「2つの円はどのように交わるのか？」── 中心間の距離 $d$ と2つの半径 $r_1$, $r_2$ の大小関係だけで、位置関係が完全に分類できます。
交点の求め方、共通接線の本数まで、体系的に理解しましょう。
2つの円 $C_1$, $C_2$ の位置関係は、中心間の距離 $d$ と半径 $r_1$, $r_2$（$r_1 \geq r_2$ とする）の関係から、次の5つの場合に分類されます。
2つの円の中心を $\mathrm{O}_1$, $\mathrm{O}_2$、半径をそれぞれ $r_1$, $r_2$（$r_1 \geq r_2 > 0$）、中心間の距離を $d = \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2$ とします。
| 位置関係 | 条件 | 共有点の数 |
|---|---|---|
| 離れている（外部） | $d > r_1 + r_2$ | 0個 |
| 外接する（外接） | $d = r_1 + r_2$ | 1個 |
| 2点で交わる | $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ | 2個 |
| 内接する（内接） | $d = |r_1 - r_2|$（$d \neq 0$） | 1個 |
| 一方が他方の内部 | $d < |r_1 - r_2|$ | 0個 |
2つの円の位置関係を決めるのは、$d$ と $r_1 + r_2$、$|r_1 - r_2|$ の大小関係だけです。
直感的には、$d$ が大きいほど2つの円は離れていき、$d$ が小さいほど一方が他方に含まれていきます。境界値 $d = r_1 + r_2$ が外接、$d = |r_1 - r_2|$ が内接に対応します。
この分類は、2つの円が共有点をもつかどうかの判定に直結するため、入試では非常によく問われます。
2つの円が共有点をもつための条件を考えます。円 $C_1$ 上の点 $\mathrm{P}$ から中心 $\mathrm{O}_2$ までの距離が $r_2$ に等しいとき、$\mathrm{P}$ は $C_2$ 上にもあります。
点 $\mathrm{P}$ が $C_1$ 上を動くとき、$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$ の最小値は $|d - r_1|$、最大値は $d + r_1$ です。したがって、$C_2$ と共有点をもつ条件は
$$|d - r_1| \leq r_2 \leq d + r_1$$
この不等式を整理すると、$|r_1 - r_2| \leq d \leq r_1 + r_2$ が得られ、等号の場合が接する場合に対応します。
2つの円の位置関係を判定するには、次の手順に従います。
円 $C_1$：中心 $(a_1, b_1)$, 半径 $r_1$ と 円 $C_2$：中心 $(a_2, b_2)$, 半径 $r_2$ について
$$d = \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2}$$
として、
$d > r_1 + r_2 \Longrightarrow$ 離れている（共有点なし）
$d = r_1 + r_2 \Longrightarrow$ 外接する（共有点1個）
$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 \Longrightarrow$ 2点で交わる（共有点2個）
$d = |r_1 - r_2| \Longrightarrow$ 内接する（共有点1個）
$d < |r_1 - r_2| \Longrightarrow$ 一方が他方の内部（共有点なし）
実際の計算では $d^2$ と $(r_1 + r_2)^2$、$(r_1 - r_2)^2$ を比較すると、平方根の計算を避けられます。
例題：次の2つの円の位置関係を調べよ。
$C_1 : x^2 + y^2 = 9$, $\quad C_2 : (x - 5)^2 + y^2 = 4$
解：$C_1$ の中心は $(0, 0)$, 半径 $r_1 = 3$。$C_2$ の中心は $(5, 0)$, 半径 $r_2 = 2$。
$$d = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 5$$
$r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5$ であり、$d = r_1 + r_2$ なので、2つの円は外接する。
平方根の計算を省くため、$d^2$ と $(r_1 + r_2)^2$, $(r_1 - r_2)^2$ を比較する方法も有効です。
例題：$C_1 : (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$, $\quad C_2 : (x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 9$
解：$C_1$ の中心 $(1, 2)$, $r_1 = 2$。$C_2$ の中心 $(4, 6)$, $r_2 = 3$。
$$d^2 = (4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 = 9 + 16 = 25$$
