空間ベクトルの全技法を横断する総合問題に取り組みます。四面体における垂心や外接球、直線と平面の位置関係、球面上の点の軌跡など、複数の概念を組み合わせる問題が中心です。入試本番では「何をベクトルで表すか」の設計力が合否を分けます。問題を読んだら、まず戦略を考えてから式を立てる習慣をつけましょう。
平面における三角形の五心（重心・外心・内心・垂心・傍心）は空間の四面体にも拡張されます。ただし、四面体では三角形ほど単純な性質が成り立つとは限りません。
四面体 $OABC$ の重心 $G$ は、4頂点の位置ベクトルの平均として定義されます：
$$\overrightarrow{OG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$$
ここで始点を $O$ にとり $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ としました。重心は「各頂点とそれに対する面の重心を結ぶ線分を $3:1$ に内分する点」でもあります。
重心は「質量の均等な4点の釣り合い点」です。対面の重心と頂点を結ぶ4本の中線はすべて1点で交わり、その点が重心です。分割比 $3:1$（頂点側が長い）は三角形の $2:1$ の自然な拡張です。
四面体の外接球の中心（外心）$K$ は、4頂点から等距離にある点です。$|K - O|^2 = |K - A|^2 = |K - B|^2 = |K - C|^2$ から、$\overrightarrow{OK} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ とおいて3つの等式を連立すれば求まります。
$|K - O|^2 = |K - A|^2$ を展開すると：
$$|\overrightarrow{OK}|^2 = |\overrightarrow{OK} - \vec{a}|^2 = |\overrightarrow{OK}|^2 - 2\overrightarrow{OK} \cdot \vec{a} + |\vec{a}|^2$$
よって $2\overrightarrow{OK} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$。同様に $2\overrightarrow{OK} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$、$2\overrightarrow{OK} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$ が得られます。
$\overrightarrow{OK} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ とおくと、外心の条件は：
$$\overrightarrow{OK} \cdot \vec{a} = \frac{|\vec{a}|^2}{2}, \quad \overrightarrow{OK} \cdot \vec{b} = \frac{|\vec{b}|^2}{2}, \quad \overrightarrow{OK} \cdot \vec{c} = \frac{|\vec{c}|^2}{2}$$
※ これは3元1次連立方程式になります。$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ の内積の値を代入して解きます。
✗ 誤：正四面体でなくても外心は重心と一致すると思い込む
○ 正：外心と重心が一致するのは正四面体など特殊な場合に限られる
三角形では正三角形のときに限り五心が一致しますが、四面体でも同様です。一般の四面体では外心は重心と異なる位置にあります。
4つの面がすべて合同な三角形である四面体を等面四面体と呼びます。等面四面体では、対辺の中点を結ぶ3本の線分が互いに直交し1点で交わるという美しい性質があります。
具体的には、$|\overrightarrow{OA}|^2 = |\overrightarrow{BC}|^2$（対辺の長さが等しい）のとき、$\vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$（対辺が直交する条件の一部）が成り立ちます。これは $|\vec{a}|^2 = |\vec{c} - \vec{b}|^2$ と同値ではないことに注意してください。
三角形には必ず垂心が存在しますが、四面体で「各頂点から対面に下ろした垂線がすべて1点で交わる」のは一般には成り立ちません。この性質が成り立つ四面体を直交四面体（isogonal tetrahedron）と呼びます。対辺同士がすべて直交する四面体がこの条件を満たします。
空間における球は「ある点から等距離にある点の集合」です。この定義をベクトルの言葉で書き直すと、多くの問題が統一的に解けます。
中心 $C$（位置ベクトル $\vec{c}$）、半径 $r$ の球面上の点 $P$（位置ベクトル $\vec{p}$）は：
$$|\vec{p} - \vec{c}|^2 = r^2$$
座標で書けば $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$ です。この式を展開すると：
$$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + (a^2 + b^2 + c^2 - r^2) = 0$$
$x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0$ の形が与えられたら、平方完成して中心と半径を読み取ります。中心は $\left(-\dfrac{A}{2}, -\dfrac{B}{2}, -\dfrac{C}{2}\right)$、半径は $r = \sqrt{\dfrac{A^2 + B^2 + C^2}{4} - D}$ です。
