「2つの円の交点を通る円や直線の方程式は？」── この問いに答える鍵が $C_1 + kC_2 = 0$ という形の方程式です。
パラメータ $k$ の値によって円にも直線にもなるこの式の仕組みを、根軸（radical axis）の概念とともに理解しましょう。
2つの円が2点で交わるとき、その2つの交点を通る円は無数に存在します。それらの円を1つのパラメータで表す方法を学びましょう。
2つの円の方程式を次のように置きます。
$$C_1 : x^2 + y^2 + l_1 x + m_1 y + n_1 = 0$$
$$C_2 : x^2 + y^2 + l_2 x + m_2 y + n_2 = 0$$
この2つの円が異なる2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ で交わっているとします。つまり、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ の座標は $C_1 = 0$ と $C_2 = 0$ の両方を満たします。
$k$ を実数の定数として、次の方程式を考えます。
$$C_1 + kC_2 = 0$$
すなわち、
$$(x^2 + y^2 + l_1 x + m_1 y + n_1) + k(x^2 + y^2 + l_2 x + m_2 y + n_2) = 0$$
交点 $\mathrm{A}$ の座標を $(x_0, y_0)$ とすると、$\mathrm{A}$ は両方の円上にあるので、
$$C_1(x_0, y_0) = 0, \quad C_2(x_0, y_0) = 0$$
が成り立ちます。したがって、任意の $k$ に対して、
$$C_1(x_0, y_0) + k \cdot C_2(x_0, y_0) = 0 + k \cdot 0 = 0$$
が成り立ちます。交点 $\mathrm{B}$ についても全く同様です。
よって、$C_1 + kC_2 = 0$ が表す図形は、$k$ の値に関係なく必ず2つの交点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ を通ります。 ■
$C_1 + kC_2 = 0$ を展開すると、
$$(1 + k)(x^2 + y^2) + (l_1 + kl_2)x + (m_1 + km_2)y + (n_1 + kn_2) = 0$$
$k \neq -1$ のとき、$x^2 + y^2$ の係数 $(1 + k) \neq 0$ なので、両辺を $(1 + k)$ で割ると $x^2 + y^2 + \cdots = 0$ の形になり、円の方程式を表します。
$k$ の値を変えると、2つの交点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ を通るさまざまな円が得られます。このような円の集まりを円束（えんそく）と呼びます。
2つの円 $C_1 = 0$ と $C_2 = 0$ が2点で交わるとき、それらの交点を通る円は、
$$C_1 + kC_2 = 0 \quad (k \neq -1)$$
と表される。ただし、この式だけでは $C_2$ 自身を表すことはできない。
2つの交点を通る円全体を表すには、$C_1 + kC_2 = 0$（$k \neq -1$）に加えて $C_2 = 0$ 自身も含めて考える必要があります。
$C_1 + kC_2 = 0$ の本質は、「2つの方程式を同時に満たす点（交点）を通る図形を、1つのパラメータ $k$ で生成する」ことにあります。
この考え方は円に限らず、2つの曲線の交点を通る曲線族を作る一般的な手法（束の考え方）の基本です。後に学ぶ根軸は、この束の中で特に $k = -1$ に対応する特別な直線です。根軸上の点は、2つの円に対するべき（power）が等しいという性質を持ちます。
$C_1 + kC_2 = 0$ において $k = -1$ とすると、
$$C_1 - C_2 = 0$$
すなわち、
$$(x^2 + y^2 + l_1 x + m_1 y + n_1) - (x^2 + y^2 + l_2 x + m_2 y + n_2) = 0$$
$x^2 + y^2$ の項が打ち消し合い、
$$(l_1 - l_2)x + (m_1 - m_2)y + (n_1 - n_2) = 0$$
これは $x$、$y$ の1次方程式、すなわち直線の方程式です。
この直線 $C_1 - C_2 = 0$ を、2つの円 $C_1$ と $C_2$ の根軸（こんじく、radical axis）と呼びます。
2つの円が2点で交わる場合、根軸は2つの交点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ を通る直線、すなわち共通弦を含む直線に一致します。
2つの円 $C_1 : x^2 + y^2 + l_1 x + m_1 y + n_1 = 0$ と $C_2 : x^2 + y^2 + l_2 x + m_2 y + n_2 = 0$ の根軸は、
