「円上の点における接線の方程式は？」── 接線の公式は、元の円の方程式を少し書き換えるだけで得られます。
なぜそうなるのかを理解し、円外の点からの接線や傾き指定の接線まで使いこなしましょう。
円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式を求めましょう。接線は円と1点で接する直線であり、接点における半径に垂直です。
原点を中心とする円 $x^2 + y^2 = r^2$ の接線を、「半径と接線は垂直」という性質から導きます。
円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$ における接線を求めます。ただし $y_1 \neq 0$ とします。
原点 $\mathrm{O}$ から $\mathrm{P}$ への半径の傾きは $\dfrac{y_1}{x_1}$ です。
接線は半径 $\mathrm{OP}$ に垂直なので、接線の傾きを $m$ とすると
$$\frac{y_1}{x_1} \cdot m = -1 \quad \Longrightarrow \quad m = -\frac{x_1}{y_1}$$
点 $(x_1, y_1)$ を通り傾き $m = -\dfrac{x_1}{y_1}$ の直線は
$$y - y_1 = -\frac{x_1}{y_1}(x - x_1)$$
両辺に $y_1$ をかけて整理すると
$$y_1 y - y_1^2 = -x_1 x + x_1^2$$
$$x_1 x + y_1 y = x_1^2 + y_1^2$$
$(x_1, y_1)$ は円上の点なので $x_1^2 + y_1^2 = r^2$ が成り立ちます。したがって
$$x_1 x + y_1 y = r^2$$
$y_1 = 0$ のとき（$x_1 = \pm r$）、接線は $x = \pm r$ すなわち $x_1 x = r^2$ となり、上の式に含まれます。
円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は
$$x_1 x + y_1 y = r^2$$
覚え方：円の方程式 $x^2 + y^2 = r^2$ の一方の $x$ を $x_1$ に、一方の $y$ を $y_1$ に置き換えるだけ。
接線の公式の核心は、円の方程式の $x \cdot x$ を $x_1 \cdot x$ に、$y \cdot y$ を $y_1 \cdot y$ に置き換えるという置き換え規則です。
この規則はどのような円に対しても成り立ち、2次曲線の接線公式にも共通する考え方です。これを理解すれば、暗記ではなく構造的に公式を再現できます。
例題：円 $x^2 + y^2 = 25$ 上の点 $(3, 4)$ における接線の方程式を求めよ。
解：公式より
$$3x + 4y = 25$$
確認：点 $(3, 4)$ は $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ なので確かに円上にあり、直線 $3x + 4y = 25$ は $(3, 4)$ を通ります。
中心が原点でない一般の円 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ に対しても、同じ置き換え規則が適用できます。
円 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線を求めます。
中心 $(a, b)$ から接点 $(x_1, y_1)$ への半径の傾きは $\dfrac{y_1 - b}{x_1 - a}$ です（$x_1 \neq a$ の場合）。
接線の傾きは半径に垂直なので $-\dfrac{x_1 - a}{y_1 - b}$ です。点 $(x_1, y_1)$ を通る直線は
$$y - y_1 = -\frac{x_1 - a}{y_1 - b}(x - x_1)$$
整理すると
$$(x_1 - a)(x - x_1) + (y_1 - b)(y - y_1) = 0$$
$$(x_1 - a)x + (y_1 - b)y = x_1(x_1 - a) + y_1(y_1 - b)$$
右辺を変形します。$(x_1 - a)x + (y_1 - b)y = (x_1 - a)x_1 + (y_1 - b)y_1$ の右辺に $a^2 + b^2$ を加減して
$$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = (x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 = r^2$$
円 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は
$$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$$