$\dfrac{A^2 + B^2 + C^2}{4} - D > 0$ でないと球面は存在しません。
球面と平面の交わりは円になります（交わりが存在する場合）。この円の中心と半径を求める問題は、「球の中心から平面への垂線の足」が円の中心であるという事実を使います。
球の中心 $C$ から平面 $\alpha$ への距離を $d$、球の半径を $R$ とすると、交わりの円の半径 $r$ は三平方の定理より：
$$r = \sqrt{R^2 - d^2}$$
✗ 誤：球と平面の交わりを楕円や曲線と勘違いする
○ 正：球を平面で切った切り口は常に円（点または空集合を含む）
球の対称性から、切り口は必ず円になります。ただし $d = R$ のとき接する（点）、$d > R$ のとき交わらないことを確認しましょう。
同一平面上にない4点を通る球面は唯一つに決まります。これは前節の外接球の問題と同じです。座標を設定して球の方程式に4点を代入し、連立方程式を解きます。
直線 $\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}$ と球 $|\vec{p} - \vec{c}|^2 = r^2$ の交点は、代入して $t$ の2次方程式を解けば求まります。判別式が正なら2交点、$0$ なら接線、負なら交わりなしです。この手法は光線追跡（レイトレーシング）というCGの基本技術でも使われています。
入試の総合問題では、直線と平面に関する複数の操作（交点、射影、距離）を組み合わせて解く必要があります。ここでは典型的な融合パターンを整理します。
点 $P$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足 $H$ を経由して、$P$ の鏡映点（対称点）$P'$ を求める問題です。$H$ は正射影で求まり、$P' = 2H - P$（$H$ が中点であることから）です。
Step 1：平面の法線ベクトル $\vec{n}$ を特定する
Step 2：$\overrightarrow{PH} = -\dfrac{(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|^2}\vec{n}$（$\vec{a}$ は平面上の点）
Step 3：$\overrightarrow{PP'} = 2\overrightarrow{PH}$ より $\vec{p'} = \vec{p} + 2\overrightarrow{PH}$
空間における「点 $P$ から直線 $\ell$ への垂線の足 $H$」は正射影そのものです。直線が点 $A$ を通り方向ベクトル $\vec{d}$ をもつとき：
$$\overrightarrow{AH} = \text{proj}_{\vec{d}}\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AP} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|^2}\vec{d}$$
✗ 誤：点から直線への距離に点と平面の公式を使う
○ 正：直線の場合は $d = \sqrt{|\overrightarrow{AP}|^2 - |\text{proj}_{\vec{d}}\overrightarrow{AP}|^2}$（三平方の定理）
「直線」と「平面」では公式が異なります。直線への距離は正射影の「残り」（垂直成分の大きさ）です。
ねじれの位置にある2直線の最短距離は、共通垂線の長さです。共通垂線の方向は、両直線の方向ベクトルの両方に垂直な方向です。前の記事で扱ったこの手法は、総合問題でも頻出です。
空間における距離の問題は「点⇔点」「点⇔直線」「点⇔平面」「直線⇔直線」「直線⇔平面」「平面⇔平面」の6パターンに分類されます。どのパターンかを判別し、対応する手法を選ぶことが出発点です。
大学数学では「距離」をより一般的に定義します。ベクトル空間における距離はノルム（大きさの一般化）から導かれ、内積空間ではノルムが内積で定義されます。高校で学ぶ距離の計算は、すべてユークリッドノルム $\|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}}$ に基づいています。
「条件を満たす点の集合」を求める問題、すなわち軌跡の問題は、空間ベクトルにおいても重要なテーマです。
$\overrightarrow{OP} \cdot \vec{a} = k$（定数）を満たす点 $P$ の軌跡は、法線ベクトル $\vec{a}$ をもつ平面です。$\overrightarrow{OP} \cdot \vec{a} = k$ を成分で書けば $a_1 x + a_2 y + a_3 z = k$ となり、これは確かに平面の方程式です。
$|PA| = |PB|$ を満たす点 $P$ の軌跡は、線分 $AB$ の垂直二等分面です。ベクトルで表すと：
$$|\vec{p} - \vec{a}|^2 = |\vec{p} - \vec{b}|^2$$
展開すると $-2\vec{p} \cdot \vec{a} + |\vec{a}|^2 = -2\vec{p} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$ すなわち $2\vec{p} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2$ となり、これは法線ベクトル $\vec{b} - \vec{a}$ の平面です。
✗ 誤：空間の軌跡を「直線」や「曲線」だと思い込む
○ 正：1つの条件式は面を、2つの条件式の交わりは曲線（直線）を定める