$$C_1 - C_2 = 0$$
すなわち、
$$(l_1 - l_2)x + (m_1 - m_2)y + (n_1 - n_2) = 0$$
2つの円が交わる場合は共通弦を含む直線です。外接・離れている場合にも根軸は定義できます（セクション4参照）。
$C_1 + kC_2 = 0$ において $k = -1$ のとき、$x^2 + y^2$ の項が消えるため、この式は円ではなく直線を表します。
誤り：「$C_1 + kC_2 = 0$ は任意の $k$ で円を表す」
正しい：「$k \neq -1$ のとき円、$k = -1$ のとき直線を表す」
問題で「2つの交点を通る円」を求めるときは、$k \neq -1$ の条件を忘れないようにしましょう。逆に「2つの交点を通る直線」を求めるときは $k = -1$（すなわち $C_1 - C_2 = 0$）を使います。
例題：2つの円 $C_1 : x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0$ と $C_2 : x^2 + y^2 - 2x - 4y - 6 = 0$ の共通弦の方程式を求めよ。
解：$C_1 - C_2 = 0$ を計算します。
$$(-4 - (-2))x + (-2 - (-4))y + (-4 - (-6)) = 0$$
$$-2x + 2y + 2 = 0$$
$$x - y - 1 = 0$$
よって、共通弦を含む直線は $x - y - 1 = 0$ です。
$C_1 + kC_2 = 0$（$k \neq -1$）はパラメータ $k$ を含むので、追加条件を1つ与えることで $k$ の値を定め、円を1つに特定できます。
例題：2つの円 $C_1 : x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$ と $C_2 : x^2 + y^2 + 4x + 2y + 1 = 0$ の交点と、点 $(1, 2)$ を通る円の方程式を求めよ。
解：求める円は $C_1 + kC_2 = 0$ の形で表される（$k \neq -1$）。
$$(x^2 + y^2 - 2x - 3) + k(x^2 + y^2 + 4x + 2y + 1) = 0$$
点 $(1, 2)$ を代入します。
$$(1 + 4 - 2 - 3) + k(1 + 4 + 4 + 4 + 1) = 0$$
$$0 + 14k = 0$$
$$k = 0$$
$k = 0 \neq -1$ なので条件を満たします。$k = 0$ を代入すると $C_1 = 0$ そのものになります。
つまり、点 $(1, 2)$ は実は $C_1$ 上の点であったことがわかります。
$C_1 + kC_2 = 0$ を $(1 + k)$ で割って標準形に直し、半径の条件から $k$ を決めます。
円の中心から直線までの距離 $=$ 半径、という条件を立てて $k$ を求めます。
$C_1 + kC_2 = 0$ の $x^2 + y^2$ の係数は $(1 + k)$ です。$k = -1$ のとき、この係数がゼロになり、方程式は直線を表します。
問題で「交点を通る円」を求める場合は、最終的に得られた $k$ の値が $k \neq -1$ であることを必ず確認しましょう。
もし追加条件から $k = -1$ しか出ない場合、求める図形は円ではなく直線であり、条件を満たす円は $C_1 + kC_2 = 0$ の形では表せない可能性があります。
$C_1 + kC_2 = 0$ の形では $C_2$ 自身を表すことができません。$k \to \infty$ のとき $C_2$ に近づきますが、$k$ が有限の値では表せないのです。
そこで、交点を通る円全体を表したいときは、$C_1 + kC_2 = 0$（$k \neq -1$）と $C_2 = 0$ を合わせて考えます。あるいは、最初から $k_1 C_1 + k_2 C_2 = 0$（$k_1 + k_2 \neq 0$）の形で設定する方法もあります。
連立方程式を解いて交点の座標を具体的に求め、それを用いて円の方程式を立てる方法もあります。ただし、交点の座標が複雑になる場合は、$C_1 + kC_2 = 0$ を利用した方が計算が簡潔です。
$C_1 + kC_2 = 0$ の最大の利点は、交点の座標を具体的に求めなくても交点を通る図形を扱えることです。
交点の座標に無理数が含まれる場合でも、$k$ の値を定めるだけで方程式が求まります。これは、連立方程式を解いて交点を求めてから使う方法に比べて、はるかに効率的です。
円 $C : x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ に対する点 $\mathrm{P}(a, b)$ のべき（power）とは、
$$\text{pow}_{C}(\mathrm{P}) = a^2 + b^2 + la + mb + n$$
で定義される値です。点 $\mathrm{P}$ が円の外部にあるとき正、円上にあるとき $0$、円の内部にあるとき負になります。
