「ある条件を満たす点全体はどんな図形を描くか？」── これが軌跡の問題です。
条件を座標の式に翻訳し、方程式として表現する手順を身につけましょう。
座標平面上で、ある幾何的条件を満たす点の集合を、その条件に対する軌跡（locus）といいます。
例えば、「点 $\mathrm{A}$ からの距離が $r$ である点の軌跡」は、中心 $\mathrm{A}$、半径 $r$ の円です。このように、幾何的な条件から図形の方程式を導くことが軌跡の問題の本質です。
軌跡を求めるとは、次の2つを示すことです。
すなわち、条件を満たす点の集合と方程式が表す図形が完全に一致することを確認する必要があります。
軌跡の問題は、「幾何の言葉」を「代数の言葉」に翻訳する作業です。
「2点から等距離」→ 垂直二等分線の方程式、「定点からの距離が一定」→ 円の方程式、のように、幾何的条件を座標と方程式の世界に変換することが核心です。
この章の「図形と方程式」というタイトルの意味が、軌跡の問題に最も明確に表れています。
点 $\mathrm{P}(x, y)$ に対する条件を方程式 $f(x, y) = 0$ の形に翻訳できれば、この方程式が表す曲線が軌跡です。ただし、後述するように「逆の確認」を忘れてはいけません。
軌跡の問題には決まった手順があります。この手順を正確に踏むことで、ミスを防げます。
Step 1：求める軌跡上の点を $\mathrm{P}(x, y)$ とおく
Step 2：与えられた幾何的条件を、$x, y$ の等式・不等式に翻訳する
Step 3：式を整理して、既知の曲線（直線、円、放物線など）の方程式にする
Step 4：逆に、求めた方程式上の点がすべて元の条件を満たすか確認する（逆の確認）
Step 4 を忘れると、余分な点を含んだ「偽の軌跡」を答えてしまうことがあります。
幾何的条件を式に翻訳するとき、よく使う公式は次の通りです。
| 幾何的条件 | 式への翻訳 |
|---|---|
| 点 $(a, b)$ からの距離が $r$ | $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ |
| 2点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ からの距離が等しい | $\mathrm{PA}^2 = \mathrm{PB}^2$ |
| 直線 $ax + by + c = 0$ からの距離が $d$ | $\dfrac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = d$ |
| 2点からの距離の比が $m : n$ | $n \cdot \mathrm{PA} = m \cdot \mathrm{PB}$ または $n^2 \cdot \mathrm{PA}^2 = m^2 \cdot \mathrm{PB}^2$ |
距離の条件を式にするとき、$\sqrt{\ }$ を外すために両辺を2乗することがよくあります。しかし、2乗は「正負の情報を失う」操作なので、余分な点が紛れ込む可能性があります。
✗ 危険：$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = x + 1$ を2乗して $(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2$ とすると、$x + 1 < 0$ の場合も含んでしまう
✓ 安全：2乗する前に $x + 1 \geq 0$ すなわち $x \geq -1$ の条件を確認する
Step 4 の「逆の確認」が必要な最大の理由がここにあります。
問題：2点 $\mathrm{A}(1, 2)$、$\mathrm{B}(5, 4)$ から等距離にある点 $\mathrm{P}(x, y)$ の軌跡を求めよ。
Step 1：求める軌跡上の点を $\mathrm{P}(x, y)$ とおく。
Step 2：条件は $\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$ であるから、$\mathrm{PA}^2 = \mathrm{PB}^2$ とすると
$$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 5)^2 + (y - 4)^2$$
Step 3：展開して整理する。
$$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 8y + 16$$
$$-2x - 4y + 5 = -10x - 8y + 41$$
$$8x + 4y - 36 = 0$$
$$2x + y - 9 = 0$$
Step 4：逆に、直線 $2x + y - 9 = 0$ 上の任意の点 $\mathrm{P}(x, y)$ について、上の計算を逆にたどると $\mathrm{PA}^2 = \mathrm{PB}^2$ すなわち $\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$ が成り立つ（距離は正なので2乗の逆も成立）。
よって、求める軌跡は直線 $2x + y - 9 = 0$（線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線）。
問題：点 $\mathrm{C}(3, -1)$ からの距離が $4$ である点 $\mathrm{P}(x, y)$ の軌跡を求めよ。
