これまで回転体の体積を学んできましたが、回転体でない立体の体積も積分で求められます。鍵となるのは「x 軸に垂直な断面の面積 $S(x)$ を積分する」という原理です。断面が正方形、三角形、円のいずれであっても、この原理は変わりません。回転体の体積公式もこの一般原理の特殊ケースだったことを確認しましょう。
実は、これまで学んだ回転体の体積公式はすべて、次の一般原理の特殊ケースでした。
立体が $a \le x \le b$ の範囲にあり、x 座標 $x$ における断面積が $S(x)$ であるとき：
$$V = \int_a^b S(x)\,dx$$
※ 断面の形は問いません。回転体なら $S(x) = \pi\{f(x)\}^2$（円）ですが、正方形・三角形・楕円など何でも使えます。
面積が「高さの積分」$\int f(x)\,dx$ であるように、体積は「断面積の積分」$\int S(x)\,dx$ です。
回転体の公式 $\pi\int\{f(x)\}^2\,dx$ は $S(x) = \pi\{f(x)\}^2$ の場合、バウムクーヘン積分も同じ原理の別の適用法です。断面積さえ正しく求められれば、どんな立体の体積も積分で計算できます。
区間 $[a, b]$ を $n$ 等分し、幅 $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$ の薄い板に分割します。
$x = x_k$ における薄い板の体積は $\Delta V_k \approx S(x_k)\Delta x$（断面積 $\times$ 厚さ）です。
$$V = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n S(x_k)\Delta x = \int_a^b S(x)\,dx$$
$S(x)$ が連続であれば、このリーマン和は定積分に収束します。
✗ 誤：断面が正方形のとき、1辺の長さを積分して体積を求める
○ 正：断面が正方形なら面積 $=$ 辺$^2$ を計算してから積分する
公式に入れるのは「断面の面積」$S(x)$ であり、辺の長さや半径ではありません。まず断面積を $x$ の関数として表し、それを積分します。
入試で最も出題頻度が高いのが「断面が正方形」のパターンです。2つの曲線で囲まれた領域を底面として、各 x 座標における2曲線間の距離を1辺とする正方形を断面に持つ立体の体積を求めます。
$y = x^2$ と $y = x$ で囲まれた領域の各点 $x$ において、2曲線間の距離 $|x - x^2|$ を1辺とする正方形を x 軸に垂直に立てます。この立体の体積を求めます。
交点は $x = 0, 1$。$0 \le x \le 1$ で $x \ge x^2$ なので、正方形の1辺は $x - x^2$。
断面積 $S(x) = (x - x^2)^2 = x^2 - 2x^3 + x^4$ より：
$$V = \int_0^1(x^2 - 2x^3 + x^4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1}{30}$$
Step 1：2曲線の交点を求める → 積分区間を決定
Step 2：各 $x$ における2曲線間の距離 $d(x) = |f(x) - g(x)|$ を求める → 正方形の1辺
Step 3：断面積 $S(x) = \{d(x)\}^2 = \{f(x) - g(x)\}^2$ を計算
Step 4：$V = \int_a^b S(x)\,dx$ で積分
✗ 誤：断面が正方形なのに $\pi$ をつけて $\pi\int\{f(x) - g(x)\}^2\,dx$ と計算する
○ 正：断面が正方形なので $\int\{f(x) - g(x)\}^2\,dx$（$\pi$ なし）
$\pi$ が現れるのは断面が円のとき（回転体）だけです。正方形の面積には $\pi$ は不要です。
$x^2 + y^2 \le 1$ の領域（単位円の内部）を底面とし、各 $x$ における断面が正方形で、正方形の1辺は $y$ 方向の幅 $2\sqrt{1 - x^2}$ に等しい立体の体積を求めます。
$$S(x) = \left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2 = 4(1-x^2)$$
$$V = \int_{-1}^1 4(1-x^2)\,dx = 4\left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1 = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$$
ちなみに、同じ底面で断面が円（半径 $\sqrt{1-x^2}$）のとき、$S(x) = \pi(1-x^2)$ で $V = \dfrac{4\pi}{3}$（球の体積公式）です。断面の形が変わると体積も変わります。
