形を標準形に直すには、$x$ と $y$ それぞれについて平方完成します。
例：$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$ を標準形に変換する。
$$\underbrace{(x^2 - 6x)}_{x\text{の部分}} + \underbrace{(y^2 + 4y)}_{y\text{の部分}} + 9 = 0$$
$$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 9 = 0$$
$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 4$$
中心 $(3, -2)$、半径 $2$ の円です。
Step 1：$x$ の項をまとめる：$x^2 + lx = \left(x + \dfrac{l}{2}\right)^2 - \dfrac{l^2}{4}$
Step 2：$y$ の項をまとめる：$y^2 + my = \left(y + \dfrac{m}{2}\right)^2 - \dfrac{m^2}{4}$
Step 3：代入して整理すると
$$\left(x + \frac{l}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{m}{2}\right)^2 = \frac{l^2}{4} + \frac{m^2}{4} - n$$
標準形を展開するだけです。
例：$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 16$
$$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = 16$$
$$x^2 + y^2 - 2x + 6y - 6 = 0$$
$2x^2 + 2y^2 + 4x - 6y + 1 = 0$ のように $x^2, y^2$ の係数が1でない場合、まず両辺をその係数で割って $x^2 + y^2 + 2x - 3y + \frac{1}{2} = 0$ に変換してから平方完成します。
大切なのは、$x^2$ と $y^2$ の係数が等しいことです。もし異なれば（例えば $2x^2 + 3y^2$）、その方程式は楕円を表し、円にはなりません。
円の方程式には3つの未知数（中心の $x$ 座標、$y$ 座標、半径）があるので、円を1つに決定するには3つの条件が必要です。
標準形 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ に直接代入すれば完了です。
例：中心 $(2, -1)$、半径 $3$ の円 → $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$
中心がわかれば、通る点との距離が半径になります。
例：中心 $(1, 2)$ で点 $(4, 6)$ を通る円
$$r = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$
$$\therefore \quad (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$$
3点が与えられた場合、一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ を使います。3点の座標を代入して $l, m, n$ の連立方程式を解きます。
3点 $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$、$(x_3, y_3)$ を一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ に代入し、$l, m, n$ の3元1次連立方程式を解く。
3点が同一直線上にある場合、円は存在しません（連立方程式が解なしになります）。
例：3点 $(0, 0)$、$(4, 0)$、$(0, 2)$ を通る円を求めよ。
一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ に各点を代入すると：
$$x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$$
中心 $(2, 1)$、半径 $\sqrt{5}$ の円です。
円が原点 $(0, 0)$ を通る場合、一般形で $n = 0$ となるため、方程式は $x^2 + y^2 + lx + my = 0$ と簡単になります。原点を通る円では、計算が楽になることを覚えておきましょう。
中心 $(a, b)$、半径 $r$ の円について：
「円が直線に接する」とは、中心から直線までの距離が半径に等しいことです。これは点と直線の距離の公式を使えば、どんな直線に対しても適用できます。
座標軸への接線条件は、その特殊ケースにすぎません。
円と座標軸の共有点（交点）は、方程式に $y = 0$（$x$ 軸）や $x = 0$（$y$ 軸）を代入して求めます。
例：$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9$ と $x$ 軸の交点
$y = 0$ を代入：$(x - 3)^2 + 4 = 9$、$(x - 3)^2 = 5$、$x = 3 \pm \sqrt{5}$
交点は $(3 - \sqrt{5}, 0)$ と $(3 + \sqrt{5}, 0)$。
上の例で $x$ 軸から切り取る弦の長さは
$$(3 + \sqrt{5}) - (3 - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$$
一般に、中心 $(a, b)$、半径 $r$ の円が $x$ 軸から切り取る弦の長さは $2\sqrt{r^2 - b^2}$（$|b| < r$ のとき）です。
$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$ の形の2次方程式は、$a, b, c$ の値に応じて様々な曲線（円、楕円、双曲線、放物線）を表します。円は $a = c$、$b = 0$ の特殊ケースです。
