3点が一直線上にあるか（共線）、4点が同一円周上にあるか（共円）── これらの判定は幾何学の基本問題ですが、複素数を使うと驚くほど簡潔に記述できます。偏角の条件、そして大学数学にもつながる「複比」の概念を通じて、図形の位置関係を代数的に判定する力を身につけましょう。
C-3-7 で見たように、3点 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が一直線上にある（共線である）条件は、$\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が実数であることでした。この条件を偏角で表現してみましょう。
$\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が実数であるとは、この複素数の偏角が $0$ または $\pi$（つまり正の実数か負の実数）であることを意味します。
3点 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が一直線上にある
$$\Longleftrightarrow \quad \arg\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = 0 \text{ または } \pi$$
$$\Longleftrightarrow \quad \frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} \in \mathbb{R}$$
※ 幾何的には「$\alpha$ から $\beta$ への方向と $\alpha$ から $\gamma$ への方向が同じ（または反対）」ということです。
$\arg\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \arg(\gamma - \alpha) - \arg(\beta - \alpha)$ は、$\alpha$ から見た $\beta$ と $\gamma$ の方向の差です。この差が $0$（同じ方向）か $\pi$（反対方向）であれば、3点は一直線上にあります。
偏角の差が $0$ でも $\pi$ でもなければ、3点は三角形を作ります。
✗ 誤：$\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が実数かどうかを調べれば常にOK
○ 正：$\alpha = \beta$ のとき分母が $0$ になるので、3点が異なることを前提に議論する必要がある
共線条件の適用にあたっては、3点が相異なることを事前に確認しましょう。
偏角による条件は直観的ですが、計算では「$w$ が実数 $\Leftrightarrow$ $w = \bar{w}$」を使った代数的な表現の方が便利です。
3点 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が一直線上にある条件：
$$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \overline{\left(\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}\right)} = \frac{\bar{\gamma} - \bar{\alpha}}{\bar{\beta} - \bar{\alpha}}$$
これを整理すると：
$$(\gamma - \alpha)(\bar{\beta} - \bar{\alpha}) = (\bar{\gamma} - \bar{\alpha})(\beta - \alpha)$$
※ 行列式の形でも書けます（後述）。
共線条件は、次の行列式が $0$ であることとも同値です。
$$\begin{vmatrix} \alpha & \bar{\alpha} & 1 \\ \beta & \bar{\beta} & 1 \\ \gamma & \bar{\gamma} & 1 \end{vmatrix} = 0$$
この行列式を展開すると、$\alpha(\bar{\beta} - \bar{\gamma}) - \bar{\alpha}(\beta - \gamma) + (\beta\bar{\gamma} - \bar{\beta}\gamma) = 0$ となり、先ほどの条件と同値です。
✗ 誤：行列式の書き方を暗記して機械的に適用する
○ 正：「$\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が実数」から出発し、必要に応じて行列式に変換する
行列式の形は便利ですが、意味を忘れると符号ミスの温床になります。常に「比が実数」という幾何的意味に立ち返りましょう。
上の行列式の値の絶対値を $2$ で割ったものは、3点 $\alpha, \beta, \gamma$ を頂点とする三角形の面積の $2$ 倍に対応します。行列式が $0$ ということは面積が $0$、つまり3点が「潰れた三角形」＝一直線上にあることを意味しています。これはベクトルの外積（$\mathbb{R}^2$ でのスカラー三重積）の考え方と同じです。
4点 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ が同一円周上にある（共円である）条件は、円周角の定理を複素数で表現することで得られます。
C-3-6 で学んだように、$\arg\dfrac{z - \alpha}{z - \beta}$ は点 $z$ から $\alpha$, $\beta$ を見込む角（円周角）に対応します。
4点 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ が同一円周上にあるとき、弦 $\alpha\beta$ に対する円周角は等しいので：
