複素数のかけ算は「回転と拡大」を同時に行う ── これは複素数平面の最も美しい性質です。$w = \alpha z + \beta$ という1次変換が回転移動・拡大縮小・平行移動を統一的に表現することを学び、さらに一次分数変換（メビウス変換）$w = \dfrac{az + b}{cz + d}$ の入口を覗きます。
$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$, $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ のとき：
$$z_1 z_2 = r_1 r_2 \bigl(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\bigr)$$
つまり「絶対値はかけ算、偏角は足し算」です。これは $z_2$ に $z_1$ をかけると、$z_2$ を原点中心に角度 $\theta_1$ だけ回転し、$r_1$ 倍に拡大することを意味します。
複素数 $\alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ をかけることは、原点を中心に角度 $\theta$ の回転と、$r$ 倍の拡大を同時に行う操作です。
特に $|\alpha| = 1$ のとき純粋な回転、$\alpha$ が正の実数のとき純粋な拡大になります。この「かけ算 ＝ 幾何的変換」の対応が、複素数平面の力の源泉です。
$\alpha = r e^{i\theta}$（$r = |\alpha|$, $\theta = \arg\alpha$）をかける操作：
$$z \mapsto \alpha z$$
これは原点を中心に $\theta$ 回転し、$r$ 倍に拡大する変換。
※ $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ （オイラーの公式）を用いると記述が簡潔になります。
$\alpha = i$ をかけると、$|i| = 1$, $\arg i = \dfrac{\pi}{2}$ なので「原点中心に $90°$ 回転」です。実際、$z = 1$ に $i$ をかけると $i$、$z = 1 + i$ に $i$ をかけると $i(1+i) = i - 1 = -1 + i$ で、確かに $90°$ 回転しています。
✗ 誤：$w = \alpha z$ は「点 $z$ を中心に回転」
○ 正：$w = \alpha z$ は「原点を中心に回転」。点 $\gamma$ を中心に回転するには $w - \gamma = \alpha(z - \gamma)$
$\alpha z$ のかけ算は常に原点基準です。任意の点を中心にするには平行移動が必要です。
$w = \alpha z + \beta$（$\alpha \neq 0$）は、まず $\alpha$ をかけて（回転・拡大）、次に $\beta$ を加えて（平行移動）という2段階の操作です。
$$w = \alpha z + \beta \quad (\alpha \neq 0)$$
Step 1：$z \mapsto \alpha z$（原点中心に $\arg\alpha$ 回転、$|\alpha|$ 倍拡大）
Step 2：$\alpha z \mapsto \alpha z + \beta$（$\beta$ だけ平行移動）
※ 2つの操作の順序は重要です。回転してから平行移動するのと、平行移動してから回転するのでは結果が異なります。
| 条件 | 変換の種類 | 例 |
|---|---|---|
| $|\alpha| = 1$, $\beta = 0$ | 原点中心の回転 | $w = iz$（$90°$ 回転） |
| $\alpha > 0$, $\beta = 0$ | 原点中心の拡大・縮小 | $w = 2z$（2倍拡大） |
| $\alpha = 1$ | 平行移動 | $w = z + 3i$（虚軸方向に3移動） |
| $\alpha = -1$, $\beta = 0$ | 原点対称（$180°$ 回転） | $w = -z$ |
| $|\alpha| = 1$, $\beta \neq 0$ | 回転 + 平行移動 | $w = e^{i\pi/3}z + 1$ |
✗ 誤：$w = \alpha\bar{z} + \beta$ も「回転と平行移動」
○ 正：$w = \alpha\bar{z} + \beta$ は実軸に関する対称移動を含む（向きが逆転する）
$\bar{z}$ は実軸対称の操作なので、$w = \alpha\bar{z} + \beta$ は「実軸対称 → 回転拡大 → 平行移動」です。図形の向き（時計回り/反時計回り）が逆になります。
$w = \alpha z + \beta$ は図形の形を変えません。角度も比も保存されます。つまりこれは相似変換（回転 + 拡大 + 平行移動の組み合わせ）です。