覚え方：$(x - a)^2$ の一方の $(x - a)$ を $(x_1 - a)$ に、$(y - b)^2$ の一方の $(y - b)$ を $(y_1 - b)$ に置き換える。
円が展開形で与えられた場合も置き換え規則を適用できます。$x^2$ → $x_1 x$、$y^2$ → $y_1 y$、$x$ → $\dfrac{x + x_1}{2}$、$y$ → $\dfrac{y + y_1}{2}$ と置き換えます。
円 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線は
$$x_1 x + y_1 y + D\frac{x + x_1}{2} + E\frac{y + y_1}{2} + F = 0$$
1次の項 $Dx$ は $D \cdot \dfrac{x + x_1}{2}$ に、$Ey$ は $E \cdot \dfrac{y + y_1}{2}$ に置き換えます。
接線の公式を使うには、$(x_1, y_1)$ が円上の点でなければなりません。与えられた点が本当に円上にあるか、必ず代入して確認しましょう。
✗ 誤り：点が円上にあるか確認せずに公式を適用する
✓ 正しい：まず $x_1^2 + y_1^2 = r^2$（あるいは対応する条件）を確かめてから公式を使う
円上にない点からの接線は、次のセクションの方法で求めます。
例題：円 $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10$ 上の点 $(4, 3)$ における接線の方程式を求めよ。
解：まず確認：$(4 - 1)^2 + (3 - 2)^2 = 9 + 1 = 10$ ✓
公式より
$$(4 - 1)(x - 1) + (3 - 2)(y - 2) = 10$$
$$3(x - 1) + 1 \cdot (y - 2) = 10$$
$$3x + y = 15$$
円の外部にある点から円に引いた接線は2本存在します。この接線の方程式を求める方法を学びましょう。
接点を $(x_1, y_1)$ とおき、接線の公式を使って条件を立てる方法です。
例題：点 $(5, 1)$ から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた接線の方程式を求めよ。
接点を $(x_1, y_1)$ とおくと、接線は $x_1 x + y_1 y = 10$ です。
この接線が点 $(5, 1)$ を通るので
$$5x_1 + y_1 = 10 \quad \cdots (*)$$
また、接点は円上の点なので
$$x_1^2 + y_1^2 = 10 \quad \cdots (**)$$
$(*)$ より $y_1 = 10 - 5x_1$ を $(**)$ に代入すると
$$x_1^2 + (10 - 5x_1)^2 = 10$$
$$x_1^2 + 100 - 100x_1 + 25x_1^2 = 10$$
$$26x_1^2 - 100x_1 + 90 = 0$$
$$13x_1^2 - 50x_1 + 45 = 0$$
$$(x_1 - 1)(13x_1 - 45) = 0$$
$$x_1 = 1 \text{ または } x_1 = \frac{45}{13}$$
$x_1 = 1$ のとき $y_1 = 5$、$x_1 = \dfrac{45}{13}$ のとき $y_1 = 10 - 5 \cdot \dfrac{45}{13} = -\dfrac{95}{13}$
よって接線は $x + 5y = 10$ および $\dfrac{45}{13}x - \dfrac{95}{13}y = 10$、すなわち
$$x + 5y = 10, \quad 9x - 19y = 26$$
接線の傾きを $m$ とおき、「中心から直線までの距離 = 半径」の条件を使う方法です。
点 $(5, 1)$ を通り傾き $m$ の直線は $y - 1 = m(x - 5)$、すなわち $mx - y + 1 - 5m = 0$ です。
原点との距離が $\sqrt{10}$ になる条件は
$$\frac{|1 - 5m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{10}$$
両辺を2乗して整理すると $m$ が求まります。ただし、この方法では接線が $y$ 軸に平行な場合を別に確認する必要があります。
円外の点からの接線は必ず2本あります。解が1つしか出なかった場合は、何かを見落としている可能性があります。
✗ 誤り：傾きを $m$ とおく方法で、$y$ 軸に平行な接線を見落とす
✓ 正しい：$y$ 軸に平行な直線（$x = 5$ など）も接線になりうるか別途確認する
接点を設定する方法（方法1）は全ての接線を漏れなく求められるので安全です。
