線形写像と行列
─ ベクトルの変換としての行列

1高校での扱い ─ ベクトルの演算と成分表示

高校の数学Cでは、平面ベクトルと空間ベクトルを学びます。 ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ に対して、和 $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ やスカラー倍 $k\mathbf{a}$ を成分ごとに計算し、内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$ を使って角度や長さを求めます。

高校では、ベクトルは「位置や方向を表す矢印」として使われ、図形の問題を座標計算に帰着させる道具として活躍します。 しかし、「あるベクトルを別のベクトルに変換する」操作 ── たとえば平面上のすべての点を原点中心に $90°$ 回転させる、$x$ 軸に関して対称に反転させる ── を体系的に扱う枠組みは、高校の範囲には含まれていません。

大学では、こうした「ベクトルの変換」を線形写像として定式化し、それを数値の長方形の表 ── 行列 ── で表現します。 ここから先は、この行列という道具がどのような発想から生まれ、なぜあのような演算規則を持つのかを順に見ていきます。

2大学の視点 ─ 行列は「変換の表」である

行列を初めて見ると、数を長方形に並べただけの表に見えます。 行列の積の定義も複雑で、なぜあのような計算規則になるのか疑問に感じるかもしれません。 しかし、行列には明確な意味があります。それはベクトルの変換（線形写像）を数値で表したものです。

まず、行列の前に「線形写像」の概念を導入する必要があります。 線形写像とは何かを理解すれば、行列は「線形写像を書き下す便利な記法」にすぎないことがわかります。

3線形写像の定義 ─ 和とスカラー倍を保つ変換

なぜ「線形写像」が必要か

ベクトルを別のベクトルに変換する関数（写像）は無数にあります。 たとえば $\mathbb{R}^2$ から $\mathbb{R}^2$ への写像として、各成分を2乗するもの $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x^2 \\ y^2 \end{pmatrix}$ も考えられます。 しかし、こうした写像はベクトルの基本的な構造 ── 和とスカラー倍 ── を壊してしまいます。

試しに $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ として、上の写像を $f$ とすると、$f(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = f\!\left(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ ですが、$f(\mathbf{a}) + f(\mathbf{b}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ です。 $f(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \ne f(\mathbf{a}) + f(\mathbf{b})$ となり、「和」が保たれていません。

ベクトルの構造（和とスカラー倍）を保つ変換だけを取り出して調べると、扱いやすい豊かな理論が得られます。 そのような変換を線形写像と呼びます。

この2条件は、1つにまとめることもできます。任意の $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ と任意の実数 $c, d$ に対して

$$T(c\mathbf{u} + d\mathbf{v}) = cT(\mathbf{u}) + dT(\mathbf{v})$$

が成り立つことが線形写像の同値な条件です。これは「線形結合を保存する」と読めます。

具体例で確認する

例1（2倍に拡大する写像）：$T\!\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \end{pmatrix}$ と定めます。 これは各成分を2倍にする写像で、すべてのベクトルを原点から2倍の距離に引き伸ばします。

和の保存を確認します。$\mathbf{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}$、$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ として、

$$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T\!\left(\begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2(u_1 + v_1) \\ 2(u_2 + v_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2u_1 \\ 2u_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2v_1 \\ 2v_2 \end{pmatrix} = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$$

スカラー倍の保存も同様に $T(c\mathbf{u}) = \begin{pmatrix} 2cu_1 \\ 2cu_2 \end{pmatrix} = c\begin{pmatrix} 2u_1 \\ 2u_2 \end{pmatrix} = cT(\mathbf{u})$ と確認できます。よって $T$ は線形写像です。

例2（$x$ 軸への射影）：$T\!\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$ は、ベクトルの $y$ 成分を0にして $x$ 軸上に落とす写像です。 これも和の保存とスカラー倍の保存を確認でき、線形写像になります。