逆に言えば、$w = \alpha z + \beta$ では円は円に、直線は直線に写ります。形が変わる変換（円を直線に写すなど）にはメビウス変換が必要です。
入試で最もよく出る変換は「点 $\gamma$ を中心に角 $\theta$ だけ回転」です。この操作は次のように書けます。
$$w - \gamma = e^{i\theta}(z - \gamma)$$
すなわち
$$w = e^{i\theta}(z - \gamma) + \gamma = e^{i\theta}z + (1 - e^{i\theta})\gamma$$
※ 「$\gamma$ を原点に移動 → 原点で回転 → $\gamma$ に戻す」という3段階。$\alpha = e^{i\theta}$, $\beta = (1 - e^{i\theta})\gamma$ の1次変換です。
点 $\gamma$ を中心とする回転は、$z - \gamma$（$\gamma$ から $z$ へのベクトル）を $e^{i\theta}$ 倍する（原点中心に回転する）操作です。回転後のベクトルを $w - \gamma$ とすれば $w - \gamma = e^{i\theta}(z - \gamma)$ となります。
この考え方は「平行移動で中心を原点に持ってきて、回転して、元に戻す」という3ステップです。入試問題では、この3ステップを意識して式を立てましょう。
✗ 誤：$\gamma$ 中心回転を $w = e^{i\theta}z + \gamma$ と書く
○ 正：$w - \gamma = e^{i\theta}(z - \gamma)$ から $w = e^{i\theta}z + (1 - e^{i\theta})\gamma$
$w = e^{i\theta}z + \gamma$ では $z = \gamma$ のとき $w = e^{i\theta}\gamma + \gamma \neq \gamma$ となり、中心 $\gamma$ が動いてしまいます。中心は動かない ＝ $w = \gamma$ のとき $z = \gamma$ を必ず確認しましょう。
$\gamma = 1 + i$, $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ とします。$e^{i\pi/2} = i$ より：
$$w - (1+i) = i\bigl(z - (1+i)\bigr)$$
$$w = iz - i(1+i) + (1+i) = iz - i + 1 + 1 + i = iz + 2$$
確認：$z = 1+i$ のとき $w = i(1+i) + 2 = i - 1 + 2 = 1 + i$（不動点 OK）。
$z = 2 + i$（中心から右に $1$）のとき $w = i(2+i) + 2 = 2i - 1 + 2 = 1 + 2i$（中心から上に $1$）。確かに $90°$ 回転。
$w = e^{i\theta}z$ を実部・虚部に分けると $\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ となり、これは線形代数の回転行列そのものです。複素数の1つの式 $w = e^{i\theta}z$ が、行列の4成分を一気に表現しているのです。
1次変換 $w = \alpha z + \beta$ では円は円に、直線は直線に写りました。しかし、円を直線に写したり、直線を円に写したりするためには、より一般的な変換が必要です。それが一次分数変換（メビウス変換）です。
$$w = \frac{az + b}{cz + d} \quad (ad - bc \neq 0)$$
この変換は円と直線の全体を円と直線の全体に写す。
※ $c = 0$ のとき $w = \dfrac{a}{d}z + \dfrac{b}{d}$ となり、1次変換（相似変換）の特殊ケースです。
$w = \dfrac{1}{z}$ は最もシンプルなメビウス変換です。$z = r e^{i\theta}$ のとき $w = \dfrac{1}{r}e^{-i\theta}$ となり、「絶対値の逆数を取り、偏角の符号を反転する」操作です。
この変換では：
メビウス変換の最も重要な性質は、円と直線を合わせた族全体を保存することです。直線を「無限遠点を通る円」と見なせば、メビウス変換は「円を円に写す」と簡潔に表現できます。
この性質は $w = \dfrac{az+b}{cz+d}$ が平行移動・回転・拡大・反転の合成で書けることから導かれます。
✗ 誤：$w = \dfrac{2z + 4}{z + 2}$ はメビウス変換
○ 正：$ad - bc = 2 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 0$ なので $w = \dfrac{2(z+2)}{z+2} = 2$（定数）。これは変換ではない
$ad - bc = 0$ のとき $w$ は定数になり、変換として機能しません。必ず $ad - bc \neq 0$ を確認しましょう。