解：条件は $\mathrm{PC} = 4$ より
$$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16$$
逆に、この方程式を満たす点は明らかに $\mathrm{C}$ からの距離が $4$ であるから、求める軌跡は中心 $(3, -1)$、半径 $4$ の円。
問題：点 $\mathrm{F}(0, 1)$ と直線 $\ell : y = -1$ から等距離にある点 $\mathrm{P}(x, y)$ の軌跡を求めよ。
Step 1：$\mathrm{P}(x, y)$ とおく。
Step 2：$\mathrm{P}$ から $\mathrm{F}$ までの距離は $\sqrt{x^2 + (y - 1)^2}$、$\mathrm{P}$ から直線 $\ell$ までの距離は $|y + 1|$。
条件は $\sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = |y + 1|$。
Step 3：両辺を2乗すると
$$x^2 + (y - 1)^2 = (y + 1)^2$$
$$x^2 + y^2 - 2y + 1 = y^2 + 2y + 1$$
$$x^2 = 4y$$
Step 4：逆に、$x^2 = 4y$ 上の点 $(x, y)$ について、$y = \frac{x^2}{4} \geq 0$ より $y + 1 > 0$ なので $|y + 1| = y + 1$。2乗の逆をたどれば元の等式が成り立つ。
よって、求める軌跡は放物線 $x^2 = 4y$。
2点から等距離（$\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$）→ 線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線
定点から一定距離（$\mathrm{PC} = r$）→ 中心 $\mathrm{C}$、半径 $r$ の円
定点と定直線から等距離（$\mathrm{PF} = \mathrm{P}$ と直線の距離）→ 放物線
放物線は数学IIIで詳しく学びますが、軌跡の基本例として押さえておきましょう。
2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ からの距離の比が一定の点の軌跡は、古代ギリシャの数学者アポロニウスにちなんでアポロニウスの円と呼ばれます。
問題：2点 $\mathrm{A}(-a, 0)$、$\mathrm{B}(a, 0)$（$a > 0$）からの距離の比が $\mathrm{PA} : \mathrm{PB} = m : n$（$m > 0$、$n > 0$、$m \neq n$）である点 $\mathrm{P}(x, y)$ の軌跡を求めよ。
Step 1：$\mathrm{P}(x, y)$ とおく。
Step 2：条件 $\mathrm{PA} : \mathrm{PB} = m : n$ より $n \cdot \mathrm{PA} = m \cdot \mathrm{PB}$。両辺を2乗すると
$$n^2 \cdot \mathrm{PA}^2 = m^2 \cdot \mathrm{PB}^2$$
$$n^2\{(x + a)^2 + y^2\} = m^2\{(x - a)^2 + y^2\}$$
Step 3：展開する。
$$n^2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2) = m^2(x^2 - 2ax + a^2 + y^2)$$
$$(n^2 - m^2)x^2 + 2a(n^2 + m^2)x + (n^2 - m^2)a^2 + (n^2 - m^2)y^2 = 0$$
$m \neq n$ より $n^2 - m^2 \neq 0$ なので、両辺を $n^2 - m^2$ で割ると
$$x^2 + \frac{2a(m^2 + n^2)}{m^2 - n^2}x + a^2 + y^2 = 0$$
（ただし $n^2 - m^2$ で割ったので符号に注意し、分子は $m^2 + n^2$ に整理）
平方完成すると、これは円の方程式になります。
例題：$\mathrm{A}(−3, 0)$、$\mathrm{B}(3, 0)$ からの距離の比が $\mathrm{PA} : \mathrm{PB} = 1 : 2$ である点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。
条件は $2\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$。両辺を2乗すると $4\mathrm{PA}^2 = \mathrm{PB}^2$。
$$4\{(x + 3)^2 + y^2\} = (x - 3)^2 + y^2$$
$$4(x^2 + 6x + 9 + y^2) = x^2 - 6x + 9 + y^2$$
$$4x^2 + 24x + 36 + 4y^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$$
$$3x^2 + 30x + 3y^2 + 27 = 0$$
$$x^2 + 10x + y^2 + 9 = 0$$
$$(x + 5)^2 + y^2 = 16$$