円の中心を $\mathrm{O}$、半径を $r$ とすると、$\text{pow}_{C}(\mathrm{P}) = \mathrm{OP}^2 - r^2$ と表せます。
根軸 $C_1 - C_2 = 0$ 上の点 $\mathrm{P}(a, b)$ について、
$$C_1(a, b) - C_2(a, b) = 0 \iff C_1(a, b) = C_2(a, b)$$
すなわち、$\text{pow}_{C_1}(\mathrm{P}) = \text{pow}_{C_2}(\mathrm{P})$ が成り立ちます。
2つの円 $C_1$、$C_2$ の根軸は、2つの円に対するべきが等しい点の軌跡である。
$$\text{根軸} = \{\, \mathrm{P} \mid \text{pow}_{C_1}(\mathrm{P}) = \text{pow}_{C_2}(\mathrm{P}) \,\}$$
この定義は、2つの円が交わる場合だけでなく、外接する場合や離れている場合にも有効です。
2つの円の中心をそれぞれ $\mathrm{O}_1$、$\mathrm{O}_2$ とすると、根軸は直線 $\mathrm{O}_1 \mathrm{O}_2$（中心線）に垂直です。
$C_1$ の中心を $\mathrm{O}_1\!\left(-\dfrac{l_1}{2}, -\dfrac{m_1}{2}\right)$、$C_2$ の中心を $\mathrm{O}_2\!\left(-\dfrac{l_2}{2}, -\dfrac{m_2}{2}\right)$ とします。
中心線 $\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2$ の方向ベクトルは、
$$\vec{d} = \left(-\frac{l_2}{2} + \frac{l_1}{2},\; -\frac{m_2}{2} + \frac{m_1}{2}\right) = \left(\frac{l_1 - l_2}{2},\; \frac{m_1 - m_2}{2}\right)$$
根軸 $(l_1 - l_2)x + (m_1 - m_2)y + (n_1 - n_2) = 0$ の法線ベクトルは $(l_1 - l_2,\; m_1 - m_2)$ です。
$\vec{d}$ と法線ベクトルは平行なので、根軸と中心線は垂直です。 ■
点 $\mathrm{P}$ が円の外部にあるとき、$\mathrm{P}$ から円に引いた接線の長さ $t$ について、
$$t^2 = \text{pow}_{C}(\mathrm{P}) = \mathrm{OP}^2 - r^2$$
が成り立ちます。したがって、根軸上の点 $\mathrm{P}$ から2つの円に引いた接線の長さは等しくなります。
根軸の概念は、高校数学の「図形と方程式」だけでなく、大学入試の上位レベルや数学オリンピックの幾何分野でも頻出です。
特に反転幾何（inversive geometry）では、根軸は2つの円を同時に自分自身に移す反転の中心の軌跡と関連します。また、射影幾何では円束（pencil of circles）の理論として体系化されています。
根軸の考え方を応用すると、複雑な円の配置に関する証明問題がエレガントに解けることがあります。
3つの円 $C_1$、$C_2$、$C_3$ を考えます。2つずつの組について根軸を作ると、3本の根軸が得られます。
これら3本の根軸は、3つの円の中心が一直線上にない限り、必ず1点で交わります。
$\ell_{12}$ と $\ell_{23}$ の交点を $\mathrm{P}$ とします。
$\mathrm{P}$ は $\ell_{12}$ 上にあるので、$\text{pow}_{C_1}(\mathrm{P}) = \text{pow}_{C_2}(\mathrm{P})$ ……(i)
$\mathrm{P}$ は $\ell_{23}$ 上にあるので、$\text{pow}_{C_2}(\mathrm{P}) = \text{pow}_{C_3}(\mathrm{P})$ ……(ii)
(i) と (ii) より、$\text{pow}_{C_1}(\mathrm{P}) = \text{pow}_{C_3}(\mathrm{P})$
これは $\mathrm{P}$ が $\ell_{31}$ 上にもあることを意味します。
よって、3本の根軸は点 $\mathrm{P}$ で交わります。 ■
この交点 $\mathrm{P}$ を、3つの円の根心（こんしん、radical center）と呼びます。
3つの円 $C_1$、$C_2$、$C_3$ の中心が一直線上にないとき、3組の根軸は1点で交わる。この点を根心という。
根心は、3つの円すべてに対するべきが等しい唯一の点である。
$$\text{pow}_{C_1}(\mathrm{P}) = \text{pow}_{C_2}(\mathrm{P}) = \text{pow}_{C_3}(\mathrm{P})$$