空間では1つの等式は面（曲面）を定めます。「曲線」が得られるのは2つの条件の交わりとして初めてです。
$|\vec{p} - \vec{c}|^2 = r^2$ かつ $\vec{p} \cdot \vec{n} = k$ を満たす点 $P$ の軌跡は、球面と平面の交わりとして円になります。このように、空間の軌跡問題では「球面＋平面 = 円」「平面＋平面 = 直線」という組み合わせパターンを押さえておきましょう。
空間（3次元）で条件式が1つなら面、2つなら曲線、3つなら点です。条件式が1つのとき「軌跡は曲線です」と書いてしまうのは空間の問題でよくある誤りです。条件の数と次元の関係を常に意識しましょう。
空間ベクトルの総合問題では、いきなり計算を始めるのではなく、方針を立てる段階に十分な時間をかけることが重要です。
座標設定が有利な場合：直方体、正四面体に座標をおける場合、球面の方程式を使う場合
基底ベクトルが有利な場合：内積のみで処理できる場合、辺の長さと角度のみが与えられている場合
パラメータ表示が有利な場合：直線と平面の交点、軌跡の問題
空間ベクトルの計算は量が多くなりがちです。以下の工夫で効率化しましょう。
✗ 誤：正四面体に直交座標を無理に設定して座標が複雑になる
○ 正：正四面体では $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を基底にし内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \dfrac{a^2}{2}$ で処理するのが定石
座標設定は「計算を楽にする」ためのものです。設定後の座標が複雑になるなら、別のアプローチを考え直しましょう。
座標を使わずにベクトルの内積だけで幾何学的性質を証明する手法を座標なし幾何学（coordinate-free geometry）と呼びます。この考え方は、アインシュタインの一般相対性理論における微分幾何学の基礎でもあります。「座標に依存しない記述」は現代数学の基本理念です。
Q1. 四面体 $OABC$ の重心の位置ベクトルは $\overrightarrow{OG} = \dfrac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{?}$。$?$ に入る数は？
Q2. 球面 $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z + 5 = 0$ の中心と半径は？
Q3. 点 $P(3, 1, 2)$ の平面 $z = 0$ に関する鏡映点（対称点）は？
Q4. 空間で $|PA| = |PB|$ を満たす点 $P$ の軌跡はどんな図形？
Q5. 球の中心から平面までの距離が $d$、球の半径が $R$ のとき、球と平面の交わりの円の半径は？
正四面体 $OABC$ の1辺の長さを $a$ とする。外接球の半径 $R$ を求めよ。
$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とすると、$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = a$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \dfrac{a^2}{2}$
対称性より外心は $\overrightarrow{OK} = k(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ と書ける。
条件 $\overrightarrow{OK} \cdot \vec{a} = \dfrac{|\vec{a}|^2}{2}$ に代入すると：
$k(\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = \dfrac{a^2}{2}$
$k\left(a^2 + \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{a^2}{2}\right) = \dfrac{a^2}{2}$ より $2ka^2 = \dfrac{a^2}{2}$ すなわち $k = \dfrac{1}{4}$
$\overrightarrow{OK} = \dfrac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$（重心と一致）
$R^2 = |\overrightarrow{OK}|^2 = \dfrac{1}{16}(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{b} \cdot \vec{c} + 2\vec{c} \cdot \vec{a})$
$= \dfrac{1}{16}(3a^2 + 3a^2) = \dfrac{6a^2}{16} = \dfrac{3a^2}{8}$
$$R = \frac{a\sqrt{6}}{4}$$
球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ と平面 $x + y + z = 3$ の交わりの円について、
(1) 円の中心の座標を求めよ。
(2) 円の半径を求めよ。
(1) 球の中心は原点 $O(0, 0, 0)$。平面の法線ベクトルは $\vec{n} = (1, 1, 1)$。
$O$ から平面への垂線の足が円の中心 $H$ です。
直線 $OH$：$\vec{p} = t(1, 1, 1)$。平面の条件に代入：$t + t + t = 3$ より $t = 1$。
$$H = (1, 1, 1)$$
(2) $OH = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$、球の半径 $R = 3$。