Step 4：逆に、円 $(x + 5)^2 + y^2 = 16$ 上の任意の点について、計算を逆にたどると $4\mathrm{PA}^2 = \mathrm{PB}^2$ が成り立ちます。$\mathrm{PA} > 0$、$\mathrm{PB} > 0$ より $2\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$ すなわち $\mathrm{PA} : \mathrm{PB} = 1 : 2$ が成立。
よって、求める軌跡は中心 $(-5, 0)$、半径 $4$ の円。
$\mathrm{PA} : \mathrm{PB} = m : n$ で $m = n$、すなわち $\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$ の場合は、軌跡は円ではなく線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線になります（セクション3の例1）。
直感的には、$m : n$ の比が $1 : 1$ から離れるほどアポロニウスの円は小さくなり、$m = n$ の極限で円が「直線に開く」と理解できます。
2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ からの距離の比が $\mathrm{PA} : \mathrm{PB} = m : n$（$m \neq n$）である点 $\mathrm{P}$ の軌跡は円。
特に、線分 $\mathrm{AB}$ を $m : n$ に内分する点と $m : n$ に外分する点が、この円の直径の両端になる。
$m = n$ のときは、軌跡は線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線（直線）。
座標幾何では、点 $\mathrm{P}(x, y)$ をおいて方程式に翻訳するという「代数的手法」で軌跡を求めます。これに対してユークリッド幾何（初等幾何）では、図形の性質を使って軌跡を推測し、論証する手法をとります。
座標幾何の利点は、機械的な手順で方程式が得られることです。一方、ユークリッド幾何では図形の本質的な構造が見えやすいという利点があります。入試では両方の視点を持つことが強みになります。
Step 1〜3 で方程式を導出する過程は、「条件を満たす点 → 方程式を満たす」という一方向の推論です。しかし、逆方向、すなわち「方程式を満たす点 → 条件を満たす」も成り立つとは限りません。
特に、次のような操作を行った場合は、逆の確認が不可欠です。
例題：点 $\mathrm{F}(2, 0)$ からの距離と直線 $x = -2$ からの距離が等しい点 $\mathrm{P}(x, y)$ の軌跡を求めよ。
条件：$\sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = |x + 2|$
両辺を2乗すると
$$(x - 2)^2 + y^2 = (x + 2)^2$$
$$x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + 4x + 4$$
$$y^2 = 8x$$
逆の確認：$y^2 = 8x$ 上の点では $x = \frac{y^2}{8} \geq 0$。よって $x + 2 > 0$ が保証され、$|x + 2| = x + 2$。計算を逆にたどれば元の条件が成り立つ。
よって、求める軌跡は放物線 $y^2 = 8x$（全体）。
この例では逆の確認で軌跡が制限されませんでしたが、常にそうとは限りません。問題によっては、得られた曲線の一部だけが軌跡になることがあります。
入試の記述問題では、逆の確認を省略すると減点の対象になります。
✗ 不十分：「$y^2 = 8x$ が得られたので、軌跡は放物線 $y^2 = 8x$」で終わる
✓ 完全：「逆に、$y^2 = 8x$ 上の点は $x \geq 0$ であるから $|x + 2| = x + 2$ が成り立ち、元の条件を満たす。よって軌跡は放物線 $y^2 = 8x$」と確認する
特に、2乗した場合・分母を払った場合は必ず逆を確認しましょう。
実際の問題では、逆の確認の結果は次の3パターンに分かれます。
| パターン | 内容 | 答え方 |
|---|---|---|
| 全て成立 | 方程式上の全ての点が条件を満たす | 「軌跡は～（全体）」 |
| 一部制限 | 方程式上の一部の点だけが条件を満たす | 「軌跡は～のうち、$\cdots$ の部分」 |
| 除外点あり | 有限個の点を除外する必要がある | 「軌跡は～（ただし点 $\cdots$ を除く）」 |
Q1. 「軌跡」とは何か、簡潔に説明せよ。
Q2. 2点 $\mathrm{A}(0, 0)$、$\mathrm{B}(6, 0)$ から等距離にある点の軌跡を求めよ。
Q3. 点 $(−1, 3)$ からの距離が $5$ である点の軌跡の方程式を書け。
Q4. 軌跡を求める際に「逆の確認」が特に必要になるのは、どのような操作を行ったときか。
Q5. $\mathrm{PA} : \mathrm{PB} = m : n$（$m \neq n$）を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡はどんな図形か。また $m = n$ のときはどうなるか。
2点 $\mathrm{A}(2, 1)$、$\mathrm{B}(-4, 5)$ から等距離にある点 $\mathrm{P}(x, y)$ の軌跡を求めよ。
$\mathrm{PA}^2 = \mathrm{PB}^2$ より