大学数学では、行列 $\begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix}$ の固有値を調べることで曲線の種類を分類します。
$y = 0$ を代入して得られる $x$ の方程式の判別式から、交点の個数が決まります。
$r^2 - b^2 > 0$：2点で交わる | $r^2 - b^2 = 0$：接する（1点） | $r^2 - b^2 < 0$：交わらない
$|b|$ と $r$ の大小関係で判定できます。
Q1. 中心 $(3, -1)$、半径 $4$ の円の方程式を標準形で書け。
Q2. $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$ の中心と半径を求めよ。
Q3. 中心 $(1, 4)$ で原点を通る円の方程式を求めよ。
Q4. $x^2 + y^2 + 2x - 8y + k = 0$ が円を表すための $k$ の条件を求めよ。
Q5. 中心が $(2, 3)$ で $x$ 軸に接する円の方程式を求めよ。
次の円の中心と半径を求めよ。
(1) $x^2 + y^2 + 10x - 2y + 17 = 0$
(2) $2x^2 + 2y^2 - 8x + 12y - 6 = 0$
(1) $(x + 5)^2 + (y - 1)^2 = 25 + 1 - 17 = 9$ より中心 $(-5, 1)$、半径 $3$
(2) まず両辺を2で割る：$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4 + 9 + 3 = 16$ より中心 $(2, -3)$、半径 $4$
3点 $\mathrm{A}(1, 1)$、$\mathrm{B}(5, 1)$、$\mathrm{C}(3, 5)$ を通る円の方程式を求めよ。
一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ に3点を代入する。
$\mathrm{A}$：$1 + 1 + l + m + n = 0$ → $l + m + n = -2$ …①
$\mathrm{B}$：$25 + 1 + 5l + m + n = 0$ → $5l + m + n = -26$ …②
$\mathrm{C}$：$9 + 25 + 3l + 5m + n = 0$ → $3l + 5m + n = -34$ …③
②−①：$4l = -24$ → $l = -6$
③−①：$2l + 4m = -32$ → $-12 + 4m = -32$ → $m = -5$
①に代入：$-6 - 5 + n = -2$ → $n = 9$
$$x^2 + y^2 - 6x - 5y + 9 = 0$$
$$\left(x - 3\right)^2 + \left(y - \frac{5}{2}\right)^2 = 9 + \frac{25}{4} - 9 = \frac{25}{4}$$
中心 $\left(3, \dfrac{5}{2}\right)$、半径 $\dfrac{5}{2}$
中心が直線 $y = 2x - 1$ 上にあり、両座標軸に接する円の方程式をすべて求めよ。
両座標軸に接する円の中心を $(a, b)$、半径を $r$ とすると $|a| = |b| = r$。
場合1：$a = b$ のとき。中心 $(a, a)$ が $y = 2x - 1$ 上にあるので $a = 2a - 1$、$a = 1$。半径 $r = 1$。
$$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$$
場合2：$a = -b$ のとき。中心 $(a, -a)$ が $y = 2x - 1$ 上にあるので $-a = 2a - 1$、$3a = 1$、$a = \frac{1}{3}$。半径 $r = \frac{1}{3}$。
$$\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + \left(y + \frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$
確認：中心 $\left(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right)$ は第4象限にあるので、$x$ 軸と $y$ 軸の正の部分に接する。$|a| = |b| = \frac{1}{3} = r$ ✓
両軸に接する円は中心が $y = x$ 上または $y = -x$ 上にあります。これと $y = 2x - 1$ の交点を求めれば中心が決まります。
$k$ を実数の定数とする。方程式 $x^2 + y^2 + 2kx - 4ky + 6k^2 - 4k + 3 = 0$ について。
(1) この方程式が円を表すような $k$ の範囲を求めよ。
(2) (1) の範囲において、円の中心の軌跡を求めよ。
(3) (1) の範囲において、円の半径 $r$ の最大値とそのときの $k$ の値を求めよ。
(1) 平方完成する。
$(x + k)^2 - k^2 + (y - 2k)^2 - 4k^2 + 6k^2 - 4k + 3 = 0$
$(x + k)^2 + (y - 2k)^2 = k^2 + 4k^2 - 6k^2 + 4k - 3 = -k^2 + 4k - 3$
円を表す条件：$-k^2 + 4k - 3 > 0$、すなわち $k^2 - 4k + 3 < 0$
$(k - 1)(k - 3) < 0$ より $1 < k < 3$
(2) 中心は $(-k, 2k)$。$x = -k, y = 2k$ より $k = -x$ を $y = 2k$ に代入すると $y = -2x$。
$1 < k < 3$ より $-3 < x < -1$。
よって中心の軌跡は直線 $y = -2x$ の $-3 < x < -1$ の部分。
(3) $r^2 = -k^2 + 4k - 3 = -(k - 2)^2 + 1$
$k = 2$ のとき $r^2$ は最大値 $1$ をとる。$r = 1$。
$1 < 2 < 3$ より条件を満たす。