半径 $r$ の球は $x^2 + y^2 + z^2 \le r^2$ で、x 座標 $x$ における断面は半径 $\sqrt{r^2 - x^2}$ の円です。したがって $V = \int_{-r}^r \pi(r^2 - x^2)\,dx = \dfrac{4}{3}\pi r^3$。小学校以来おなじみの球の体積公式が、断面積の積分から導かれます。
断面は正方形だけとは限りません。入試では正三角形、直角二等辺三角形、半円なども出題されます。考え方は同じで、断面の面積を $x$ の関数として表してから積分します。
正三角形の1辺を $a$ とすると、面積は $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$ です。
$y = x^2$ と $y = x$ で囲まれた領域で、1辺 $x - x^2$ の正三角形を断面に持つ立体の体積は：
$$S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}(x - x^2)^2$$
$$V = \frac{\sqrt{3}}{4}\int_0^1(x^2 - 2x^3 + x^4)\,dx = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{30} = \frac{\sqrt{3}}{120}$$
直角を挟む2辺が $a$ の直角二等辺三角形の面積は $\dfrac{a^2}{2}$ です。2曲線間の距離を斜辺とするか直角辺とするかで面積が変わるので、問題文をよく読みましょう。
直径が $d = f(x) - g(x)$ の半円を断面に持つ立体では：
$$S(x) = \frac{1}{2}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{8}\{f(x) - g(x)\}^2$$
$d = f(x) - g(x)$（2曲線間の距離）とするとき：
正方形：$S(x) = d^2$
正三角形：$S(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}d^2$
直角二等辺三角形（直角辺 $= d$）：$S(x) = \dfrac{d^2}{2}$
半円（直径 $= d$）：$S(x) = \dfrac{\pi}{8}d^2$
円（直径 $= d$）：$S(x) = \dfrac{\pi}{4}d^2$
※ いずれも $d^2$ に比例するため、$\int\{f(x)-g(x)\}^2\,dx$ の計算結果に定数をかけるだけです。
✗ 誤：「断面が正方形で対角線の長さが $d$」のとき $S(x) = d^2$ と計算する
○ 正：対角線が $d$ なら1辺は $\dfrac{d}{\sqrt{2}}$、面積は $\dfrac{d^2}{2}$
問題文で与えられるのが「1辺」なのか「対角線」なのかを必ず確認してください。
断面の形が何であれ、$S(x) = k\{f(x) - g(x)\}^2$ の形になることがほとんどです（$k$ は断面の形で決まる定数）。
したがって、計算の核心は $\int_a^b\{f(x) - g(x)\}^2\,dx$ であり、これは展開して各項を積分するだけです。断面の形が変わっても、積分の計算自体は同じです。
「斜めに切る」とは、x 軸に垂直でない面で立体を切ることです。このような場合でも、適切な座標系を設定すれば断面積の積分で体積が求められます。
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ を x 軸まわりに回転させた回転楕円体の体積を求めます。x 座標 $x$ での断面は半径 $y = b\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}}$ の円です。
$$S(x) = \pi b^2\left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)$$
$$V = \pi b^2\int_{-a}^a\left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)\,dx = \pi b^2\left[x - \frac{x^3}{3a^2}\right]_{-a}^a = \pi b^2 \cdot \frac{4a}{3} = \frac{4\pi ab^2}{3}$$
$a = b = r$ のとき $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$（球の体積）に一致します。
円柱を斜めに切った立体の体積は、切り口の形状が複雑でも断面積の積分で処理できます。
例として、底面が半径 $r$ の円柱を、底面の直径を含む平面で角度 $\theta$ に斜めに切った「くさび形」の体積を考えます。