$$r = \sqrt{R^2 - OH^2} = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6}$$
四面体 $OABC$ で $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とする。辺 $OA$, $OB$, $OC$ をそれぞれ $1:2$ に内分する点を $P, Q, R$ とする。四面体 $OPQR$ の体積は四面体 $OABC$ の体積の何倍か。
$\overrightarrow{OP} = \dfrac{1}{3}\vec{a}$, $\overrightarrow{OQ} = \dfrac{1}{3}\vec{b}$, $\overrightarrow{OR} = \dfrac{1}{3}\vec{c}$
四面体 $OPQR$ の3辺は $\dfrac{1}{3}\vec{a}$, $\dfrac{1}{3}\vec{b}$, $\dfrac{1}{3}\vec{c}$ であり、四面体 $OABC$ の3辺 $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ をそれぞれ $\dfrac{1}{3}$ 倍したものです。
体積は3辺の長さの積に比例するので（スカラー三重積の性質）：
$$\frac{V_{OPQR}}{V_{OABC}} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$$
3辺をそれぞれ $k$ 倍すると体積は $k^3$ 倍になります。これは「相似比 $k$ のとき体積比は $k^3$」という相似の性質のベクトル版です。スカラー三重積 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ の各ベクトルに $\dfrac{1}{3}$ がかかるため、三重積は $\left(\dfrac{1}{3}\right)^3$ 倍になります。
四面体 $OABC$ において、$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 1$ とする。平面 $ABC$ 上の点 $P$ で $|OP|^2 + |PA|^2 + |PB|^2 + |PC|^2$ を最小にする $P$ の位置ベクトルと、その最小値を求めよ。
$\overrightarrow{OP} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$（$s + t + u = 1$）とする。
$|OP|^2 = |\overrightarrow{OP}|^2$, $|PA|^2 = |\overrightarrow{OP} - \vec{a}|^2$ 等を展開して：
$f = |\overrightarrow{OP}|^2 + |\overrightarrow{OP} - \vec{a}|^2 + |\overrightarrow{OP} - \vec{b}|^2 + |\overrightarrow{OP} - \vec{c}|^2$
$= 4|\overrightarrow{OP}|^2 - 2\overrightarrow{OP} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2$
$= 4\left|\overrightarrow{OP} - \dfrac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}\right|^2 - \dfrac{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2}{4} + 12$
これは $\overrightarrow{OP} = \dfrac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$ のとき最小ですが、これは四面体の重心 $G$ であり、一般に平面 $ABC$ 上にはありません。
平面 $ABC$ 上の点で最小にするには、$G$ から平面 $ABC$ への射影点 $H$ が求める点です。
対称性（内積がすべて等しい）から、$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ は面 $ABC$ の法線方向の成分と面上の成分に分解されます。面 $ABC$ 上での最小点は三角形 $ABC$ の重心で $\overrightarrow{OP} = \dfrac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$（$s = t = u = \dfrac{1}{3}$）です。
$f$ に代入：
$|\overrightarrow{OP}|^2 = \dfrac{1}{9}(3 \cdot 4 + 6 \cdot 1) = \dfrac{18}{9} = 2$
$\overrightarrow{OP} \cdot \vec{a} = \dfrac{1}{3}(4 + 1 + 1) = 2$, 同様に $\overrightarrow{OP} \cdot \vec{b} = 2$, $\overrightarrow{OP} \cdot \vec{c} = 2$
$f = 4 \cdot 2 - 2(2 + 2 + 2) + 12 = 8 - 12 + 12 = 8$
$$\overrightarrow{OP} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}, \quad \text{最小値} = 8$$
「$n$ 点からの距離の2乗の和を最小にする点は重心」という一般的な原理が背景にあります。ただし制約条件（平面 $ABC$ 上）があるため、無制約の最小点（四面体の重心）を制約面に射影する必要があります。