$(r_1 + r_2)^2 = 5^2 = 25$, $\quad (r_1 - r_2)^2 = (-1)^2 = 1$
$d^2 = (r_1 + r_2)^2$ より $d = r_1 + r_2 = 5$ なので、2つの円は外接する。
「接する」と言われたとき、外接か内接かを正しく区別することが重要です。
外接：2つの円が外側から接する（$d = r_1 + r_2$）。接点は2つの中心の間にある。
内接：一方の円の内側で接する（$d = |r_1 - r_2|$）。接点は中心を結ぶ線分の延長上にある。
✗ 誤り：「2つの円が接する」→ 常に $d = r_1 + r_2$
✓ 正しい：外接なら $d = r_1 + r_2$、内接なら $d = |r_1 - r_2|$ の2通りがある
「接する」という条件が出題されたら、必ず外接と内接の両方の場合を検討しましょう。
2つの円が2点で交わるとき、その交点の座標を求めるには、2つの円の方程式を連立させます。
しかし、2つの2次方程式をそのまま解くのは大変です。ここで重要なテクニックは、2つの方程式の差をとることです。
2つの円を次のように表します。
$$C_1 : x^2 + y^2 + l_1 x + m_1 y + n_1 = 0$$
$$C_2 : x^2 + y^2 + l_2 x + m_2 y + n_2 = 0$$
$C_1 - C_2$ を計算すると、$x^2$ と $y^2$ の項が消え、
$$(l_1 - l_2)x + (m_1 - m_2)y + (n_1 - n_2) = 0$$
という1次方程式（直線の方程式）が得られます。
2つの円 $C_1$, $C_2$ の方程式を $C_1 - C_2 = 0$（または $C_2 - C_1 = 0$）として差をとると、直線の方程式 $\ell$ が得られる。
この直線 $\ell$ と、もとの円のどちらか（例えば $C_1$）を連立して解けば、交点が求まる。
この直線 $\ell$ は、2つの円が交わるときは2つの交点を通る直線（共通弦）であり、接するときは接点を通る直線になります。一般にこの直線を根軸（radical axis）と呼びます。
例題：次の2つの円の交点を求めよ。
$$C_1 : x^2 + y^2 = 25, \quad C_2 : (x - 4)^2 + y^2 = 9$$
解：$C_2$ を展開すると $x^2 - 8x + 16 + y^2 = 9$、すなわち $x^2 + y^2 - 8x + 7 = 0$
$C_1 - C_2$ より、$(x^2 + y^2) - (x^2 + y^2 - 8x + 7) = 25 - 0$ から
$$8x - 7 = 25 \quad \Longrightarrow \quad x = 4$$
$x = 4$ を $C_1$ に代入：$16 + y^2 = 25$ より $y^2 = 9$、$y = \pm 3$
よって交点は $(4, 3)$ と $(4, -3)$。
2つの円 $C_1$, $C_2$ に対して、$C_1 - C_2 = 0$ で得られる直線（根軸）は、2つの円が交わらない場合にも定義できます。
点 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$ から円 $C : (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ に対するべき（power）は、$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 - r^2$ と定義されます。
根軸は、2つの円に対するべきが等しい点の集合です。これは大学の幾何学で重要な概念になり、3つの円の根軸が1点で交わるという根心（radical center）の定理にもつながります。
2つの円 $C_1$, $C_2$ が2点で交わるとき、その2つの交点を通る図形は
$$C_1 + k \cdot C_2 = 0 \quad (k \neq -1)$$
で表されます（$k = -1$ のとき直線になる）。ここで $C_1$, $C_2$ は円の方程式（$=0$ の形にしたもの）を表します。この式は2つの交点を必ず通ることが保証されており、$k$ の値を変えることで交点を通るさまざまな円を表します。
2つの円の両方に接する直線を共通接線といいます。共通接線の本数は、2つの円の位置関係によって決まります。
| 位置関係 | 条件 | 共通接線の本数 |
|---|---|---|
| 離れている | $d > r_1 + r_2$ | 4本 |
| 外接する | $d = r_1 + r_2$ | 3本 |
| 2点で交わる | $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ | 2本 |
| 内接する | $d = |r_1 - r_2|$ | 1本 |
| 一方が他方の内部 | $d < |r_1 - r_2|$ | 0本 |
共通接線は2種類に分かれます。
$d > r_1 + r_2$（離れている）のとき、共通外接線2本 + 共通内接線2本 = 4本です。
$d = r_1 + r_2$（外接）のとき、共通内接線の2本が1本に重なるので、合計3本です。
$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$（交わる）のとき、共通内接線は引けず、共通外接線のみ2本です。
$d = |r_1 - r_2|$（内接）のとき、共通外接線の2本が1本に重なり、合計1本です。