根心を求めるには、3本の根軸のうち2本の連立方程式を解けばよいです。
例題：3つの円
$$C_1 : x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$$
$$C_2 : x^2 + y^2 - 2x + 4y - 3 = 0$$
$$C_3 : x^2 + y^2 + 6x - 2y - 5 = 0$$
の根心を求めよ。
解：根軸 $\ell_{12}$（$C_1 - C_2 = 0$）：
$$(-4 + 2)x + (-2 - 4)y + (1 + 3) = 0 \implies -2x - 6y + 4 = 0 \implies x + 3y - 2 = 0$$
根軸 $\ell_{23}$（$C_2 - C_3 = 0$）：
$$(-2 - 6)x + (4 + 2)y + (-3 + 5) = 0 \implies -8x + 6y + 2 = 0 \implies 4x - 3y - 1 = 0$$
連立方程式 $x + 3y - 2 = 0$、$4x - 3y - 1 = 0$ を解くと、
$$5x = 3 \implies x = \frac{3}{5}, \quad y = \frac{2 - x}{3} = \frac{2 - \frac{3}{5}}{3} = \frac{\frac{7}{5}}{3} = \frac{7}{15}$$
よって、根心は $\left(\dfrac{3}{5},\; \dfrac{7}{15}\right)$ です。
根心が3つの円の外部にあるとき、根心から3つの円に引いた接線の長さはすべて等しくなります。この性質を用いると、例えば「3つの円すべてに接する円」の中心が根心と一致する場合があります。
Q1. 2つの円 $C_1 : x^2 + y^2 - 6x + 2y + 5 = 0$ と $C_2 : x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$ の共通弦（根軸）の方程式を求めよ。
Q2. $C_1 + kC_2 = 0$ の形が円を表すための $k$ の条件を答えよ。
Q3. 円 $C : x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ に対する点 $(1, -1)$ のべきを求めよ。
Q4. 根軸は2つの円の中心を結ぶ直線（中心線）に対してどのような位置関係にあるか。
Q5. 3つの円の根心とは何か。簡潔に説明せよ。
2つの円 $C_1 : x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ と $C_2 : x^2 + y^2 + 2x - 6y + 6 = 0$ について、次の問いに答えよ。
(1) 2つの円の共通弦の方程式を求めよ。
(2) 2つの円の交点と原点を通る円の方程式を求めよ。
(1) $C_1 - C_2 = 0$ より、
$$(-4 - 2)x + (2 + 6)y + (-4 - 6) = 0$$
$$-6x + 8y - 10 = 0 \implies 3x - 4y + 5 = 0$$
(2) $C_1 + kC_2 = 0$ に $(0, 0)$ を代入すると、
$$(-4) + k \cdot 6 = 0 \implies k = \frac{2}{3}$$
$k = \dfrac{2}{3} \neq -1$ なので条件を満たす。$C_1 + \dfrac{2}{3}C_2 = 0$ の両辺を $\dfrac{5}{3}$ で割って整理すると、
$$x^2 + y^2 - \frac{8}{5}x - \frac{6}{5}y = 0$$
(1) は $C_1 - C_2 = 0$ を計算するだけの基本問題です。(2) は $C_1 + kC_2 = 0$ に通過点を代入して $k$ を決定します。原点 $(0, 0)$ を代入するので計算が簡潔になります。
2つの円 $C_1 : x^2 + y^2 = 9$ と $C_2 : x^2 + y^2 - 6x - 2y + 1 = 0$ の交点を通り、中心が $x$ 軸上にある円の方程式を求めよ。
$C_1 + kC_2 = 0$（$k \neq -1$）とおく。$C_1 = x^2 + y^2 - 9$、$C_2 = x^2 + y^2 - 6x - 2y + 1$ より、
$$(x^2 + y^2 - 9) + k(x^2 + y^2 - 6x - 2y + 1) = 0$$
$$(1+k)(x^2 + y^2) - 6kx - 2ky + (-9 + k) = 0$$
$(1+k)$ で割ると、
$$x^2 + y^2 - \frac{6k}{1+k}x - \frac{2k}{1+k}y + \frac{-9+k}{1+k} = 0$$
中心は $\left(\dfrac{3k}{1+k},\; \dfrac{k}{1+k}\right)$。中心が $x$ 軸上にあるので $y$ 座標 $= 0$。
$$\frac{k}{1+k} = 0 \implies k = 0$$