接点を設定する方法は、漏れなく全ての接線が求まるため確実です。一方、傾きを未知数とする方法は計算がシンプルになることが多いですが、傾きが存在しない場合の確認が必要です。
入試では「接点が求められるか」も問われることが多いので、接点を設定する方法に慣れておくとよいでしょう。
「円 $x^2 + y^2 = r^2$ に傾き $m$ で接する直線を求めよ」という問題です。接線の $y$ 切片を求めることで解きます。
傾き $m$ の直線は $y = mx + k$ と表せます。これを $mx - y + k = 0$ と変形し、円の中心（原点）からの距離が半径 $r$ に等しいという条件を使います。
直線 $mx - y + k = 0$ と原点の距離が $r$ なので
$$\frac{|k|}{\sqrt{m^2 + 1}} = r$$
$$|k| = r\sqrt{m^2 + 1}$$
$$k = \pm r\sqrt{m^2 + 1}$$
よって、接線は $y = mx \pm r\sqrt{m^2 + 1}$ です。
円 $x^2 + y^2 = r^2$ に傾き $m$ で接する直線は
$$y = mx \pm r\sqrt{m^2 + 1}$$
$\pm$ は符号が2つあり、接線は平行な2本の直線です。円の上側と下側に1本ずつ接します。
円 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ に傾き $m$ で接する直線は、$y - b = m(x - a) + k$ とおき、中心 $(a, b)$ からの距離が $r$ になる条件を使います。
$$y = m(x - a) + b \pm r\sqrt{m^2 + 1}$$
例題：円 $x^2 + y^2 = 5$ に傾き $2$ で接する直線を求めよ。
解：$m = 2$、$r^2 = 5$（$r = \sqrt{5}$）なので
$$y = 2x \pm \sqrt{5}\sqrt{4 + 1} = 2x \pm \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 2x \pm 5$$
よって、接線は $y = 2x + 5$ および $y = 2x - 5$ です。
確認：直線 $2x - y + 5 = 0$ と原点の距離は $\dfrac{|5|}{\sqrt{4 + 1}} = \dfrac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ ✓
円の外部の点 $\mathrm{P}$ から円に接線を引いたとき、$\mathrm{P}$ から接点 $\mathrm{T}$ までの距離を接線の長さと呼びます。
円の中心を $\mathrm{C}$、半径を $r$、外部の点を $\mathrm{P}$、接点を $\mathrm{T}$ とします。
$\mathrm{CT} \perp \mathrm{PT}$ なので、直角三角形 $\mathrm{CPT}$ に三平方の定理を適用すると
$$\mathrm{CP}^2 = \mathrm{CT}^2 + \mathrm{PT}^2$$
$$d^2 = r^2 + \mathrm{PT}^2$$
ここで $d = \mathrm{CP}$（中心と点 $\mathrm{P}$ の距離）なので
$$\mathrm{PT} = \sqrt{d^2 - r^2}$$
中心 $\mathrm{C}$、半径 $r$ の円に対し、外部の点 $\mathrm{P}$ から引いた接線の長さは
$$\mathrm{PT} = \sqrt{d^2 - r^2}$$
ここで $d$ は点 $\mathrm{P}$ と中心 $\mathrm{C}$ の距離です。
2本の接線の長さは等しいことに注意。これは「円外の1点から引いた2本の接線の長さは等しい」という性質です。
円 $x^2 + y^2 = r^2$ に対する点 $\mathrm{P}(p, q)$ の方べきの値は $p^2 + q^2 - r^2$ で定義されます。
つまり、接線の長さは $\mathrm{PT} = \sqrt{p^2 + q^2 - r^2}$ と表せ、これは方べきの値の平方根です。
外部の点 $\mathrm{P}$ から円に引いた2本の接線の接点をそれぞれ $\mathrm{T}_1$、$\mathrm{T}_2$ とすると
円 $f(x, y) = x^2 + y^2 - r^2 = 0$ の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は
$$f_x(x_1, y_1)(x - x_1) + f_y(x_1, y_1)(y - y_1) = 0$$
ここで $f_x = 2x$, $f_y = 2y$ なので $2x_1(x - x_1) + 2y_1(y - y_1) = 0$ となり、整理すると $x_1 x + y_1 y = r^2$ が得られます。
