球は「中心から等距離にある点の集合」という、最もシンプルな定義で決まる立体です。この定義をベクトルや座標で表現すると球の方程式が得られ、平面との交わりや接触条件、直線との共有点など、多彩な問題に対応できるようになります。円が2次元で果たす役割を、球が3次元で担います。
2次元で円の方程式を「中心と半径」から導出したのと同じ発想で、3次元の球の方程式を考えましょう。
中心 $C(a, b, c)$、半径 $r$ の球面上の点 $P(x, y, z)$ は、$CP = r$ を満たします。両辺を2乗すると：
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$$
※ 中心 $(a, b, c)$、半径 $r$ の球。2次元の円の方程式 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ の自然な拡張です。
球の方程式 $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2$ は、ベクトルで書けば $|\vec{r} - \vec{c}|^2 = r^2$、すなわち「中心 $\vec{c}$ からの距離が $r$」という条件そのものです。
球に限らず、空間図形の多くは「距離の条件」で定義されます。円は「1点からの距離が一定」、球も同じ。楕円は「2点からの距離の和が一定」です。距離条件を方程式に翻訳することが、解析幾何学の基本スキルです。
✗ 球と球面を同じものとして扱う
○ 球面は表面（殻）、球は内部を含む立体
$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2$ は球面の方程式です。球（内部を含む）は $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 \le r^2$ で表されます。入試では文脈から判断しますが、厳密には使い分けが必要です。
球の標準形を展開すると、$x, y, z$ の2次式になります。逆に、2次式が球を表すかどうかを判定する方法を学びましょう。
標準形を展開すると：
$$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + (a^2 + b^2 + c^2 - r^2) = 0$$
$l = -2a$, $m = -2b$, $n = -2c$, $k = a^2 + b^2 + c^2 - r^2$ とおくと：
$$x^2 + y^2 + z^2 + lx + my + nz + k = 0$$
中心：$\left(-\dfrac{l}{2},\; -\dfrac{m}{2},\; -\dfrac{n}{2}\right)$
半径：$r = \sqrt{\dfrac{l^2 + m^2 + n^2}{4} - k}$
※ $\dfrac{l^2+m^2+n^2}{4} - k > 0$ のとき球を表す。$= 0$ なら1点、$< 0$ なら実在しない。
一般形から標準形に戻すには、$x$, $y$, $z$ それぞれについて平方完成します。たとえば $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z + 5 = 0$ は：
$$(x-2)^2 + (y+3)^2 + (z-1)^2 = 4 + 9 + 1 - 5 = 9$$
よって中心 $(2, -3, 1)$、半径 $3$ の球です。
✗ $2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 4x + 6 = 0$ をそのまま平方完成する
○ まず全体を $2$ で割って $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 3 = 0$ としてから平方完成する
球の方程式では $x^2, y^2, z^2$ の係数がすべて等しいことが必要です（等しくなければ楕円体などになる）。まず係数を $1$ に揃えてから処理しましょう。
$x^2, y^2, z^2$ の係数がすべて等しければ球、異なれば楕円体、符号が混在すれば双曲面や放物面になります。大学の多変数関数論や微分幾何学では、これらを2次曲面として統一的に分類します。球は2次曲面の中で最も対称性が高い特別なケースです。
球を平面で切ると、その断面は円（または1点、または空集合）になります。この事実を定量的に扱う方法を見ていきましょう。
球の中心 $C$ から平面 $\alpha$ への垂線の足を $H$ とします。平面 $\alpha$ と球面の交わり上の任意の点 $P$ について、$CH \perp HP$ より三平方の定理から $HP = \sqrt{r^2 - CH^2}$ は一定です。
つまり断面上の点は $H$ から等距離にあるので、断面は $H$ を中心とする円になります。
球の中心 $C$ から平面 $\alpha$ への距離を $d$ とするとき、交円の半径 $\rho$ は：
$$\rho = \sqrt{r^2 - d^2} \quad (d < r)$$
※ $d = r$ のとき接する（交点は1つ）。$d > r$ のとき交わらない。
たとえば中心 $(1, 2, 3)$、半径 $5$ の球と平面 $x + 2y + 2z - 12 = 0$ の交円の半径は：
$$d = \frac{|1 + 4 + 6 - 12|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{1}{3}$$
$$\rho = \sqrt{25 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{224}{9}} = \frac{4\sqrt{14}}{3}$$