$$\arg\frac{\gamma - \alpha}{\gamma - \beta} = \arg\frac{\delta - \alpha}{\delta - \beta} \quad \text{（$\gamma$, $\delta$ が同じ側にある場合）}$$
これは $\dfrac{\gamma - \alpha}{\gamma - \beta} \div \dfrac{\delta - \alpha}{\delta - \beta}$ の偏角が $0$ または $\pi$、すなわちこの値が実数であることを意味します。
4点 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ が同一円周上にある（または一直線上にある）条件：
$$\frac{(\gamma - \alpha)(\delta - \beta)}{(\gamma - \beta)(\delta - \alpha)} \in \mathbb{R}$$
※ この値は4点の「複比」と呼ばれます。複比が実数であることが共円（または共線）の条件です。
4点が共円である ⇔ 対辺が見込む円周角が等しい ⇔ 複比が実数。
これは円周角の定理を複素数の言葉で言い換えたものです。「共線 ＝ 比が実数」の自然な一般化が「共円 ＝ 複比が実数」なのです。
✗ 誤：複比が実数なら4点は必ず同一円周上にある
○ 正：4点が一直線上にある場合も複比は実数になる（直線は「半径無限大の円」）
複比が実数であることは「同一円周上 または 一直線上」を意味します。円と直線を区別したい場合は、追加の確認が必要です。
複比（cross ratio）は、4つの複素数に対して定義される量で、射影幾何学の基本概念です。
4つの複素数 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ の複比：
$$(\alpha, \beta; \gamma, \delta) = \frac{(\alpha - \gamma)(\beta - \delta)}{(\alpha - \delta)(\beta - \gamma)}$$
※ 定義は文献によって順序が異なることがあります。入試では定義が問題文中に与えられるので、その定義に従いましょう。
複比がメビウス変換で不変であるという点が、最も重要な性質です。
$w = \dfrac{az + b}{cz + d}$ で $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ がそれぞれ $\alpha', \beta', \gamma', \delta'$ に写されるとき：
$$(\alpha', \beta'; \gamma', \delta') = (\alpha, \beta; \gamma, \delta)$$
メビウス変換は「円と直線の全体」を保存するので、4点が共円（または共線）であれば、変換後も共円（または共線）です。
複比が実数であること ＝ 共円（または共線）であることなので、「共円性を保存する」＝「複比の実数性を保存する」です。実は複比の値そのものが保存されるのです。
証明は $w = \dfrac{az+b}{cz+d}$ を代入して各因子を計算し、$ad - bc$ の因子が約分されることを確認すれば得られます。
メビウス変換で保存される量（不変量）が複比です。角度や距離はメビウス変換で変わりますが、複比は変わりません。
高校数学では「複比が実数かどうか」が共円判定に使えるという点が最も実用的です。
✗ 誤：4点の順番を適当に入れて複比を計算する
○ 正：複比は4点の順序に依存する。順序を入れ替えると一般に値が変わる
ただし「複比が実数かどうか」は4点の順序に依存しません（順序を変えると複比は変わりますが、実数であることは保存されます）。共円判定には順序を気にしなくてよいのです。
射影幾何学では、射影変換（メビウス変換の一般化）で保存される量は複比だけです。つまり「長さ」「角度」「比」は射影変換で保存されませんが、「複比」は保存される ── この事実が射影幾何の基礎を成しています。大学数学の射影幾何学では、複比を出発点として多くの美しい定理が証明されます。
共線条件と共円条件を入試問題で活用するための典型パターンを整理します。
$\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ を計算して実数であることを示します。具体的には、この値の虚部が $0$ であることを確認するか、$w = \bar{w}$ を示します。
$\dfrac{(\gamma - \alpha)(\delta - \beta)}{(\gamma - \beta)(\delta - \alpha)}$ を計算して実数であることを示します。
「四角形 $ABCD$ が円に内接する ⇔ 4頂点が共円」という対応を使い、座標を複素数で表して共円条件を確認します。
✗ 誤：計算の途中で虚部を間違え、「共円ではない」と結論する
○ 正：分母を有理化して実部・虚部を丁寧に計算する。虚部 $= 0$ を確認
共円判定の計算は複雑になりやすいので、$z = x + yi$ に戻して確認するのも有効です。
| 判定対象 | 条件 | 幾何的意味 |
|---|---|---|
| 3点 $\alpha, \beta, \gamma$ が共線 | $\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} \in \mathbb{R}$ | 方向が同じまたは反対 |
| 4点 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ が共円 | $\dfrac{(\gamma-\alpha)(\delta-\beta)}{(\gamma-\beta)(\delta-\alpha)} \in \mathbb{R}$ | 円周角が等しい |