$k = 0 \neq -1$ なので条件を満たす。$k = 0$ のとき $C_1 = 0$、すなわち $x^2 + y^2 = 9$。
よって、求める円は $x^2 + y^2 = 9$（$C_1$ 自身）。
中心の $y$ 座標が $0$ という条件から $k$ を決定します。結果として $C_1$ 自身が答えになるのは、$C_1$ の中心 $(0, 0)$ が $x$ 軸上にあるためです。$C_2$ の中心 $(3, 1)$ は $x$ 軸上にないので、$C_1$ が唯一の解です。
2つの円 $C_1 : x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$ と $C_2 : x^2 + y^2 + 4x + 2y - 11 = 0$ の交点を $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ とする。
(1) 直線 $\mathrm{AB}$ の方程式を求めよ。
(2) 線分 $\mathrm{AB}$ の長さを求めよ。
(1) $C_1 - C_2 = 0$ より、
$$(-2 - 4)x + (-4 - 2)y + (1 + 11) = 0$$
$$-6x - 6y + 12 = 0 \implies x + y - 2 = 0$$
(2) $C_1$ の中心は $(1, 2)$、半径は $\sqrt{1 + 4 - 1} = 2$。
中心 $(1, 2)$ から直線 $x + y - 2 = 0$ への距離は、
$$d = \frac{|1 + 2 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
円 $C_1$ と直線の交点間の距離（弦の長さ）は、
$$\mathrm{AB} = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - \frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{14}$$
(1) は根軸の計算です。(2) では、交点の座標を具体的に求めず、中心から根軸への距離と半径の関係を使って弦の長さを求めています。中心から弦への距離 $d$ と半径 $r$ から弦の半分の長さが $\sqrt{r^2 - d^2}$ になることを利用します。
3つの円
$$C_1 : x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$$
$$C_2 : x^2 + y^2 + 4x - 2y - 5 = 0$$
$$C_3 : x^2 + y^2 - 6x + 2y + 5 = 0$$
について、次の問いに答えよ。
(1) $C_1$ と $C_2$ の根軸 $\ell_{12}$、$C_2$ と $C_3$ の根軸 $\ell_{23}$ の方程式をそれぞれ求めよ。
(2) 3つの円の根心の座標を求めよ。
(3) 根心から $C_1$ に引いた接線の長さを求めよ。また、この値は $C_2$、$C_3$ に引いた接線の長さとも等しいことを確認せよ。
(1) $\ell_{12}$：$C_1 - C_2 = 0$ より、
$$(-2 - 4)x + (-4 + 2)y + (1 + 5) = 0 \implies -6x - 2y + 6 = 0 \implies 3x + y - 3 = 0$$
$\ell_{23}$：$C_2 - C_3 = 0$ より、
$$(4 + 6)x + (-2 - 2)y + (-5 - 5) = 0 \implies 10x - 4y - 10 = 0 \implies 5x - 2y - 5 = 0$$
(2) 連立方程式を解く。$3x + y = 3$ より $y = 3 - 3x$。$5x - 2(3 - 3x) = 5$ に代入すると、
$$5x - 6 + 6x = 5 \implies 11x = 11 \implies x = 1$$
$$y = 3 - 3 = 0$$
根心は $(1, 0)$。
(3) 根心 $(1, 0)$ から $C_1$ へのべき：
$$\text{pow}_{C_1}(1, 0) = 1 + 0 - 2 - 0 + 1 = 0$$
べきが $0$ なので、根心は $C_1$ 上の点です。この場合、接線の長さは $\sqrt{0} = 0$。
$C_2$ へのべき：$1 + 0 + 4 - 0 - 5 = 0$
$C_3$ へのべき：$1 + 0 - 6 + 0 + 5 = 0$
3つとも $0$ であり、根心 $(1, 0)$ は3つの円すべての上にある共通点であることが確認できる。
この問題では根心がたまたま3つの円の共通点になっています。3つの円が1点で交わるとき、その交点が根心になります。一般には根心は円の外部にあり、接線の長さは正の値になります。
根心の計算では、3本の根軸のうち2本だけを連立すれば十分です。3本目の根軸 $C_3 - C_1 = 0$ を計算して交点が通ることを検算に用いることができます。