底面の中心を原点とし、切断する直径を x 軸にとると、x 座標 $x$ における断面は直角三角形で、底辺が $2\sqrt{r^2 - x^2}$、高さの最大値は $\sqrt{r^2 - x^2} \cdot \tan\theta$ です。
正確には、$x$ における断面は底辺 $\sqrt{r^2 - x^2}$（y 方向の片側の幅）、高さ $\sqrt{r^2 - x^2}\tan\theta$ の三角形で：
$$S(x) = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{r^2 - x^2} \cdot \sqrt{r^2 - x^2}\tan\theta = (r^2 - x^2)\tan\theta$$
$$V = \tan\theta\int_{-r}^r(r^2 - x^2)\,dx = \tan\theta \cdot \frac{4r^3}{3} = \frac{4r^3\tan\theta}{3}$$
✗ 誤：斜めの切り口を断面として使う
○ 正：x 軸（または適切な軸）に垂直な断面を使って積分する
$V = \int S(x)\,dx$ の公式は、x 軸に垂直な断面の面積を使います。斜めの切り口が直接断面になるのではなく、立体を x 軸に垂直に切ったときの断面を考えます。
カヴァリエリの原理により、「すべての $x$ で断面積が等しい2つの立体は体積が等しい」ことが保証されます。例えば、円柱を斜めに切ったくさび形と、同じ断面積分布を持つ別の立体は、形が全く違っても同じ体積を持ちます。この原理は断面積の積分が体積を正しく与えることの数学的根拠です。
断面積の積分で最も重要なのは「$S(x)$ を正しく求める」ことです。入試で出題されるパターンを整理します。
| パターン | 断面の形 | $S(x)$ の求め方 |
|---|---|---|
| 回転体（x 軸まわり） | 円 | $\pi\{f(x)\}^2$ |
| 回転体（2曲線間） | 円環 | $\pi[\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2]$ |
| 2曲線 + 正方形断面 | 正方形 | $\{f(x) - g(x)\}^2$ |
| 2曲線 + 正三角形断面 | 正三角形 | $\dfrac{\sqrt{3}}{4}\{f(x)-g(x)\}^2$ |
| 2曲線 + 半円断面 | 半円 | $\dfrac{\pi}{8}\{f(x)-g(x)\}^2$ |
| 球・楕円体 | 円 | $\pi(r^2 - x^2)$ 等 |
| 斜め切りの円柱 | 三角形等 | 個別に断面を解析 |
Step 1：立体がどの範囲に存在するか確認 → 積分区間 $[a, b]$ を決定
Step 2：x 座標 $x$ で立体を x 軸に垂直に切る → 断面の形を特定
Step 3：断面積 $S(x)$ を $x$ の関数として表す
Step 4：$V = \int_a^b S(x)\,dx$ を計算
✗ 誤：立体の全体像をイメージしようとして混乱する
○ 正：全体像は気にせず、「$x$ で切った断面」だけに集中する
断面積の積分の強みは、立体の全体像が分からなくても計算できることです。各 $x$ での断面さえ正確に把握できれば、あとは積分するだけです。
本章で学んだ全ての体積計算は、$V = \int_a^b S(x)\,dx$ という1つの原理に帰着します。
回転体（ディスク法）：$S(x) = \pi r^2$ → 断面が円
回転体（ワッシャー法）：$S(x) = \pi(R^2 - r^2)$ → 断面が円環
非回転体：$S(x)$ は問題設定による → 断面が正方形、三角形、半円など
全て「断面積を積分する」という同じ操作です。問題ごとに $S(x)$ の表現が変わるだけです。
大学数学では断面積の積分は累次積分（反復積分）として一般化されます。$V = \int_a^b\!\left(\int\!\int_{D(x)} dA\right)dx$ のように、断面 $D(x)$ 上の面積を内側の積分で求め、それを外側の積分で足し上げます。高校で学ぶ $V = \int S(x)\,dx$ はこの特殊ケースで、断面積 $S(x)$ を公式で求められる場合に対応しています。
Q1. 断面積による体積の一般公式を書いてください。
Q2. 断面が正方形で1辺が $d$ のとき、断面積はいくらですか。回転体の場合と何が違いますか。
Q3. 断面が正三角形で1辺が $d$ のとき、断面積はいくらですか。
Q4. 半径 $r$ の球の体積を断面積の積分で求める式を書いてください。
Q5. 断面積の積分で体積を計算するとき、最も重要なステップは何ですか。
$y = \sin x$ と x 軸（$0 \le x \le \pi$）で囲まれた領域の各点 $x$ において、$y$ 方向の幅 $\sin x$ を1辺とする正方形を x 軸に垂直に立てる。この立体の体積を求めよ。
断面積 $S(x) = \sin^2 x$。