例3（平行移動は線形写像ではない）：$T\!\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y \end{pmatrix}$ は、すべての点を $x$ 方向に1だけずらす写像です。 ここで $T(\mathbf{0}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \ne \mathbf{0}$ です。線形写像であれば $T(\mathbf{0}) = T(0 \cdot \mathbf{u}) = 0 \cdot T(\mathbf{u}) = \mathbf{0}$ となるはずなので、平行移動は線形写像ではありません。

線形写像がどのような変換かを把握できました。 次に、線形写像がもつ決定的に重要な性質 ── 基底ベクトルの行き先で完全に決まること ── を見ていきます。この性質が、行列の定義に直結します。

4行列の定義 ─ 線形写像を数値で表す

基底ベクトルの行き先が全てを決める

$\mathbb{R}^2$ の標準基底ベクトル $\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、$\mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を考えます。 $\mathbb{R}^2$ の任意のベクトル $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は、基底の線形結合として

$$\mathbf{v} = x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2$$

と一意に書けます。ここで、$T$ が線形写像であれば、線形性（和とスカラー倍の保存）から

$$T(\mathbf{v}) = T(x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2) = xT(\mathbf{e}_1) + yT(\mathbf{e}_2)$$

が成り立ちます。この式は決定的に重要です。 任意のベクトル $\mathbf{v}$ に対する $T(\mathbf{v})$ の値が、$T(\mathbf{e}_1)$ と $T(\mathbf{e}_2)$ というたった2つのベクトルだけで完全に決まることを示しています。

行列の定義：基底の行き先を列に並べる

$T(\mathbf{e}_1)$ と $T(\mathbf{e}_2)$ がそれぞれ $\mathbb{R}^m$ のベクトルだとします。 たとえば $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ の線形写像で、

$$T(\mathbf{e}_1) = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}, \quad T(\mathbf{e}_2) = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$$

だとします。このとき、$T(\mathbf{e}_1)$ を第1列、$T(\mathbf{e}_2)$ を第2列として横に並べた $2 \times 2$ の数の表

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

を、線形写像 $T$ の表現行列と呼びます。

行列とベクトルの積の意味

先ほどの結果 $T(\mathbf{v}) = xT(\mathbf{e}_1) + yT(\mathbf{e}_2)$ を、行列を使って書き直します。 $T(\mathbf{e}_1) = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$、$T(\mathbf{e}_2) = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$ なので、

$$T(\mathbf{v}) = x\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}$$

この右辺を「行列 $A$ とベクトル $\mathbf{v}$ の積」として定義します。

$$A\mathbf{v} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}$$

行列とベクトルの積は「行列の各列を、ベクトルの対応する成分で重みづけして足す」操作です。 これは $T(\mathbf{v}) = xT(\mathbf{e}_1) + yT(\mathbf{e}_2)$ をそのまま数値で書き下したものにほかなりません。 つまり、$A\mathbf{v}$ は線形写像 $T$ による $\mathbf{v}$ の像を計算しているのです。

具体例

先ほどの「2倍に拡大する写像」$T\!\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \end{pmatrix}$ の表現行列を求めます。

$$T(\mathbf{e}_1) = T\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad T(\mathbf{e}_2) = T\!\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$

よって表現行列は $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ です。確認として、

$$A\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}$$

たしかに各成分が2倍になっています。

「$x$ 軸への射影」$T\!\left(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$ では、$T(\mathbf{e}_1) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、$T(\mathbf{e}_2) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ なので、表現行列は $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ です。

ここまでで、線形写像を行列で表す方法と、行列とベクトルの積の意味がわかりました。 次に、2つの線形写像を続けて適用する「合成」を考え、そこから行列の積の定義が自然に導かれることを見ます。

