極座標で表される曲線 $r = f(\theta)$ が囲む面積は、微小な扇形の面積を積み上げることで求められます。直交座標の「短冊」とは異なる発想ですが、積分の本質は同じです。カージオイド、バラ曲線、レムニスケートといった極座標ならではの美しい曲線の面積を扱います。
極座標 $(r, \theta)$ で表された曲線 $r = f(\theta)$ が囲む面積を求めましょう。直交座標では「短冊（長方形）」を積み上げましたが、極座標では微小な扇形を積み上げます。
角度 $\theta$ から $\theta + d\theta$ までの微小な扇形を考えます。半径 $r = f(\theta)$、中心角 $d\theta$ の扇形の面積は：
$$dS = \frac{1}{2}r^2\,d\theta = \frac{1}{2}\{f(\theta)\}^2\,d\theta$$
これを $\alpha$ から $\beta$ まで積分すれば、曲線が囲む面積が得られます。
$$S = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \{f(\theta)\}^2\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$$
※ $\alpha$ から $\beta$ までの角度範囲で、原点から曲線までの動径が掃く領域の面積です。
半径 $r$、中心角 $d\theta$ の扇形の面積は $\dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$ です。これは、円の面積 $\pi r^2$ に対して中心角の割合 $\dfrac{d\theta}{2\pi}$ をかけた $\pi r^2 \cdot \dfrac{d\theta}{2\pi} = \dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$ から得られます。
直交座標の面積公式が「短冊の積み上げ」であったように、極座標の面積公式は「扇形の積み上げ」です。発想は同じです。
区間 $[\alpha, \beta]$ を $n$ 等分し、$\Delta\theta = \dfrac{\beta - \alpha}{n}$ とする。
$\theta_k = \alpha + k\Delta\theta$ とし、各微小扇形の面積は $\Delta S_k \approx \dfrac{1}{2}\{f(\theta_k)\}^2\,\Delta\theta$。
$$S = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2}\{f(\theta_k)\}^2\,\Delta\theta = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\{f(\theta)\}^2\,d\theta$$
これはリーマン和の極限として定義される定積分そのものです。
✗ 誤：$S = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$（$\dfrac{1}{2}$ がない）
○ 正：$S = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$
扇形の面積は $\dfrac{1}{2}r^2\theta$ であり、三角形の面積 $\dfrac{1}{2} \times$ 底辺 $\times$ 高さ と同じ構造です。$\dfrac{1}{2}$ は忘れやすいので注意しましょう。
カージオイド（心臓形）は $r = a(1 + \cos\theta)$（$a > 0$）で表される曲線です。$\theta = 0$ で $r = 2a$（最も遠い点）、$\theta = \pi$ で $r = 0$（原点を通る）です。
カージオイドは $\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで動くと1周します。対称性（$x$ 軸に関して対称）を利用して、上半分（$0 \le \theta \le \pi$）の面積を2倍します。
$$S = 2 \cdot \frac{1}{2}\int_0^{\pi}\{a(1+\cos\theta)\}^2\,d\theta = a^2\int_0^{\pi}(1+\cos\theta)^2\,d\theta$$
$(1+\cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\cos\theta + \dfrac{1+\cos 2\theta}{2} = \dfrac{3}{2} + 2\cos\theta + \dfrac{\cos 2\theta}{2}$
$$S = a^2\left[\frac{3\theta}{2} + 2\sin\theta + \frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{\pi} = a^2 \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi a^2}{2}$$
カージオイドの面積 $\dfrac{3}{2}\pi a^2$ は、最大半径 $2a$ の円（面積 $4\pi a^2$）の約 $37.5\%$ です。原点で尖った心臓形は、円よりもかなり小さい面積をもちます。