勾配ベクトル $\nabla f = (2x_1, 2y_1)$ は円の法線方向（半径方向）を指し、接線はこれに垂直な方向です。大学の微分積分学で学ぶ勾配ベクトルと接平面の考え方の1次元版がここに現れています。
例題：点 $(4, 3)$ から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の長さを求めよ。
解：中心 $(0, 0)$ と点 $(4, 3)$ の距離は $d = \sqrt{16 + 9} = 5$、半径は $r = \sqrt{5}$ なので
$$\mathrm{PT} = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{25 - 5} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$
Q1. 円 $x^2 + y^2 = 13$ 上の点 $(2, 3)$ における接線の方程式を求めよ。
Q2. 円 $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5$ 上の点 $(4, 0)$ における接線の方程式を求めよ。
Q3. 円 $x^2 + y^2 = 2$ に傾き $1$ で接する直線の方程式を求めよ。
Q4. 点 $(3, 4)$ から円 $x^2 + y^2 = 9$ に引いた接線の長さを求めよ。
Q5. 点 $(0, 5)$ は円 $x^2 + y^2 = 10$ の外部・円上・内部のいずれにあるか。また、外部にあれば接線の長さを求めよ。
次の各問いに答えよ。
(1) 円 $x^2 + y^2 = 20$ 上の点 $(2, -4)$ における接線の方程式を求めよ。
(2) 円 $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 8$ 上の点 $(5, 3)$ における接線の方程式を求めよ。
(3) 円 $x^2 + y^2 = 4$ に傾き $-1$ で接する直線の方程式を求めよ。
(1) 確認：$2^2+(-4)^2=4+16=20$ ✓。公式より $2x+(-4)y=20$、すなわち $x - 2y = 10$
(2) 確認：$(5-3)^2+(3-1)^2=4+4=8$ ✓。公式より $(5-3)(x-3)+(3-1)(y-1)=8$、すなわち $2(x-3)+2(y-1)=8$。整理して $x + y = 8$
(3) $y = -x \pm 2\sqrt{1+1} = -x \pm 2\sqrt{2}$。よって $y = -x + 2\sqrt{2}$ および $y = -x - 2\sqrt{2}$
点 $(4, 2)$ から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた2本の接線の方程式を求めよ。また、2つの接点を結ぶ直線の方程式を求めよ。
接点を $(x_1, y_1)$ とおくと、接線は $x_1 x + y_1 y = 10$。
これが $(4, 2)$ を通るので $4x_1 + 2y_1 = 10$、すなわち $2x_1 + y_1 = 5$ ...(i)
接点は円上なので $x_1^2 + y_1^2 = 10$ ...(ii)
(i) より $y_1 = 5 - 2x_1$ を (ii) に代入：
$$x_1^2 + (5-2x_1)^2 = 10$$
$$x_1^2 + 25 - 20x_1 + 4x_1^2 = 10$$
$$5x_1^2 - 20x_1 + 15 = 0$$
$$x_1^2 - 4x_1 + 3 = 0$$
$$(x_1 - 1)(x_1 - 3) = 0$$
$x_1 = 1$ のとき $y_1 = 3$、$x_1 = 3$ のとき $y_1 = -1$
接線は $x + 3y = 10$ および $3x - y = 10$
2つの接点を結ぶ直線（極線）は、点 $(4, 2)$ に対する極線の公式より $4x + 2y = 10$、すなわち $2x + y = 5$
2つの接点 $(1, 3)$、$(3, -1)$ を直接結んでも $2x + y = 5$ が得られます。一般に、外部の点 $(p, q)$ に対する極線は $px + qy = r^2$ であり、接点を求めなくても直接書き下せます。
円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = mx + 6$ が接するとき、$m$ の値と接点の座標を求めよ。
直線 $mx - y + 6 = 0$ と原点の距離が $3$ なので
$$\frac{|6|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3$$
$$\frac{36}{m^2 + 1} = 9$$
$$m^2 + 1 = 4$$
$$m = \pm\sqrt{3}$$