5行列の積 ─ 写像の合成として理解する

写像の合成とは

2つの線形写像を続けて適用する操作を考えます。 $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ を適用した後、$S : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ を適用する合成写像を $S \circ T$ と書き、

$$(S \circ T)(\mathbf{v}) = S(T(\mathbf{v}))$$

と定義します。「まず $T$ で変換し、次に $S$ で変換する」という操作です。

ここで重要な事実があります。$S$ と $T$ がともに線形写像であれば、合成 $S \circ T$ もまた線形写像になります。

$S \circ T$ が線形写像であるならば、それにも表現行列があるはずです。 $T$ の表現行列を $B$、$S$ の表現行列を $A$ とするとき、$S \circ T$ の表現行列はどのように計算されるでしょうか。

行列の積の導出

$T$ の表現行列を $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$、$S$ の表現行列を $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ とします。

合成写像 $S \circ T$ の表現行列を求めるには、標準基底の行き先を計算すればよいのでした。 まず $\mathbf{e}_1$ について、

$$(S \circ T)(\mathbf{e}_1) = S(T(\mathbf{e}_1)) = S(B\mathbf{e}_1)$$

$B\mathbf{e}_1$ は行列 $B$ の第1列ですから、$B\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \end{pmatrix}$ です。 これに $S$、つまり行列 $A$ を適用すると、

$$A\begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \end{pmatrix} = b_{11}\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix} + b_{21}\begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} \end{pmatrix}$$

同様に $\mathbf{e}_2$ について計算すると、

$$(S \circ T)(\mathbf{e}_2) = A\begin{pmatrix} b_{12} \\ b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$$

これらを列として並べると、合成写像 $S \circ T$ の表現行列は

$$\begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$$

となります。この行列を $A$ と $B$ の積 $AB$ と定義します。

行列の積の定義が複雑に見えるのは、それが「ただの計算規則」ではなく、「写像の合成を数値で書き下した結果」だからです。 合成写像の表現行列を正直に計算すれば、必然的にこの形になります。

行列の積の性質 ── 交換法則が成り立たない理由

実数の掛け算では $ab = ba$ が成り立ちます。しかし行列の積では、一般に $AB \ne BA$ です。 写像の合成の言葉で言えば、「まず $T$ を適用して次に $S$ を適用する」のと「まず $S$ を適用して次に $T$ を適用する」のは、一般に結果が異なるということです。

具体例で確認しましょう。$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$（$x$ 方向への剪断）、$B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$（$90°$ 回転）として、

$$AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$BA = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

たしかに $AB \ne BA$ です。「回転してから剪断する」のと「剪断してから回転する」のでは、結果が異なります。 行列の積の非可換性は、写像の合成が一般に順序依存であるという自然な事実の反映です。

行列の積が写像の合成から自然に導かれることがわかりました。 次のセクションでは、この枠組みを使って、回転・反転・射影といった具体的な幾何変換を行列で表現し、行列の積で変換を組み合わせてみます。

6応用 ─ 回転・反転・射影を行列で表す

回転行列

平面上のベクトルを原点中心に角度 $\theta$ だけ反時計回りに回転させる写像 $R_\theta$ を考えます。 表現行列を求めるには、標準基底の行き先を調べます。

$\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ は $x$ 軸正方向の単位ベクトルです。 これを角度 $\theta$ だけ回転させると、単位円上の点 $\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}$ に移ります。

$\mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $y$ 軸正方向の単位ベクトルです。 これを角度 $\theta$ だけ回転させると、$\begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{pmatrix}$ に移ります。 これは $\mathbf{e}_2$ がもともと $x$ 軸正方向から $90°$ の位置にあるので、回転後は $90° + \theta$ の位置、すなわち $\begin{pmatrix} \cos(90° + \theta) \\ \sin(90° + \theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{pmatrix}$ となるからです（加法定理を使っています）。