計算では $\cos\theta$ の冪乗の積分が登場しますが、半角公式で $\cos^2\theta$ を処理するのが定石です。
✗ 誤：対称性で半分にしたことを忘れ、$\dfrac{3\pi a^2}{4}$ を最終答えにする
○ 正：上半分の面積 $\dfrac{3\pi a^2}{4}$ を2倍して $\dfrac{3\pi a^2}{2}$
対称性を利用するときは「何を何倍するか」を式の最初に明示しましょう。
バラ曲線（ロドネア曲線）は $r = a\sin n\theta$ や $r = a\cos n\theta$ で表される曲線です。$n$ が整数のとき、美しい花びら模様を描きます。
$n = 2$ のとき4枚の花弁ができます。$r = a\sin 2\theta$ では、$\sin 2\theta \ge 0$ の範囲（$0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$ と $\pi \le \theta \le \dfrac{3\pi}{2}$）で曲線が描かれます。
1枚の花弁は $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$ に対応します。4枚の花弁は互いに合同なので：
$$S = 4 \cdot \frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}(a\sin 2\theta)^2\,d\theta = 2a^2\int_0^{\pi/2}\sin^2 2\theta\,d\theta$$
$$= 2a^2\int_0^{\pi/2}\frac{1-\cos 4\theta}{2}\,d\theta = a^2\left[\theta - \frac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi a^2}{2}$$
$n$ が偶数のとき花弁は $2n$ 枚、$n$ が奇数のとき花弁は $n$ 枚。
$$\text{花弁1枚の面積} = \frac{\pi a^2}{4n} \quad (\text{偶数}), \quad \frac{\pi a^2}{4n} \quad (\text{奇数})$$
$$\text{全体の面積} = \begin{cases} 2n \cdot \dfrac{\pi a^2}{4n} = \dfrac{\pi a^2}{2} & (n\text{ が偶数}) \\ n \cdot \dfrac{\pi a^2}{4n} = \dfrac{\pi a^2}{4} & (n\text{ が奇数}) \end{cases}$$
※ 偶数のときは奇数のときの2倍の面積になります。花弁の枚数が2倍だからです。
✗ 誤：$r = a\sin 2\theta$ を $0 \le \theta \le 2\pi$ で積分して $\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi} a^2\sin^2 2\theta\,d\theta$ を計算
○ 正：$r^2$ は常に非負なので $\int_0^{2\pi}$ で計算しても同じ値が出るが、幾何学的意味に注意
$r = a\sin 2\theta$ で $\sin 2\theta < 0$ のとき $r < 0$ ですが、極座標では $r < 0$ の点は原点に関して反対側にプロットされます。面積を求めるとき $r^2$ を積分するので結果的に正しい値になりますが、どの範囲がどの花弁に対応するかを意識しましょう。
$n = 3$（奇数）のとき3枚の花弁ができます。1枚の花弁は $-\dfrac{\pi}{6} \le \theta \le \dfrac{\pi}{6}$ に対応します。
$$S = 3 \cdot \frac{1}{2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6}a^2\cos^2 3\theta\,d\theta = \frac{3a^2}{2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\frac{1+\cos 6\theta}{2}\,d\theta = \frac{\pi a^2}{4}$$
バラ曲線で花弁の枚数が $n$（奇数）と $2n$（偶数）で異なるのは、$\sin n\theta$ の周期と $r$ の符号の関係に起因します。$n$ が奇数のとき、$r < 0$ の部分は $r > 0$ の花弁と重なるため、見える花弁は $n$ 枚です。$n$ が偶数のときは重なりがなく $2n$ 枚になります。
レムニスケート（連珠形）は $r^2 = a^2\cos 2\theta$ で表される曲線です。$\infty$（無限大記号）のような形をしており、原点を中心に2つの「葉」をもちます。
$r^2 = a^2\cos 2\theta$ が意味をもつ（$r^2 \ge 0$ となる）のは $\cos 2\theta \ge 0$、すなわち $-\dfrac{\pi}{4} \le \theta \le \dfrac{\pi}{4}$ または $\dfrac{3\pi}{4} \le \theta \le \dfrac{5\pi}{4}$ の範囲です。