$d < |r_1 - r_2|$（含まれる）のとき、共通接線は1本も引けません。
共通接線の本数は、$d$ が $r_1 + r_2$ と $|r_1 - r_2|$ のどの範囲にあるかで 4, 3, 2, 1, 0 と変化します。
$d$ が大きくなるほど2つの円が離れ、引ける接線の本数が増えます。逆に $d$ が小さくなり一方が他方に含まれると、接線は引けなくなります。
入試では「共通接線の本数を求めよ」という問題がよく出ますが、位置関係の判定ができれば自動的に本数が決まります。
「2つの円が接する」という条件は、パラメータを含む問題で頻出です。接する条件は $d = r_1 + r_2$（外接）または $d = |r_1 - r_2|$（内接）であり、これを $d$ の式に代入して方程式を解きます。
例題：円 $C_1 : x^2 + y^2 = 4$ と円 $C_2 : (x - a)^2 + y^2 = 1$ が外接するとき、$a$ の値を求めよ。
解：$C_1$ の中心 $(0, 0)$, $r_1 = 2$。$C_2$ の中心 $(a, 0)$, $r_2 = 1$。
$d = |a|$、外接条件 $d = r_1 + r_2 = 3$ より $|a| = 3$、すなわち $a = \pm 3$。
2つの円が2点で交わる条件は $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ です。パラメータを含む場合は、この不等式を解きます。
例題：円 $C_1 : x^2 + y^2 = 9$ と円 $C_2 : (x - a)^2 + y^2 = 4$（$a > 0$）が2点で交わるような $a$ の範囲を求めよ。
解：$r_1 = 3$, $r_2 = 2$, $d = a$（$a > 0$）。
$$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$$
$$|3 - 2| < a < 3 + 2$$
$$1 < a < 5$$
2つの円が2点で交わるとき、2つの交点を結ぶ線分（共通弦）の長さを求める問題も頻出です。
例題：$C_1 : x^2 + y^2 = 25$ と $C_2 : (x - 7)^2 + y^2 = 25$ の共通弦の長さを求めよ。
解：$C_1 - C_2$ より、$x^2 + y^2 - (x^2 - 14x + 49 + y^2) = 25 - 25$ から
$$14x - 49 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{7}{2}$$
$x = \frac{7}{2}$ を $C_1$ に代入：$\frac{49}{4} + y^2 = 25$ より $y^2 = \frac{51}{4}$、$y = \pm \frac{\sqrt{51}}{2}$
共通弦の長さは $2 \cdot \frac{\sqrt{51}}{2} = \sqrt{51}$。
手順1：2つの方程式の差をとり、共通弦を含む直線の方程式を求める。
手順2：その直線と一方の円の方程式を連立し、交点を求める。
手順3：2つの交点間の距離を計算する。
別解として、中心から共通弦への距離 $h$ を求め、$\text{共通弦の長さ} = 2\sqrt{r^2 - h^2}$ を使う方法もあります。
パラメータを含む円の方程式において、パラメータを変化させたとき、その円が必ず通る点を求める問題もあります。
例題：$k$ が実数全体を動くとき、円 $x^2 + y^2 + 2kx - 4ky - 5 = 0$ が必ず通る定点を求めよ。
解：$k$ について整理すると、
$$x^2 + y^2 - 5 + k(2x - 4y) = 0$$
これがすべての $k$ で成り立つ条件は
$$x^2 + y^2 - 5 = 0 \quad \text{かつ} \quad 2x - 4y = 0$$
$2x - 4y = 0$ より $x = 2y$。$x^2 + y^2 = 5$ に代入して $4y^2 + y^2 = 5$、$y^2 = 1$、$y = \pm 1$。
よって定点は $(2, 1)$ と $(-2, -1)$。
点 $\mathrm{P}$ から円 $C$ に対するべき（power）は、$\mathrm{P}$ が円の外部にあるとき「$\mathrm{P}$ から円に引いた接線の長さの2乗」に等しくなります。
2つの円に対するべきが等しい点の軌跡が根軸であり、根軸上の任意の点から2つの円に引いた接線の長さは等しくなります。
この性質を利用すると、共通接線に関する問題や、複数の円に関する問題を効率よく解けることがあります。入試の発展的な問題では、この考え方が役立つ場面があります。
Q1. 円 $x^2 + y^2 = 4$ と円 $(x - 3)^2 + y^2 = 1$ の位置関係を答えよ。
Q2. 円 $x^2 + y^2 = 25$ と円 $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$ の位置関係を答えよ。
Q3. 円 $x^2 + y^2 = 13$ と円 $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$ の共通弦を含む直線の方程式を求めよ。
Q4. 円 $x^2 + y^2 = 16$ と円 $(x - a)^2 + y^2 = 9$（$a > 0$）が外接するとき、$a$ の値を求めよ。