4点 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ が共円のとき、トレミーの定理 $|\alpha - \gamma||\beta - \delta| = |\alpha - \beta||\gamma - \delta| + |\alpha - \delta||\beta - \gamma|$ が成り立ちます。これは複比が実数であること（特に正の実数になる配置）から導くことができ、複素数による証明は座標計算に比べて非常に簡潔です。
Q1. 3点 $1$, $2+i$, $3+2i$ は一直線上にあるか。
Q2. 共線条件を偏角で表すとどうなるか。
Q3. 4点 $0, 1, i, 1+i$ は同一円周上にあるか。
Q4. 複比のメビウス不変性とは何か。
Q5. $\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が純虚数のとき、$\angle\alpha$ は何度か。
$\alpha = 1 + 2i$, $\beta = 3 + 5i$, $\gamma = -1 - i$ とする。3点 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が一直線上にあることを示せ。
$\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \dfrac{(-1-i) - (1+2i)}{(3+5i) - (1+2i)} = \dfrac{-2 - 3i}{2 + 3i}$
分母を有理化：$\dfrac{(-2-3i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)} = \dfrac{-4+6i-6i+9i^2}{4+9} = \dfrac{-4-9}{13} = \dfrac{-13}{13} = -1$
$-1$ は実数なので、3点は一直線上にある。
4点 $\alpha = 0$, $\beta = 2$, $\gamma = 1 + \sqrt{3}i$, $\delta = -1 + \sqrt{3}i$ が同一円周上にあることを示せ。
$\dfrac{(\gamma - \alpha)(\delta - \beta)}{(\gamma - \beta)(\delta - \alpha)} = \dfrac{(1+\sqrt{3}i)(-3+\sqrt{3}i)}{(-1+\sqrt{3}i)(-1+\sqrt{3}i)}$
分子：$(1+\sqrt{3}i)(-3+\sqrt{3}i) = -3 + \sqrt{3}i - 3\sqrt{3}i + 3i^2 = -3 - 3 + (-3\sqrt{3} + \sqrt{3})i = -6 - 2\sqrt{3}i$
分母：$(-1+\sqrt{3}i)^2 = 1 - 2\sqrt{3}i + 3i^2 = 1 - 3 - 2\sqrt{3}i = -2 - 2\sqrt{3}i$
$\dfrac{-6 - 2\sqrt{3}i}{-2 - 2\sqrt{3}i} = \dfrac{6 + 2\sqrt{3}i}{2 + 2\sqrt{3}i}$
有理化：$\dfrac{(6+2\sqrt{3}i)(2-2\sqrt{3}i)}{(2+2\sqrt{3}i)(2-2\sqrt{3}i)} = \dfrac{12 - 12\sqrt{3}i + 4\sqrt{3}i - 4\cdot 3 i^2}{4 + 12} = \dfrac{12 + 12 + (-12\sqrt{3}+4\sqrt{3})i}{16}$
$= \dfrac{24 - 8\sqrt{3}i}{16} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$
これは実数ではない... 再計算しましょう。
$\delta - \beta = -1 + \sqrt{3}i - 2 = -3 + \sqrt{3}i$。$\gamma - \beta = 1 + \sqrt{3}i - 2 = -1 + \sqrt{3}i$。$\delta - \alpha = -1 + \sqrt{3}i$。
$\dfrac{(\gamma - \alpha)(\delta - \beta)}{(\gamma - \beta)(\delta - \alpha)} = \dfrac{(1+\sqrt{3}i)(-3+\sqrt{3}i)}{(-1+\sqrt{3}i)(-1+\sqrt{3}i)}$
分子：$-3 + \sqrt{3}i - 3\sqrt{3}i + \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot i^2 = -3 - 3 + (\sqrt{3} - 3\sqrt{3})i = -6 - 2\sqrt{3}i$
分母：$(-1+\sqrt{3}i)(-1+\sqrt{3}i) = 1 - 2\sqrt{3}i - 3 = -2 - 2\sqrt{3}i$
$\dfrac{-6 - 2\sqrt{3}i}{-2 - 2\sqrt{3}i} = \dfrac{6 + 2\sqrt{3}i}{2 + 2\sqrt{3}i} = \dfrac{2(3+\sqrt{3}i)}{2(1+\sqrt{3}i)} = \dfrac{3+\sqrt{3}i}{1+\sqrt{3}i}$
有理化：$\dfrac{(3+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)}{(1+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)} = \dfrac{3-3\sqrt{3}i+\sqrt{3}i-3i^2}{1+3} = \dfrac{3+3-2\sqrt{3}i}{4} = \dfrac{6-2\sqrt{3}i}{4}$
これも実数ではありません。実は $\delta = -1+\sqrt{3}i$ を $\delta = 1-\sqrt{3}i$ に修正すれば共円です。元の4点の配置を確認すると、$0, 2, 1+\sqrt{3}i$ は $|z-1| = 2$ の円上にありますが $-1+\sqrt{3}i$ はこの円上にないため、問題設定を修正します。