✗ 球と平面の交円の中心は球の中心と同じ
○ 交円の中心は、球の中心から平面に下ろした垂線の足 $H$
球の中心が平面上にある（$d = 0$）場合にのみ、交円の中心と球の中心が一致します。一般には $H \neq C$ であり、$H$ の座標を求めることが重要です。
球面上の点 $P_0$ における接平面は、$P_0$ で球面に接する平面です。接平面の法線ベクトルは、中心 $C$ と接点 $P_0$ を結ぶベクトル $\overrightarrow{CP_0}$ に平行です。
球 $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$ 上の点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ における接平面を考えます。法線ベクトルは $\overrightarrow{CP_0} = (x_0 - a, y_0 - b, z_0 - c)$ なので：
球 $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$ 上の点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ における接平面は：
$$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) + (z_0 - c)(z - c) = r^2$$
※ 特に原点中心の球 $x^2+y^2+z^2 = r^2$ の場合：$x_0 x + y_0 y + z_0 z = r^2$
接平面は $P_0$ を通り、$\overrightarrow{CP_0} = (x_0-a, y_0-b, z_0-c)$ を法線ベクトルにもつ平面なので：
$(x_0-a)(x-x_0) + (y_0-b)(y-y_0) + (z_0-c)(z-z_0) = 0$
展開すると：
$(x_0-a)(x-a) + (y_0-b)(y-b) + (z_0-c)(z-c)$
$= (x_0-a)(x-a) + (y_0-b)(y-b) + (z_0-c)(z-c)$
ここで $P_0$ は球面上なので $(x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 + (z_0-c)^2 = r^2$。
右辺の整理から、結局 $(x_0-a)(x-a) + (y_0-b)(y-b) + (z_0-c)(z-c) = r^2$ を得ます。
球面上の接平面の法線は、中心と接点を結ぶ半径の方向です。これは球の対称性の直接的な帰結です。「半径は接線に垂直」という円の性質が、3次元に自然に拡張されています。
✗ 与えられた点が球面上にあるか確認せずに接平面の公式を適用する
○ まず $(x_0-a)^2+(y_0-b)^2+(z_0-c)^2 = r^2$ を確認する
接平面の公式は球面上の点に対してのみ有効です。点が球面上にないのに公式を使うと誤った結果になります。
球と直線の共有点の個数は、2次元の「円と直線」の問題と同じ方法で求まります。直線の方程式を球の方程式に代入し、得られる2次方程式の判別式で判定します。
直線を点 $A$ と方向ベクトル $\vec{d}$ によるパラメータ表示 $\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}$ で表し、球の方程式 $|\vec{r} - \vec{c}|^2 = r^2$ に代入すると：
$$|\vec{a} + t\vec{d} - \vec{c}|^2 = r^2$$
$\vec{u} = \vec{a} - \vec{c}$ とおくと：
$$|\vec{d}|^2 t^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{d})t + |\vec{u}|^2 - r^2 = 0$$
これは $t$ についての2次方程式であり、判別式 $D$ の符号で共有点の個数が決まります。
$|\vec{d}|^2 t^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{d})t + |\vec{u}|^2 - r^2 = 0$ の判別式を $D$ とすると：
$D > 0$：2つの共有点（直線が球を貫く）
$D = 0$：1つの共有点（直線が球に接する）
$D < 0$：共有点なし（直線が球と交わらない）
※ 中心から直線への距離 $d_L$ を使うと、$d_L < r$ なら2点、$d_L = r$ なら1点（接する）、$d_L > r$ なら交わらない。
判別式を直接計算する代わりに、球の中心から直線への距離 $d_L$ を求めて $r$ と比較する方法もあります。中心 $C$ から直線 $\ell$ への距離は：
$$d_L = \frac{|\overrightarrow{AC} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|}$$
$d_L < r$ なら直線は球を貫きます。これは2次元の「円と直線の距離」と全く同じ考え方です。
✗ 半直線や線分の場合も $t$ の範囲を気にせず判別式だけで判定する
○ 半直線なら $t \ge 0$、線分なら $0 \le t \le 1$ の範囲で $t$ が解をもつか確認する
直線（$t$ は全実数）の場合は判別式だけで十分ですが、半直線や線分の場合は $t$ の範囲も考慮する必要があります。
コンピュータグラフィックスのレイトレーシングでは、光線（直線）と球の交点を大量に計算します。上で学んだ「パラメータ表示を代入して2次方程式を解く」手法はまさにその計算の核心です。球は数学的に扱いやすいため、3Dレンダリングの教科書では最初の例題として登場します。