Q5. 2つの円が離れている（共有点なし・外部）とき、共通接線は何本引けるか。
次の2つの円の位置関係を調べ、共通接線の本数を求めよ。
(1) $C_1 : x^2 + y^2 = 9$, $\quad C_2 : (x - 5)^2 + (y - 0)^2 = 1$
(2) $C_1 : x^2 + y^2 = 16$, $\quad C_2 : (x - 2)^2 + y^2 = 4$
(3) $C_1 : (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$, $\quad C_2 : (x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 9$
(1) 中心 $(0,0)$, $r_1=3$ と 中心 $(5,0)$, $r_2=1$。$d=5$, $r_1+r_2=4$。$d > r_1+r_2$ なので離れている。共通接線は4本。
(2) 中心 $(0,0)$, $r_1=4$ と 中心 $(2,0)$, $r_2=2$。$d=2$, $|r_1-r_2|=2$。$d=|r_1-r_2|$ なので内接する。共通接線は1本。
(3) 中心 $(1,1)$, $r_1=2$ と 中心 $(4,5)$, $r_2=3$。$d=\sqrt{9+16}=5$, $r_1+r_2=5$。$d=r_1+r_2$ なので外接する。共通接線は3本。
2つの円 $C_1 : x^2 + y^2 = 10$ と $C_2 : x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 = 0$ について、次の問いに答えよ。
(1) 2つの円の位置関係を調べよ。
(2) 2つの円の交点の座標を求めよ。
(3) 2つの交点を通り、点 $(0, 4)$ を通る円の方程式を求めよ。
(1) $C_1$：中心 $(0,0)$, $r_1=\sqrt{10}$。$C_2$ を変形：$(x-3)^2+(y-1)^2=4$、中心 $(3,1)$, $r_2=2$。
$d=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。$r_1+r_2=\sqrt{10}+2$, $|r_1-r_2|=\sqrt{10}-2$。
$\sqrt{10}-2 \approx 1.16 < \sqrt{10} \approx 3.16 < \sqrt{10}+2 \approx 5.16$ なので、2点で交わる。
(2) $C_1-C_2$：$(x^2+y^2)-(x^2+y^2-6x-2y+6)=10-0$ より
$6x+2y-6=10$、すなわち $3x+y=8$、$y=8-3x$
$C_1$ に代入：$x^2+(8-3x)^2=10$、$x^2+64-48x+9x^2=10$、$10x^2-48x+54=0$、$5x^2-24x+27=0$
$(5x-9)(x-3)=0$ より $x=\dfrac{9}{5}, 3$
$x=\dfrac{9}{5}$ のとき $y=8-\dfrac{27}{5}=\dfrac{13}{5}$、$x=3$ のとき $y=8-9=-1$
よって交点は $\left(\dfrac{9}{5}, \dfrac{13}{5}\right)$ と $(3, -1)$。
(3) $C_1+kC_2=0$ の形で表される円が通る：$(x^2+y^2-10)+k(x^2+y^2-6x-2y+6)=0$
$(0,4)$ を代入：$(0+16-10)+k(0+16-0-8+6)=0$、$6+14k=0$、$k=-\dfrac{3}{7}$
$(1-\frac{3}{7})(x^2+y^2)-(-\frac{3}{7})6x-(-\frac{3}{7})2y-10+(-\frac{3}{7})\cdot 6=0$
$\frac{4}{7}(x^2+y^2)+\frac{18}{7}x+\frac{6}{7}y-10-\frac{18}{7}=0$
両辺を $\frac{7}{4}$ 倍：$x^2+y^2+\frac{9}{2}x+\frac{3}{2}y-\frac{35}{2}-\frac{9}{2}=0$
$x^2+y^2+\frac{9}{2}x+\frac{3}{2}y-22=0$
すなわち $\left(x+\dfrac{9}{4}\right)^2+\left(y+\dfrac{3}{4}\right)^2=22+\dfrac{81}{16}+\dfrac{9}{16}=22+\dfrac{90}{16}=\dfrac{442}{16}=\dfrac{221}{8}$
2つの円の交点を通る図形は $C_1 + kC_2 = 0$ で表せます。$k=-1$ のとき直線（共通弦）、$k \neq -1$ のとき円になります。通過条件から $k$ を決定するのが定番の流れです。
円 $C_1 : x^2 + y^2 = r^2$（$r > 0$）と円 $C_2 : (x - 6)^2 + y^2 = 4$ について、次の問いに答えよ。
(1) 2つの円が外接するときの $r$ の値を求めよ。
(2) 2つの円が内接するときの $r$ の値を求めよ。
(3) 2つの円が2点で交わるような $r$ の範囲を求めよ。
$C_1$：中心 $(0,0)$, 半径 $r$。$C_2$：中心 $(6,0)$, 半径 $2$。$d=6$。
(1) 外接条件 $d=r+2$ より $6=r+2$、$r=4$。
(2) 内接条件 $d=|r-2|$ より $6=|r-2|$。
