「すべての $x$ で成り立つ」という条件から未知の係数を決定する ── それが恒等式の決定問題です。
係数比較法と数値代入法の2つの武器を、場面に応じて使い分けましょう。
恒等式の性質（前回学習）から、両辺の同じ次数の係数はすべて等しくなります。これを利用して未知係数を決定する方法が係数比較法です。
Step 1. 両辺をそれぞれ $x$ の降べきの順に整理する
Step 2. 同じ次数の項の係数を比較して連立方程式を立てる
Step 3. 連立方程式を解く
$n$ 次式の恒等式なら、$x^n, x^{n-1}, \ldots, x, \text{定数項}$ の $n+1$ 個の等式が得られます。
等式 $ax^2 + bx + c = 2x^2 - 5x + 3$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ を求めよ。
両辺の係数を比較すると：
$x^3 + ax^2 + bx + c = (x-1)(x^2 + px + q)$ が恒等式となるように $a, b, c, p, q$ を定めよ。
右辺を展開します：
$$x^3 + px^2 + qx - x^2 - px - q = x^3 + (p-1)x^2 + (q-p)x - q$$係数を比較すると：
係数比較法は必要十分条件を直接与えます。「$a, b, c$ がこの値なら恒等式」と「恒等式なら $a, b, c$ はこの値」の両方が同時に保証されます。したがって逆の確認は不要です。
恒等式は「すべての $x$ で成り立つ」ので、どんな値を代入しても成立します。このことを利用し、$x$ に具体的な値を入れて係数を決める方法が数値代入法です。
Step 1. 計算が楽になる値（$0, 1, -1$ や因数が $0$ になる値）を代入
Step 2. 未知係数の個数と同じ数の方程式を立てる
Step 3. 連立方程式を解いて係数を決定
Step 4. 必要に応じて逆の確認を行う
$n$ 次式なら $n+1$ 個の異なる値を代入すれば、逆の確認は不要です（恒等式に関する定理による）。
$a(x-1)(x-2) + b(x-2)(x-3) + c(x-3)(x-1) = 2x^2 - 7x + 3$ が恒等式となるとき、$a, b, c$ を求めよ。
$x = 1$ を代入：
$$b(1-2)(1-3) = 2 - 7 + 3 \implies 2b = -2 \implies b = -1$$$x = 2$ を代入：
$$c(2-3)(2-1) = 8 - 14 + 3 \implies -c = -3 \implies c = 3$$$x = 3$ を代入：
$$a(3-1)(3-2) = 18 - 21 + 3 \implies 2a = 0 \implies a = 0$$✗ 数値代入法で値を求めたら完了
✓ 未知数が $n+1$ 個あるのに $n+1$ 個未満の値しか代入していない場合、逆の確認が必要
数値代入法は「恒等式ならばこの値」という必要条件しか与えません。得られた値で確かに恒等式になるかの確認が必要な場合があります。ただし、$n$ 次式に $n+1$ 個以上の値を代入した場合は十分条件も満たされます。
係数比較法が有利：両辺を展開・整理しやすい場合。逆の確認不要という安心感。
数値代入法が有利：因数分解型で代入すると多くの項が消える場合。計算量が少ない。
入試では「両方の方法で解け」と指定されることもあるので、どちらも使えるようにしておきましょう。
分数式を部分分数に分解する問題は、恒等式の係数決定として扱えます。
$\dfrac{5x + 1}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{a}{x-1} + \dfrac{b}{x+2}$ が恒等式となるよう $a, b$ を定める。
方法1（両辺に分母を掛ける）：
$$5x + 1 = a(x+2) + b(x-1)$$これは $x$ についての恒等式なので、数値代入法が便利：
Step 1. 部分分数の形を設定する
Step 2. 両辺に共通分母を掛けて分母を払う
Step 3. 得られた整式の恒等式を係数比較法または数値代入法で解く
分母が $(x-\alpha)^2$ のように重複する場合は $\dfrac{a}{x-\alpha} + \dfrac{b}{(x-\alpha)^2}$ の形にします。
$\dfrac{x^2 + 3}{(x-1)^2(x+1)} = \dfrac{a}{x-1} + \dfrac{b}{(x-1)^2} + \dfrac{c}{x+1}$
分母を払うと：
$$x^2 + 3 = a(x-1)(x+1) + b(x+1) + c(x-1)^2$$数値代入法：
部分分数分解が恒等式の問題になる理由：「すべての $x$ で等しい」とは「分数式として恒等的に等しい」ということです。分母を払っても恒等式であることは変わりません。ここに係数比較法・数値代入法が使えるのです。
$x, y$ の2変数についての恒等式では、$x, y$ のすべての組に対して成り立つことが条件です。