メビウス変換は大学数学で非常に重要な概念です。$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ という行列と対応し、変換の合成は行列の積に対応します。さらに、リーマン球面上の等角写像はすべてメビウス変換であるという深い定理があります。
複数の変換を順に行った結果は、1つの変換として表せます。これが変換の合成です。
$f(z) = \alpha_1 z + \beta_1$, $g(z) = \alpha_2 z + \beta_2$ の合成は：
$$g(f(z)) = \alpha_2(\alpha_1 z + \beta_1) + \beta_2 = \alpha_1\alpha_2 z + (\alpha_2\beta_1 + \beta_2)$$
これも $w = \alpha z + \beta$ の形の1次変換です。合成しても1次変換のまま ── これを「1次変換は群をなす」と言います。
$w = \alpha z + \beta$ から $z$ を求めると $z = \dfrac{w - \beta}{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha}w - \dfrac{\beta}{\alpha}$ です。これも1次変換です。
メビウス変換 $w = \dfrac{az + b}{cz + d}$ の逆変換は $z = \dfrac{dw - b}{-cw + a}$ であり、これもまたメビウス変換です。
$$w = \frac{az + b}{cz + d} \quad \Longleftrightarrow \quad z = \frac{dw - b}{-cw + a}$$
※ 元の変換の行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列 $\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ に対応しています。
✗ 誤：「$f$ の後に $g$」を $f(g(z))$ と書く
○ 正：「$f$ の後に $g$」は $g(f(z))$。$f$ が先に作用し、その結果に $g$ を作用させる
関数の合成記法 $g \circ f$ は「右から読む」ことに注意。$g \circ f$ は「まず $f$、次に $g$」です。行列の積の順序と同じです。
「合成して同じ種類の変換になる」「逆変換が存在する」「恒等変換が存在する」── これらの性質を満たす変換の集合を変換群と呼びます。1次変換全体やメビウス変換全体は群をなし、この「群の構造」を研究するのが大学数学の群論です。フェリックス・クラインの「エルランゲン・プログラム」では、幾何学とは「変換群に対して不変な性質の研究」と定義されました。
Q1. $z$ に $1 + i$ をかけると、原点中心に何度回転し、何倍に拡大されるか。
Q2. 点 $i$ を中心に $180°$ 回転する変換を $w = \alpha z + \beta$ の形で書け。
Q3. $w = 2iz + 3$ はどんな変換か。
Q4. $w = \dfrac{z + 1}{z - 1}$ の逆変換を求めよ。
Q5. $w = \bar{z}$ はどんな変換か。これは1次変換 $w = \alpha z + \beta$ で表せるか。
点 $z = 3 + i$ を点 $1 + 2i$ を中心に $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転した点 $w$ を求めよ。
$\gamma = 1 + 2i$, $\theta = \dfrac{\pi}{3}$, $e^{i\pi/3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ とする。
$z - \gamma = (3+i) - (1+2i) = 2 - i$
$w - \gamma = e^{i\pi/3}(2 - i) = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)(2 - i)$
$= 1 - \dfrac{1}{2}i + \sqrt{3}i - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i^2 = 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\dfrac{1}{2} + \sqrt{3}\right)i$
$= \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2} + \dfrac{-1 + 2\sqrt{3}}{2}i$
$w = \gamma + (w - \gamma) = 1 + 2i + \dfrac{2+\sqrt{3}}{2} + \dfrac{-1+2\sqrt{3}}{2}i$