$r-2=6$ のとき $r=8$、$r-2=-6$ のとき $r=-4$（不適）。よって $r=8$。
(3) 2点で交わる条件：$|r-2| < 6 < r+2$
$r+2 > 6$ より $r > 4$。$|r-2| < 6$ より $-6 < r-2 < 6$、$-4 < r < 8$。$r > 0$ とあわせて $0 < r < 8$。
2つの条件をあわせて $4 < r < 8$。
内接の場合、$C_1$ が $C_2$ を内部に含む形（$r > 2$）と $C_2$ が $C_1$ を内部に含む形（$r < 2$）の両方を検討する必要があります。$r-2 = -6$ は $r = -4$ となり不適なので、$r = 8$ のみです。
$a$ を正の実数とする。円 $C_1 : x^2 + y^2 = a^2$ と円 $C_2 : (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$ について、次の問いに答えよ。
(1) $C_1$ と $C_2$ が外接するとき、接点の座標を求めよ。
(2) $C_1$ と $C_2$ が2点で交わるとき、共通弦の長さが $2\sqrt{3}$ となるような $a$ の値を求めよ。
(3) $C_1$ と $C_2$ の共通接線がちょうど2本であるような $a$ の範囲を求めよ。
$C_1$：中心 $\mathrm{O}_1(0,0)$, 半径 $a$。$C_2$：中心 $\mathrm{O}_2(3,4)$, 半径 $2$。
$d = \sqrt{9+16} = 5$。
(1) 外接条件 $d = a + 2$ より $5 = a + 2$、$a = 3$。
接点は $\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2$ を $a : 2 = 3 : 2$ に内分する点。
$$\left(\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 3}{3+2},\ \frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 4}{3+2}\right) = \left(\frac{9}{5},\ \frac{12}{5}\right)$$
(2) $C_1 - C_2$ の差をとる。$C_2$ を展開すると $x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 4$ より $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0$。
$C_1 - C_2$：$(x^2+y^2) - (x^2+y^2-6x-8y+21) = a^2 - 0$ より
$$6x + 8y - 21 = a^2 \quad \Longrightarrow \quad \ell : 6x + 8y = a^2 + 21$$
$\mathrm{O}_1(0,0)$ から直線 $\ell$ への距離 $h$ は
$$h = \frac{|6 \cdot 0 + 8 \cdot 0 - (a^2+21)|}{\sqrt{36+64}} = \frac{a^2+21}{10}$$
（$a > 0$ より $a^2 + 21 > 0$ なので絶対値は外せる。）
$C_1$ における共通弦の半分の長さを $\ell_0$ とすると、$\ell_0^2 = a^2 - h^2$。
共通弦の長さが $2\sqrt{3}$ なので $\ell_0 = \sqrt{3}$、$\ell_0^2 = 3$。
$$a^2 - \left(\frac{a^2+21}{10}\right)^2 = 3$$
$$100a^2 - (a^2+21)^2 = 300$$
$$100a^2 - a^4 - 42a^2 - 441 = 300$$
$$-a^4 + 58a^2 - 741 = 0$$
$$a^4 - 58a^2 + 741 = 0$$
$a^2 = t$ とおくと $t^2 - 58t + 741 = 0$。判別式 $= 3364 - 2964 = 400$。
$$t = \frac{58 \pm 20}{2} = 39 \text{ または } 19$$
2点で交わる条件 $|a-2| < 5 < a+2$ より $3 < a < 7$、すなわち $9 < a^2 < 49$。
$t = 19$ は $9 < 19 < 49$ を満たす。$t = 39$ は $9 < 39 < 49$ を満たす。
よって $a = \sqrt{19}$ または $a = \sqrt{39}$。
(3) 共通接線がちょうど2本 $\Longleftrightarrow$ 2つの円が2点で交わる $\Longleftrightarrow$ $|a - 2| < 5 < a + 2$。
$a + 2 > 5$ より $a > 3$。$|a-2| < 5$ より $-5 < a-2 < 5$、$-3 < a < 7$。$a > 0$ とあわせて $0 < a < 7$。
2つの条件の共通範囲は $3 < a < 7$。
(1) 外接するとき、接点は2つの中心を半径の比に内分する点です。(2) では「方程式の差 → 共通弦の直線 → 中心からの距離 → 三平方の定理」という定番の流れを使います。(3) 共通接線の本数は位置関係で決まるので、「2本 = 2点で交わる」と読み替えて不等式を立てます。