$\delta = 1 - \sqrt{3}i$ とすると $|1-\sqrt{3}i - 1| = \sqrt{3}$ で $|z-1| = 2$ 上ではない。
改めて $0, 2, 1+\sqrt{3}i$ を通る円を求めると中心 $1$, 半径 $\sqrt{1+3} = 2$ で $|z-1| = 2$。4番目の点として $\delta = 2+2\sqrt{3}i$ を取れば... いえ、直接確認しましょう。
$|0-1| = 1 \neq 2$。再確認：$|\alpha - 1| = |0-1| = 1$。3点 $0, 2, 1+\sqrt{3}i$ について外接円を求め直すと、中心を $a+bi$ として $a^2+b^2 = (a-2)^2+b^2 = (a-1)^2+(b-\sqrt{3})^2$。$a^2 = a^2-4a+4$ より $a = 1$。$1+b^2 = 0+(b-\sqrt{3})^2 = b^2-2\sqrt{3}b+3$ より $1 = -2\sqrt{3}b+3$, $b = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$。半径 $r = \sqrt{1+\frac{1}{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$。
$\delta = 1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}i+\dfrac{2}{\sqrt{3}}e^{i\cdot 5\pi/3}$ ... 計算が複雑なので別の例に置き換えます。
$4$ 点 $1, i, -1, -i$（単位円上）を使います。
$\dfrac{(-1-1)(-i-i)}{(-1-i)(-i-1)} = \dfrac{(-2)(-2i)}{(-1-i)(-1-i)} = \dfrac{4i}{(1+i)^2} = \dfrac{4i}{2i} = 2$
$2$ は実数なので4点は共円。（実際、単位円上の4点。）
複素数 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が $\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = ki$（$k$ は $0$ でない実数）を満たすとき、$\triangle\alpha\beta\gamma$ はどんな三角形か。
$\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = ki$ の偏角は $\arg(ki) = \pm\dfrac{\pi}{2}$。
これは $\alpha$ から見た $\gamma$ の方向と $\beta$ の方向のなす角が $90°$ であることを意味する。
よって $\angle\beta\alpha\gamma = 90°$ であり、$\triangle\alpha\beta\gamma$ は$\alpha$ を直角の頂点とする直角三角形。
また $|k|$ が辺の比 $\dfrac{|\gamma - \alpha|}{|\beta - \alpha|}$ を与える。$|k| = 1$ なら直角二等辺三角形。
$z_1 = 2$, $z_2 = -2$, $z_3 = 1 + \sqrt{3}i$ とする。点 $z_4$ が $z_1$, $z_2$, $z_3$ と同一円周上にあるための条件を、$z_4$ の偏角条件として表せ。また、$z_4 = a + bi$（$b > 0$）が実軸上にないとき、$z_4$ が満たす円の方程式を求めよ。
まず $z_1 = 2, z_2 = -2, z_3 = 1+\sqrt{3}i$ を通る円を求める。
$|z - c| = r$ とおいて3点を代入。$c = a_0 + b_0 i$ として：
$|2 - c|^2 = |-2 - c|^2$ より $(2-a_0)^2 + b_0^2 = (-2-a_0)^2 + b_0^2$、$-4a_0 + 4 = 4a_0 + 4$、$a_0 = 0$。
$|2 - b_0 i|^2 = |1+\sqrt{3}i - b_0 i|^2$ より $4 + b_0^2 = 1 + ({\sqrt{3} - b_0})^2 = 1 + 3 - 2\sqrt{3}b_0 + b_0^2$
$4 = 4 - 2\sqrt{3}b_0$ より $b_0 = 0$。中心は原点、半径 $r = 2$。
よって円は $|z| = 2$。
共円条件：$z_4$ が $|z| = 2$ 上にある ⇔ $|z_4| = 2$。
偏角条件として表すと：$\arg\dfrac{(z_3 - z_1)(z_4 - z_2)}{(z_3 - z_2)(z_4 - z_1)}$ が $0$ または $\pi$。
$z_3 - z_1 = -1+\sqrt{3}i$, $z_3 - z_2 = 3+\sqrt{3}i$ より：
$\arg\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{3+\sqrt{3}i} = \arg\dfrac{(-1+\sqrt{3}i)(3-\sqrt{3}i)}{(3+\sqrt{3}i)(3-\sqrt{3}i)} = \arg\dfrac{-3+\sqrt{3}i+3\sqrt{3}i-3i^2}{9+3}$
$= \arg\dfrac{0+4\sqrt{3}i}{12} = \arg\dfrac{\sqrt{3}}{3}i = \dfrac{\pi}{2}$
よって $z_3$ から弦 $z_1 z_2$ を見込む角は $\dfrac{\pi}{2}$。
$z_4$（$b > 0$）が同じ側の弧上にあるとき $\arg\dfrac{z_4 - z_1}{z_4 - z_2} = \dfrac{\pi}{2}$、反対側なら $-\dfrac{\pi}{2}$。
円の方程式は $|z_4| = 2$、すなわち $a^2 + b^2 = 4$。