$$V = \int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx = \int_0^{\pi}\frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left[x - \frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2}$$
$y = x^2$ と $y = 4$ で囲まれた領域の各点 $x$ において、2曲線間の距離 $4 - x^2$ を1辺とする正三角形を x 軸に垂直に立てる。この立体の体積を求めよ。
交点：$x^2 = 4$ より $x = \pm 2$。$-2 \le x \le 2$ で $4 - x^2 \ge 0$。
$$S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}(4-x^2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(16 - 8x^2 + x^4)$$
$$V = \frac{\sqrt{3}}{4}\int_{-2}^2(16 - 8x^2 + x^4)\,dx$$
被積分関数は偶関数なので：
$$= \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2\int_0^2(16 - 8x^2 + x^4)\,dx = \frac{\sqrt{3}}{2}\left[16x - \frac{8x^3}{3} + \frac{x^5}{5}\right]_0^2$$
$$= \frac{\sqrt{3}}{2}\left(32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{480 - 320 + 96}{15} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{256}{15} = \frac{128\sqrt{3}}{15}$$
楕円 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ を x 軸まわりに回転させた楕円体の体積を求めよ。
楕円から $y^2 = 9\left(1 - \dfrac{x^2}{4}\right)$。$a = 2$, $b = 3$。
$$V = \pi\int_{-2}^2 y^2\,dx = \pi\int_{-2}^2 9\left(1 - \frac{x^2}{4}\right)\,dx$$
$$= 9\pi\int_{-2}^2\left(1 - \frac{x^2}{4}\right)\,dx = 9\pi\left[x - \frac{x^3}{12}\right]_{-2}^2$$
$$= 9\pi\left[\left(2 - \frac{2}{3}\right) - \left(-2 + \frac{2}{3}\right)\right] = 9\pi \cdot \frac{8}{3} = 24\pi$$
（一般公式 $V = \dfrac{4}{3}\pi ab^2 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 2 \cdot 9 = 24\pi$ と一致。）
底面が半径 $1$ の円で、各 $x$ における断面が x 軸に垂直な二等辺三角形である立体を考える。二等辺三角形の底辺は底面の弦に等しく、高さは底辺の長さに等しい。この立体の体積を求めよ。
（底面の中心を原点とし、底面は $x^2 + y^2 \le 1$ とする。）
x 座標 $x$ における底面の弦の長さは $2\sqrt{1 - x^2}$。
二等辺三角形の底辺 $= 2\sqrt{1 - x^2}$、高さ $= 2\sqrt{1 - x^2}$（底辺の長さに等しい）。
$$S(x) = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{1-x^2} \cdot 2\sqrt{1-x^2} = 2(1-x^2)$$
$$V = \int_{-1}^1 2(1-x^2)\,dx = 2\left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1 = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$
この問題の鍵は「断面の三角形の高さが底辺に等しい」という条件を正確に読み取ることです。底辺が $d = 2\sqrt{1-x^2}$ のとき高さも $d$ なので、断面積は $\dfrac{1}{2}d^2 = 2(1-x^2)$ となります。
断面積が $(1-x^2)$ に比例する形は球やくさび形でも現れる基本パターンです。$\int_{-1}^1(1-x^2)\,dx = \dfrac{4}{3}$ は頻出の積分値として覚えておくと便利です。