$m = \sqrt{3}$ のとき：$y = \sqrt{3}x + 6$ を $x^2 + y^2 = 9$ に代入
$$x^2 + (\sqrt{3}x + 6)^2 = 9$$
$$x^2 + 3x^2 + 12\sqrt{3}x + 36 = 9$$
$$4x^2 + 12\sqrt{3}x + 27 = 0$$
$$(2x + 3\sqrt{3})^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
$y = \sqrt{3} \cdot \left(-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right) + 6 = -\dfrac{9}{2} + 6 = \dfrac{3}{2}$
接点は $\left(-\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{3}{2}\right)$
$m = -\sqrt{3}$ のとき：同様にして接点は $\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{3}{2}\right)$
円 $C : x^2 + y^2 = r^2$（$r > 0$）の外部の点 $\mathrm{P}(a, b)$ から円 $C$ に引いた2本の接線の接点をそれぞれ $\mathrm{T}_1$、$\mathrm{T}_2$ とする。
(1) 接線の長さ $\mathrm{PT}_1$ を $a$, $b$, $r$ で表せ。
(2) 直線 $\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2$ の方程式を求めよ。
(3) $a = 5$、$b = 0$、$r = 3$ のとき、$\triangle \mathrm{PT}_1\mathrm{T}_2$ の面積を求めよ。
(1) $d = \sqrt{a^2 + b^2}$（$\mathrm{P}$ と中心の距離）なので
$$\mathrm{PT}_1 = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{a^2 + b^2 - r^2}$$
(2) 接点を $(x_1, y_1)$ とすると接線は $x_1 x + y_1 y = r^2$ で、$(a, b)$ を通るので $ax_1 + by_1 = r^2$。
これは $(x_1, y_1)$ が直線 $ax + by = r^2$ 上にあることを意味する。$\mathrm{T}_1$, $\mathrm{T}_2$ はともにこの直線上にあるので
$$\text{直線 } \mathrm{T}_1\mathrm{T}_2 : ax + by = r^2$$
(3) $a=5$, $b=0$, $r=3$ のとき、$\mathrm{P}(5, 0)$、直線 $\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2 : 5x = 9$、すなわち $x = \dfrac{9}{5}$
接線の長さ：$\mathrm{PT}_1 = \sqrt{25 - 9} = 4$
$\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2$ の長さを求める：接点は $x = \dfrac{9}{5}$ と $x^2 + y^2 = 9$ の交点なので
$$\frac{81}{25} + y^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad y^2 = \frac{144}{25} \quad \Longrightarrow \quad y = \pm\frac{12}{5}$$
$\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2 = \dfrac{12}{5} - \left(-\dfrac{12}{5}\right) = \dfrac{24}{5}$
$\mathrm{P}(5, 0)$ から直線 $x = \dfrac{9}{5}$ への距離は $5 - \dfrac{9}{5} = \dfrac{16}{5}$
$$\triangle \mathrm{PT}_1\mathrm{T}_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{5} \cdot \frac{16}{5} = \frac{192}{25}$$
(2) の結果 $ax + by = r^2$ は点 $(a, b)$ に対する極線（polar line）と呼ばれます。極線は接点を具体的に求めなくても書き下せるため、(3) のような面積計算にも効率的に使えます。方べきの定理や極と極線の関係は、射影幾何の入口として大学数学にもつながる重要な概念です。