$$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x + 4)^2 + (y - 5)^2$$
$$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 8x + 16 + y^2 - 10y + 25$$
$$-4x - 2y + 5 = 8x - 10y + 41$$
$$-12x + 8y - 36 = 0$$
$$3x - 2y + 9 = 0$$
逆に、この直線上の点は上の変形を逆にたどれば $\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$ を満たす。
よって、求める軌跡は直線 $3x - 2y + 9 = 0$。
2点 $\mathrm{A}(0, 0)$、$\mathrm{B}(6, 0)$ からの距離の比が $\mathrm{PA} : \mathrm{PB} = 1 : 2$ である点 $\mathrm{P}(x, y)$ の軌跡を求めよ。
条件 $\mathrm{PA} : \mathrm{PB} = 1 : 2$ より $2\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$。両辺を2乗して
$$4(x^2 + y^2) = (x - 6)^2 + y^2$$
$$4x^2 + 4y^2 = x^2 - 12x + 36 + y^2$$
$$3x^2 + 12x + 3y^2 - 36 = 0$$
$$x^2 + 4x + y^2 - 12 = 0$$
$$(x + 2)^2 + y^2 = 16$$
逆に、この円上の任意の点について $4\mathrm{PA}^2 = \mathrm{PB}^2$ が成り立ち、$\mathrm{PA} > 0$、$\mathrm{PB} > 0$ より $2\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$ すなわち $\mathrm{PA} : \mathrm{PB} = 1 : 2$ が成立。
よって、求める軌跡は中心 $(-2, 0)$、半径 $4$ の円。
線分 $\mathrm{AB}$ を $1 : 2$ に内分する点は $(2, 0)$、$1 : 2$ に外分する点は $(-6, 0)$ です。これらの中点が $(-2, 0)$ であり、2点間の距離の半分が $4$ で、確かに求めた円と一致します。
点 $\mathrm{F}(0, 2)$ と直線 $\ell : y = -2$ から等距離にある点 $\mathrm{P}(x, y)$ の軌跡を求めよ。
$\mathrm{P}$ から $\mathrm{F}$ への距離 $= \sqrt{x^2 + (y - 2)^2}$、$\mathrm{P}$ から $\ell$ への距離 $= |y + 2|$。
条件 $\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = |y + 2|$ の両辺を2乗すると
$$x^2 + (y - 2)^2 = (y + 2)^2$$
$$x^2 + y^2 - 4y + 4 = y^2 + 4y + 4$$
$$x^2 = 8y$$
逆に、$x^2 = 8y$ 上の点では $y = \frac{x^2}{8} \geq 0$ より $y + 2 > 0$ なので $|y + 2| = y + 2$。変形を逆にたどれば元の条件が成り立つ。
よって、求める軌跡は放物線 $x^2 = 8y$。
焦点 $(0, 2)$ と準線 $y = -2$ をもつ放物線です。焦点から準線までの距離が $4$ なので、放物線の式は $x^2 = 4 \cdot 2 \cdot y = 8y$ となります。
2点 $\mathrm{A}(-2, 0)$、$\mathrm{B}(4, 0)$ に対して、$\mathrm{PA}^2 + \mathrm{PB}^2 = 40$ を満たす点 $\mathrm{P}(x, y)$ の軌跡を求めよ。
$\mathrm{PA}^2 = (x + 2)^2 + y^2$、$\mathrm{PB}^2 = (x - 4)^2 + y^2$ であるから
$$(x + 2)^2 + y^2 + (x - 4)^2 + y^2 = 40$$
$$x^2 + 4x + 4 + y^2 + x^2 - 8x + 16 + y^2 = 40$$
$$2x^2 - 4x + 2y^2 + 20 = 40$$
$$x^2 - 2x + y^2 = 10$$
$$(x - 1)^2 + y^2 = 11$$
逆に、$(x - 1)^2 + y^2 = 11$ 上の任意の点について、$x^2 - 2x + y^2 = 10$ が成り立ち、展開を逆にたどれば $\mathrm{PA}^2 + \mathrm{PB}^2 = 40$ が成立する。
よって、求める軌跡は中心 $(1, 0)$、半径 $\sqrt{11}$ の円。
円の中心 $(1, 0)$ は線分 $\mathrm{AB}$ の中点です。一般に、$\mathrm{PA}^2 + \mathrm{PB}^2 = k$（定数）の軌跡は、$k$ が十分大きければ線分 $\mathrm{AB}$ の中点を中心とする円になります。$k$ が小さすぎると条件を満たす点が存在しなくなることに注意しましょう。
本問では $\mathrm{AB}$ の中点 $(1, 0)$ を中心にすると整理が楽になるので、最初から中点を原点にとる座標設定も有効です。