$a(x+y) + b(x-y) + c = 3x - y + 5$ が $x, y$ についての恒等式のとき、$a, b, c$ を求めよ。
係数比較法：左辺を整理すると
$$(a+b)x + (a-b)y + c = 3x - y + 5$$$x, y$ の係数と定数項を比較：
解くと $a = 1, \, b = 2, \, c = 5$。
数値代入法：$(x, y) = (0, 0), (1, 0), (0, 1)$ を代入：
✗ 2文字の恒等式で $x$ だけに値を代入する（$y$ を固定したまま）
✓ $x, y$ の両方について成り立つように、$(x, y)$ の組で代入する
2変数の場合、未知係数が3つなら3組の $(x, y)$ の値が必要です。ただし「$x$ について整理してから $y$ について整理」と段階的に処理する方法もあります。
2変数の恒等式は多変数多項式環の理論の入口です。大学では $k[x, y]$ のような多項式環を扱い、恒等式の概念は「環のゼロ元」や「イデアル」として一般化されます。ここでの「すべての $(x, y)$ で成立」は、多項式として零であること（各係数がゼロ）と同値です。
多項式 $P(x)$ を $Q(x)$ で割った商を $S(x)$、余りを $R(x)$ とすると：
$$P(x) = Q(x) \cdot S(x) + R(x)$$
これは $x$ についての恒等式です（すべての $x$ で成り立つ）。
$R(x)$ の次数 $\lt$ $Q(x)$ の次数 という条件とセットで使います。
$x^4 + 2x^3 - x + 3$ を $x^2 - x + 1$ で割った余りを求めよ。
商を $ax^2 + bx + c$、余りを $dx + e$ とおくと：
$$x^4 + 2x^3 - x + 3 = (x^2 - x + 1)(ax^2 + bx + c) + dx + e$$これは $x$ の恒等式なので、右辺を展開して係数比較することで $a, b, c, d, e$ が決定できます。
$x + y + z = 0$ のとき $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ を示せ、のような問題は条件付きの恒等式です。
$z = -(x+y)$ と代入して左辺を整理する方法が基本です：
$$x^3 + y^3 - (x+y)^3 = x^3 + y^3 - x^3 - 3x^2y - 3xy^2 - y^3 = -3xy(x+y) = 3xyz$$（最後は $x + y = -z$ を使用）
$n$ 次以下の多項式 $f(x)$ が $n+1$ 個の異なる値で $0$ になるとします。
$n$ 次以下の多項式は高々 $n$ 個の零点しか持たないので、$n+1$ 個の零点を持つ $f(x)$ はゼロ多項式（すべての係数が $0$）でなければなりません。
したがって、$P(x) - Q(x) = 0$（恒等式）が $n+1$ 点で確認されれば、$P(x) = Q(x)$ は恒等式です。これが数値代入法で $n+1$ 個代入すれば逆の確認が不要になる理由です。
恒等式の決定は「情報の読み取り方」の問題です。同じ恒等式から、係数比較法は「各次数の情報を同時に読み取る」方法、数値代入法は「特定の点での値を逐次読み取る」方法です。どちらも同じ真実（各係数の値）に到達しますが、問題の形に応じて効率が変わります。
Q1. $ax^2 + bx + c = 2(x-1)^2 + 3(x-1) - 5$ が恒等式のとき、$a + b + c$ の値は？
Q2. $\dfrac{3x+5}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{a}{x+1} + \dfrac{b}{x+2}$ のとき、$a$ と $b$ の値は？
Q3. $a(x+1)(x-1) + b(x-1)(x-2) + c(x-2)(x+1) = x^2 + x - 2$ が恒等式のとき、$c$ の値は？
Q4. 係数比較法と数値代入法の最大の違いを一言で述べよ。
Q5. 2次式 $f(x)$ が $f(0)=1, f(1)=4, f(-1)=2$ を満たすとき、$f(x)$ は？
次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定めよ。
$$2x^2 - 3x + 4 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$$
【数値代入法】
$x = 1$ を代入：$2 - 3 + 4 = c$ より $c = 3$。
$x = 0$ を代入：$4 = a - b + c = a - b + 3$ より $a - b = 1$ …①
$x = 2$ を代入：$8 - 6 + 4 = a + b + c = a + b + 3$ より $a + b = 3$ …②
①②を解いて $a = 2, b = 1$。
答え：$a = 2, \, b = 1, \, c = 3$