対称性から、$-\dfrac{\pi}{4} \le \theta \le \dfrac{\pi}{4}$ の部分の面積を2倍します（さらに $\theta$ 軸対称から $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{4}$ を4倍しても可）。
$$S = 2 \cdot \frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}a^2\cos 2\theta\,d\theta = a^2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos 2\theta\,d\theta$$
$$= a^2\left[\frac{\sin 2\theta}{2}\right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = a^2\left(\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = a^2$$
レムニスケート全体の面積が $a^2$（各葉の面積が $\dfrac{a^2}{2}$）というのは、$\pi$ を含まない非常にすっきりした結果です。これは $\cos 2\theta$ の積分が三角関数の値のみで表されることに由来します。
注意すべきは、$r^2 = a^2\cos 2\theta$ なので積分する際には $r^2$ をそのまま代入できる点です。$r$ を求めてから2乗する必要はありません。
✗ 誤：$0 \le \theta \le 2\pi$ で積分する → $\cos 2\theta < 0$ の区間で $r^2 < 0$ になり無意味
○ 正：$\cos 2\theta \ge 0$ の範囲（$-\dfrac{\pi}{4} \le \theta \le \dfrac{\pi}{4}$ など）でのみ積分する
$r^2$ の方程式では、$r^2 \ge 0$ となる $\theta$ の範囲を最初に確認することが必須です。
レムニスケートは、2つの焦点 $F_1$, $F_2$（距離 $a\sqrt{2}$）からの距離の積が一定（$= a^2$）である点の軌跡、すなわち $|PF_1| \cdot |PF_2| = a^2$ を満たす曲線です。これはカッシーニの卵形線の特殊な場合にあたります。楕円が「距離の和が一定」であるのに対し、レムニスケートは「距離の積が一定」です。
面積を求める際、極座標と直交座標のどちらを使うかは、曲線の表現方法と計算の簡便さで判断します。
✗ 誤：$r_1 = f(\theta)$ と $r_2 = g(\theta)$ で $S = \dfrac{1}{2}\int(r_1^2 - r_2^2)\,d\theta$ と安易に書く
○ 正：$r_1 \ge r_2 \ge 0$ の場合は $S = \dfrac{1}{2}\int(r_1^2 - r_2^2)\,d\theta$ でOK。交点で区間を分割する必要がある場合もある
極座標で2曲線間の面積を求めるときは、$r$ の大小関係を角度ごとに確認しましょう。直交座標の「上の曲線 $-$ 下の曲線」に対応するのは「外側の曲線 $-$ 内側の曲線」です。
| 座標系 | 面積公式 | 微小要素 |
|---|---|---|
| 直交座標 | $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ | 短冊（幅 $dx$, 高さ $f(x)$） |
| 極座標 | $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$ | 扇形（半径 $r$, 中心角 $d\theta$） |
直交座標の面積要素は $dS = dx\,dy$ ですが、極座標の面積要素は $dS = r\,dr\,d\theta$ です。極座標の面積公式 $\dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$ は、$r$ について $0$ から $f(\theta)$ まで積分した結果 $\int_0^{f(\theta)} r\,dr = \dfrac{1}{2}\{f(\theta)\}^2$ を $\theta$ で積分したものと解釈できます。大学数学の重積分で、この構造がより明確に見えてきます。
Q1. 極座標の面積公式で $\dfrac{1}{2}$ がつく理由は？
Q2. 円 $r = a$ の面積を極座標の面積公式で求めよ。
Q3. カージオイド $r = 2(1+\cos\theta)$ の面積を求めよ。
Q4. レムニスケート $r^2 = 4\cos 2\theta$ の全面積を求めよ。
Q5. バラ曲線 $r = 3\sin 2\theta$ の全面積を求めよ。
極方程式 $r = 1 + \cos\theta$ で表されるカージオイドの面積を求めよ。
対称性より上半分（$0 \le \theta \le \pi$）を2倍する。
$$S = 2 \cdot \frac{1}{2}\int_0^{\pi}(1+\cos\theta)^2\,d\theta = \int_0^{\pi}\left(\frac{3}{2} + 2\cos\theta + \frac{\cos 2\theta}{2}\right)d\theta$$
