「$A = B$ を証明せよ」── 当たり前に見える等式ほど、論理的に正しく示すのは難しいものです。
証明の基本戦略と、条件つき等式の扱い方をマスターしましょう。
$A = B$ を証明するには、主に3つの方法があります。
方法1（差が0）：$A - B = 0$ を示す
方法2（片辺変形）：$A$ を変形して $B$ を導く（または $B$ から $A$）
方法3（両辺変形）：$A$ と $B$ をそれぞれ変形して同じ式 $C$ を導く
どの方法でも、変形は同値変形であることが重要です。
最も基本的かつ汎用的な方法です。$A - B$ を計算して $0$ になることを確認します。
例：$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ を証明せよ。
左辺 $-$ 右辺を計算：
$$(a+b)^2 - (a-b)^2 - 4ab = (a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) - 4ab = 4ab - 4ab = 0$$よって $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$。 ■
例：$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = (a+b)(b+c)(c+a)$ を証明せよ。
右辺を展開：
$$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a)$$ $$= abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$$ $$= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$$左辺も展開して同じ式になることを確認できます。 ■
等式の証明で最も大切なのは「等号を挟んで両辺を行き来しない」ことです。「$A = B$」と最初に書いてしまうと、証明したいことを仮定したことになります。$A$ から出発して $B$ に到達する、$A - B$ を計算して $0$ に到達する、のように一方通行で書くのが正しい証明です。
「$a + b + c = 0$ のとき $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ を証明せよ」のように、ある条件のもとで等式を示す問題です。
方法A：条件式を使って文字を消去（1つの文字を他で表す）
方法B：条件式を使って式を変形（条件式の一部を代入）
方法C：パラメータ（比の値 $k$ など）を導入
$a + b + c = 0$ のとき、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ を証明。
$c = -(a+b)$ を代入して左辺 $-$ 右辺を計算：
$$a^3 + b^3 + (-(a+b))^3 - 3ab(-(a+b))$$ $$= a^3 + b^3 - a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3 + 3a^2b + 3ab^2 = 0$$よって $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$。 ■
同じ問題を別のアプローチで：
$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$$a + b + c = 0$ より右辺 $= 0$。したがって $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$。 ■
✗ 条件式を使い忘れて、無条件に等式が成り立つかのように証明する
✓ 条件式がどこで使われたかを明示する
条件つき等式は無条件では成り立ちません。条件をどの段階で使ったかを示すことが重要です。
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ のような比例式が条件のとき、共通の比 $k$ を導入する手法が強力です。
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k$ とおくと、$a = bk, \, c = dk$ と表せる。
証明したい等式に代入すれば、$k$ を含む式の計算に帰着する。
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ のとき、$\dfrac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = \dfrac{ac}{bd}$ を証明せよ。
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k$ とおくと $a = bk, c = dk$。
左辺 $= \dfrac{b^2k^2 + d^2k^2}{b^2 + d^2} = \dfrac{k^2(b^2 + d^2)}{b^2 + d^2} = k^2$
右辺 $= \dfrac{bk \cdot dk}{bd} = k^2$
左辺 $=$ 右辺 $= k^2$。 ■
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}$ のとき、$k$ を1つ導入すれば $a = bk, c = dk, e = fk$ とすべて表せます。
条件が比例式（$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$）や連比なら、迷わず $k$ を導入しましょう。分数を含む等式の証明で計算が複雑になる場合の特効薬です。
注意：$b = 0$ や $d = 0$ のケースは別に議論が必要なことがあります。
やや発展的ですが、等式の証明に関連して「少なくとも1つは $0$」などの命題が出題されます。
$a = 1, b = 1, c = -2$ で反例が作れるので、これは偽です。
$a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ のとき、$a = b = c$ を証明せよ。
$2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca) = 0$ より
$$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$$実数の2乗の和が $0$ になるのは、各項がすべて $0$ のときに限るので：
$$a - b = 0, \quad b - c = 0, \quad c - a = 0$$したがって $a = b = c$。 ■
「実数の2乗の和 $= 0 \implies$ 各項 $= 0$」は非常に強力な手法です。条件式を変形して「$(\text{何か})^2 + (\text{何か})^2 + \cdots = 0$」の形にできれば、各「何か」$= 0$ が結論できます。不等式の証明でも頻出するテクニックです。