右辺を展開：$a(x^2-2x+1) + bx - b + c = ax^2 + (b-2a)x + (a-b+c)$
$x^2$：$a = 2$、$x$：$b - 2a = -3 \implies b = 1$、定数項：$a - b + c = 4 \implies c = 3$
次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定めよ。
$$\frac{x^2 + 2}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x+1}$$
分母を払うと：$x^2 + 2 = a(x^2+x+1) + (bx+c)(x-1)$
$x = 1$ を代入：$3 = 3a$ より $a = 1$
右辺を展開して整理：
$a(x^2+x+1) + (bx+c)(x-1) = (a+b)x^2 + (a-b+c)x + (a-c)$
$a = 1$ を代入して係数比較：
（検算：$x$ の係数 $1 - 0 + (-1) = 0$ ✓ 左辺の $x$ の係数も $0$ ✓）
答え：$a = 1, \, b = 0, \, c = -1$
$x, y$ についての恒等式
$$ax^2 + bxy + cy^2 = (x + 2y)(2x - y) + k(x-y)^2$$
が成り立つとき、定数 $a, b, c, k$ の値を求めよ。
右辺を展開：$(x+2y)(2x-y) + k(x-y)^2$
$= 2x^2 - xy + 4xy - 2y^2 + k(x^2 - 2xy + y^2)$
$= (2+k)x^2 + (3-2k)xy + (-2+k)y^2$
左辺と係数比較：
これは $k$ の値に関わらず恒等式です。問題文から $a, b, c, k$ すべてを求めるには追加条件が必要ですが、ここでは $a, b, c$ を $k$ で表す形が答えです。
例えば $k = 1$ なら $a = 3, b = 1, c = -1$。
答え：$a = 2+k, \, b = 3-2k, \, c = -2+k$（$k$ は任意の定数）
多項式 $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると余りが $3x - 1$、$(x+1)^2$ で割ると余りが $-x + 3$ である。$P(x)$ を $(x-1)^2(x+1)^2$ で割った余りを求めよ。
$P(x)$ を $(x-1)^2(x+1)^2$ で割った商を $Q(x)$、余りを $R(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とおく。
$$P(x) = (x-1)^2(x+1)^2 Q(x) + ax^3 + bx^2 + cx + d \quad \cdots ①$$
$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると余りが $3x - 1$ なので：
$R(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りも $3x - 1$ である。
$R(x) = (x-1)^2(ax + e) + 3x - 1$ とおける。
展開して：$R(x) = a x^3 + (e-2a)x^2 + (a-2e+3)x + (e-1)$
よって $b = e - 2a, \, c = a - 2e + 3, \, d = e - 1$
同様に $R(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $-x + 3$ なので：
$R(1) = a + b + c + d = 3 \cdot 1 - 1 = 2$、$R'(1) = 3a + 2b + c = 3$（微分による余り条件）
$R(-1) = -a + b - c + d = -(-1) + 3 = 4$、$R'(-1) = 3a - 2b + c = -1$
$R(1) + R(-1) = 2b + 2d = 6$ より $b + d = 3$
$R(1) - R(-1) = 2a + 2c = -2$ より $a + c = -1$
$R'(1) + R'(-1) = 6a + 2c = 2$ より $3a + c = 1$
$R'(1) - R'(-1) = 4b = 4$ より $b = 1$
$a + c = -1, \, 3a + c = 1$ を解いて $a = 1, c = -2$
$b + d = 3$ より $d = 2$
答え：$R(x) = x^3 + x^2 - 2x + 2$
$R(1) = 1 + 1 - 2 + 2 = 2 = 3(1) - 1$ ✓
$R(-1) = -1 + 1 + 2 + 2 = 4 = -(-1) + 3$ ✓
$R'(x) = 3x^2 + 2x - 2$
$R'(1) = 3 + 2 - 2 = 3$ ✓、$R'(-1) = 3 - 2 - 2 = -1$ ✓