$$= \left[\frac{3\theta}{2} + 2\sin\theta + \frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{3\pi}{2}$$
バラ曲線 $r = 2\cos 3\theta$ の花弁1枚分の面積と、曲線全体が囲む面積を求めよ。
$n = 3$（奇数）なので花弁は3枚。$r \ge 0$ となる1つの花弁は $-\dfrac{\pi}{6} \le \theta \le \dfrac{\pi}{6}$。
花弁1枚の面積：
$$S_1 = \frac{1}{2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6}4\cos^2 3\theta\,d\theta = 2\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\frac{1+\cos 6\theta}{2}\,d\theta$$
$$= \left[\theta + \frac{\sin 6\theta}{6}\right]_{-\pi/6}^{\pi/6} = \frac{\pi}{3}$$
全体の面積：$S = 3 \times \dfrac{\pi}{3} = \pi$
レムニスケート $r^2 = 2\cos 2\theta$ について、
(1) 曲線が描かれる $\theta$ の範囲を求めよ。
(2) 曲線全体が囲む面積を求めよ。
(1) $r^2 \ge 0$ より $\cos 2\theta \ge 0$ が必要。
$\cos 2\theta \ge 0 \Leftrightarrow -\dfrac{\pi}{4} \le \theta \le \dfrac{\pi}{4}$ または $\dfrac{3\pi}{4} \le \theta \le \dfrac{5\pi}{4}$
(2) 対称性から右側の葉（$-\dfrac{\pi}{4} \le \theta \le \dfrac{\pi}{4}$）の面積を2倍する。
$$S = 2 \cdot \frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}2\cos 2\theta\,d\theta = 2\left[\frac{\sin 2\theta}{2}\right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = 2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right) = 2$$
円 $r = 1$ とカージオイド $r = 1 + \cos\theta$ で囲まれた部分のうち、カージオイドの外側で円の内側にある領域の面積を求めよ。
交点：$1 = 1 + \cos\theta$ より $\cos\theta = 0$、$\theta = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}$。
$\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{3\pi}{2}$ でカージオイド $r = 1+\cos\theta < 1 = $ 円の半径。この範囲で円の方が外側です。
求める面積は「円の面積のうち $\dfrac{\pi}{2} \le \theta \le \dfrac{3\pi}{2}$ の部分」から「カージオイドの同区間部分」を引いたもの：
$$S = \frac{1}{2}\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\left\{1^2 - (1+\cos\theta)^2\right\}d\theta$$
$$= \frac{1}{2}\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\left\{1 - 1 - 2\cos\theta - \cos^2\theta\right\}d\theta$$
$$= \frac{1}{2}\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\left(-2\cos\theta - \frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)d\theta$$
$$= \frac{1}{2}\left[-2\sin\theta - \frac{\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{4}\right]_{\pi/2}^{3\pi/2}$$
$$= \frac{1}{2}\left\{\left(2 - \frac{3\pi}{4} + 0\right) - \left(-2 - \frac{\pi}{4} + 0\right)\right\} = \frac{1}{2}\left(4 - \frac{\pi}{2}\right) = 2 - \frac{\pi}{4}$$
極座標で2曲線間の面積を求めるときは、「外側の $r^2$ $-$ 内側の $r^2$」を積分します。直交座標の「上 $-$ 下」が、極座標では「外 $-$ 内」に対応します。交点の角度を正確に求め、どちらが外側かを判定することがポイントです。