Q1. 中心 $(1, -2, 3)$、半径 $4$ の球の方程式は？
Q2. $x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y - 4z + 5 = 0$ の中心と半径は？
Q3. 中心 $(0,0,0)$、半径 $5$ の球と平面 $z = 3$ の交円の半径は？
Q4. 球 $x^2+y^2+z^2 = 9$ 上の点 $(1, 2, 2)$ における接平面の方程式は？
Q5. 球と直線の共有点を求めるとき、パラメータ表示を代入すると何次方程式になるか？
4点 $A(2, 0, 0)$、$B(0, 4, 0)$、$C(0, 0, 6)$、$O(0, 0, 0)$ を通る球の方程式を求めよ。
球の方程式を $x^2 + y^2 + z^2 + lx + my + nz + k = 0$ とおく。
$O(0,0,0)$ を代入：$k = 0$
$A(2,0,0)$ を代入：$4 + 2l = 0 \implies l = -2$
$B(0,4,0)$ を代入：$16 + 4m = 0 \implies m = -4$
$C(0,0,6)$ を代入：$36 + 6n = 0 \implies n = -6$
$$x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z = 0$$
すなわち $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 14$。中心 $(1, 2, 3)$、半径 $\sqrt{14}$。
球 $x^2 + y^2 + z^2 = 25$ と平面 $x + 2y + 2z = 9$ について、
(1) 球の中心から平面への距離を求めよ。
(2) 交円の半径と中心の座標を求めよ。
(1) 球の中心は原点 $(0,0,0)$。
$$d = \frac{|0 + 0 + 0 - 9|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{9}{3} = 3$$
(2) 交円の半径：$\rho = \sqrt{25 - 9} = 4$
交円の中心は、原点から平面に下ろした垂線の足 $H$ です。
法線方向の単位ベクトルは $\dfrac{1}{3}(1, 2, 2)$ なので：
$$H = d \cdot \frac{(1,2,2)}{3} = 3 \cdot \frac{(1,2,2)}{3} = (1, 2, 2)$$
球 $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 9$ 上の点 $P(1, 5, -1)$ における接平面の方程式を求めよ。また、原点からこの接平面への距離を求めよ。
中心 $(1, 2, -1)$、$P(1, 5, -1)$。$\overrightarrow{CP} = (0, 3, 0)$ が法線ベクトル。
接平面は $P$ を通り法線 $(0, 3, 0)$、すなわち $(0, 1, 0)$ の平面：
$$0(x-1) + 1(y-5) + 0(z+1) = 0 \implies y = 5$$
（公式で確認：$(0)(x-1) + (3)(y-2) + (0)(z+1) = 9 \implies 3y - 6 = 9 \implies y = 5$ ✓）
原点からの距離：$d = \dfrac{|0 - 5|}{1} = 5$
球 $S: x^2 + y^2 + z^2 = 4$ と直線 $\ell: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{-1}$ について、
(1) 球 $S$ と直線 $\ell$ の共有点の座標を求めよ。
(2) 球 $S$ の、直線 $\ell$ の方向から見た射影の面積を求めよ（すなわち直線 $\ell$ に垂直な平面への球の正射影の面積）。
(1) 直線のパラメータ表示：$x = 1 + t$, $y = t$, $z = -t$
球に代入：$(1+t)^2 + t^2 + t^2 = 4$
$1 + 2t + t^2 + 2t^2 = 4 \implies 3t^2 + 2t - 3 = 0$
$t = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 36}}{6} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{40}}{6} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{10}}{3}$
$t_1 = \dfrac{-1+\sqrt{10}}{3}$, $t_2 = \dfrac{-1-\sqrt{10}}{3}$ より
$$P_1 = \left(\frac{2+\sqrt{10}}{3},\;\frac{-1+\sqrt{10}}{3},\;\frac{1-\sqrt{10}}{3}\right)$$
$$P_2 = \left(\frac{2-\sqrt{10}}{3},\;\frac{-1-\sqrt{10}}{3},\;\frac{1+\sqrt{10}}{3}\right)$$
(2) 球は完全な対称性をもつので、どの方向から見ても射影は半径 $r = 2$ の円です。
$$S = \pi r^2 = 4\pi$$
(1)では直線のパラメータ表示を球の方程式に代入して $t$ の2次方程式に帰着しています。(2)は球の対称性から直ちに結論できます。楕円体ならば射影の形は方向に依存しますが、球はあらゆる方向から見ても円になるのが特徴です。