等式の証明で減点されやすいポイントを整理します。
✗ 「$A = B$」を最初に書いて変形する（証明すべきことを仮定している）
✓ 「$A - B$ を計算すると…」や「左辺を変形すると…」で始める
✗ 途中で等号の向きを逆にする（$A = C = D = B$ のように書く）
✓ 変形は一方向で、$A = C_1 = C_2 = \cdots = B$ と書く
| 方法 | 書き出し | 締め方 |
|---|---|---|
| 差が0 | $A - B$ を計算する。 | $= 0$ よって $A = B$ ■ |
| 片辺変形 | （左辺）$=$（展開・変形） | $=$ （右辺）■ |
| 両辺変形 | 左辺 $= C$、右辺 $= C$ | ゆえに左辺 $=$ 右辺 ■ |
$A = B \iff C = D \iff \cdots \iff \text{（既知の事実）}$ のように、すべての変形が同値変形（$\iff$）なら、逆向きに辿ることで $A = B$ が証明できます。
ただし、答案に書く場合は同値記号 $\iff$ を明示し、「この変形は同値である」ことを意識する必要があります。単に $=$ で繋いだだけでは同値変形の保証がありません。
大学の代数学では、等式の証明は「環の公理」に基づいて行われます。高校で「当たり前」として使っている分配法則や交換法則も、抽象代数では「証明すべき定理」になります。ここで身につける「変形の根拠を明示する習慣」は、大学数学の厳密な議論に直結します。
Q1. $A = B$ の証明で最も基本的な方法は何か？
Q2. $\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{5}$ のとき、$\dfrac{a+b+c}{a-b+c}$ の値は？
Q3. $x + y = 3, \, xy = 1$ のとき、$x^2 + y^2$ の値は？
Q4. $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$ から何が言えるか？
Q5. 等式の証明で「$A = B$ を示す」と書いて両辺を同時に変形してはいけない理由は？
$a + b + c = 0$ のとき、次の等式を証明せよ。
$$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) = -3abc$$
$a + b + c = 0$ より $b + c = -a, \, c + a = -b, \, a + b = -c$。
左辺 $= a^2(-a) + b^2(-b) + c^2(-c) = -(a^3 + b^3 + c^3)$
$a + b + c = 0$ のとき $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ であるから（前節で証明済み）：
左辺 $= -3abc =$ 右辺。 ■
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$（$b \neq 0, d \neq 0, b + d \neq 0$）のとき、次の等式を証明せよ。
$$\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$$
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k$ とおくと、$a = bk, \, c = dk$。
$$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk + dk}{b+d} = \frac{k(b+d)}{b+d} = k = \frac{a}{b}$$
よって $\dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{a}{b}$。 ■
この結果は「比の性質」として知られ、$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ ならば $\dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ が成り立ちます。一般に $\dfrac{ma + nc}{mb + nd} = k$（$mb + nd \neq 0$）も成立します。
$a + b + c \neq 0$ かつ $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ のとき、$a = b = c$ を証明せよ。
$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$ の両辺を $2$ 倍すると：
$$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0$$
$$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) = 0$$
$$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$$
$a, b, c$ は実数なので $(a-b)^2 \geq 0, \, (b-c)^2 \geq 0, \, (c-a)^2 \geq 0$。
これらの和が $0$ となるのは、各項がすべて $0$ のときに限る。
よって $a - b = 0, \, b - c = 0, \, c - a = 0$ すなわち $a = b = c$。 ■
$\dfrac{b+c-a}{a} = \dfrac{c+a-b}{b} = \dfrac{a+b-c}{c}$ のとき、この比の値を求め、$a, b, c$ の関係を述べよ。
比の値を $k$ とおく。
$b + c - a = ak, \quad c + a - b = bk, \quad a + b - c = ck$
3式を辺々加えると：
$(b+c-a) + (c+a-b) + (a+b-c) = (a+b+c)k$
$a + b + c = (a+b+c)k$
場合1：$a + b + c \neq 0$ のとき、$k = 1$
$k = 1$ を第1式に代入：$b + c - a = a \implies b + c = 2a$
第2式：$c + a = 2b$、第3式：$a + b = 2c$
$b + c = 2a$ と $c + a = 2b$ を引くと $b - a = 2a - 2b \implies 3b = 3a \implies a = b$
同様に $b = c$。よって $a = b = c$。
場合2：$a + b + c = 0$ のとき
$b + c = -a$ より第1式 $= \dfrac{-2a}{a} = -2$、同様にすべて $-2$。よって $k = -2$。
答え：比の値は $k = 1$（$a = b = c$）または $k = -2$（$a + b + c = 0$）