具体的に $\theta = 90°$ の場合、$\cos 90° = 0$、$\sin 90° = 1$ なので、

$$R_{90°} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

確認として、$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $90°$ 回転させてみます。

$$R_{90°}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$$

$(3, 1)$ を反時計回りに $90°$ 回転させると $(-1, 3)$ になります。正しい結果です。

回転の合成と加法定理

行列の積が写像の合成に対応するという原理を使って、回転行列から加法定理を導いてみます。 角度 $\alpha$ の回転の後に角度 $\beta$ の回転を行うと、合計 $\alpha + \beta$ の回転になります。写像の合成として

$$R_\beta \circ R_\alpha = R_{\alpha + \beta}$$

が成り立ちます。行列の積として左辺を計算すると、

$$R_\beta R_\alpha = \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$$

$(1,1)$ 成分を計算すると $\cos\beta \cos\alpha + (-\sin\beta)\sin\alpha = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ です。

一方、右辺 $R_{\alpha+\beta}$ の $(1,1)$ 成分は $\cos(\alpha + \beta)$ です。 両辺の $(1,1)$ 成分を比較すると、

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$

が得られます。同様に $(2,1)$ 成分を比較すると、

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$

が得られます。これは高校で学ぶ加法定理そのものです。回転行列の積という1つの計算から、余弦と正弦の加法定理が同時に導かれました。

反転行列

$x$ 軸に関する反転 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}$ の表現行列は、

$$F_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

です。$\mathbf{e}_1$ は動かず $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、$\mathbf{e}_2$ は $\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ に移るからです。 $y$ 軸に関する反転は同様に $F_y = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ です。

反転を2回行うと元に戻るので、$F_x^2 = I$（単位行列）が成り立つはずです。確認すると、

$$F_x^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$

たしかに単位行列になります。

射影行列

セクション3で見た「$x$ 軸への射影」の行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ には、もう一つの特徴的な性質があります。 射影を2回行っても、1回行ったのと同じ結果になります。すでに $x$ 軸上にあるベクトルを $x$ 軸に射影しても動きません。行列で確認すると、

$$P^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = P$$

$P^2 = P$ が成り立ちます。この性質 $P^2 = P$ を満たす行列を冪等行列と呼びます。射影は冪等性を持つという事実が、行列の言葉で簡潔に表現されています。

このように、幾何的な変換（回転、反転、射影）はすべて行列で表現でき、変換の合成は行列の積で計算できます。 変換の性質（反転を2回行うと恒等変換、射影を2回行っても変わらない、等）は、行列の代数的な等式として簡潔に記述されます。

7つながりマップ

• 前提知識 M-17-1 ベクトル空間 ── 基底・次元・座標系の概念を前提とします
• 前提知識 M-17-2 内積の一般化 ── 射影の計算で内積の概念を使います
• 発展 M-17-4 固有値と2次形式 ── 行列の対角化と固有値・固有ベクトルを扱います。線形写像が「特別な方向」を持つことを明らかにします
• 関連 M-9-2 加法定理の深層 ── 回転行列から加法定理を導く議論をさらに発展させます
• 関連 M-6-1 関数の厳密な定義 ── 写像（関数）の厳密な定義。線形写像はその特殊な場合です

Sまとめ

• 線形写像とは、ベクトルの和とスカラー倍を保存する変換です。$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$ と $T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})$ の2条件で定義されます。
• 線形写像は基底ベクトルの行き先だけで完全に決まります。任意のベクトル $\mathbf{v} = x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2$ に対して $T(\mathbf{v}) = xT(\mathbf{e}_1) + yT(\mathbf{e}_2)$ と計算できるからです。
• 行列とは、線形写像の基底ベクトルの行き先を列として並べた数値の表です。行列とベクトルの積 $A\mathbf{v}$ は、線形写像 $T$ による $\mathbf{v}$ の像を計算する操作です。
• 行列の積 $AB$ は、2つの線形写像の合成 $S \circ T$ の表現行列です。合成の順序が一般に異なる結果を与えるため、行列の積は可換でありません。
• 回転・反転・射影といった幾何的変換はすべて行列で表現でき、変換の合成は行列の積で計算できます。回転行列の積からは加法定理が自然に導かれます。

9確認テスト

10演習問題