$= \dfrac{4+\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3+2\sqrt{3}}{2}i$
$w = (1+i)z + 2$ について、$z$ が原点を中心とする半径1の円上を動くとき、$w$ の軌跡を求めよ。
$|z| = 1$ のとき、$w = (1+i)z + 2$ から $z = \dfrac{w - 2}{1 + i}$。
$|z| = 1$ の条件は $\left|\dfrac{w-2}{1+i}\right| = 1$。
$|w - 2| = |1 + i| = \sqrt{2}$
よって $w$ の軌跡は中心 $2$（点 $(2, 0)$）、半径 $\sqrt{2}$ の円。
$w = \alpha z + \beta$ で $z$ が $|z| = r$ の円上にあるとき、$w$ は $|w - \beta| = |\alpha|r$ の円上にあります。中心は $\beta$ に移り、半径は $|\alpha|$ 倍になります。これは1次変換が相似変換であることの直接的な帰結です。
$w = \dfrac{z}{z - 1}$ について、$z$ が虚軸上（$z = ti$, $t \in \mathbb{R}$）を動くとき、$w$ の軌跡を求めよ。
$z = ti$ を代入すると $w = \dfrac{ti}{ti - 1} = \dfrac{ti}{-1 + ti}$。
分母分子に $\overline{-1 + ti} = -1 - ti$ をかけると：
$w = \dfrac{ti(-1 - ti)}{(-1+ti)(-1-ti)} = \dfrac{-ti - t^2 i^2}{1 + t^2} = \dfrac{t^2 - ti}{1 + t^2} = \dfrac{t^2}{1+t^2} - \dfrac{t}{1+t^2}i$
$u = \dfrac{t^2}{1+t^2}$, $v = -\dfrac{t}{1+t^2}$ とおく。
$u = 1 - \dfrac{1}{1+t^2}$ より $\dfrac{1}{1+t^2} = 1 - u$。
$v^2 = \dfrac{t^2}{(1+t^2)^2} = u \cdot (1-u)^2 / t^2 \cdot t^2$... 別の方法で整理しましょう。
$u^2 + v^2 = \dfrac{t^4 + t^2}{(1+t^2)^2} = \dfrac{t^2(t^2+1)}{(1+t^2)^2} = \dfrac{t^2}{1+t^2} = u$
よって $u^2 + v^2 = u$、すなわち $\left(u - \dfrac{1}{2}\right)^2 + v^2 = \dfrac{1}{4}$。
$w$ の軌跡は中心 $\dfrac{1}{2}$、半径 $\dfrac{1}{2}$ の円（ただし $w = 0$（$t = 0$）と $w = 1$（$t \to \pm\infty$）の2点は確認が必要）。
$t = 0$ で $w = 0$（円上）。$t \to \pm\infty$ で $w \to 1$（円上）。よって軌跡は中心 $\dfrac{1}{2}$、半径 $\dfrac{1}{2}$ の円全体。
正三角形 $ABC$ の頂点 $A$, $B$ がそれぞれ $\alpha$, $\beta$ で表されるとき、頂点 $C$ を $\alpha$, $\beta$ で表せ（2つの解がある）。
$C$ は $A$ を中心に $B$ を $\pm 60°$ 回転した点である。
$\gamma - \alpha = e^{\pm i\pi/3}(\beta - \alpha)$
$\gamma = \alpha + e^{\pm i\pi/3}(\beta - \alpha)$
$e^{i\pi/3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$, $e^{-i\pi/3} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ を代入すると：
$$\gamma = \alpha + \left(\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)(\beta - \alpha)$$
$$= \frac{1}{2}(\alpha + \beta) \pm \frac{\sqrt{3}}{2}(\beta - \alpha)i$$
$\dfrac{\alpha + \beta}{2}$ は $AB$ の中点、$\dfrac{\sqrt{3}}{2}|\beta - \alpha|$ は正三角形の高さに対応します。
正三角形の頂点を回転で求めるのは、複素数平面の典型問題です。「ある点を中心に別の点を回転」という操作が $w - \gamma = e^{i\theta}(z - \gamma)$ の1行で書けることが、複素数の強みです。$\pm$ の2通りが $AB$ の両側にある三角形に対応します。