三角関数の積分は、基本公式だけではカバーしきれない多彩なパターンがあります。$\sin^2 x$ や $\cos^2 x$ は倍角公式で次数を下げ、$\tan x$ は分数の形に直す ── このように、三角関数の恒等式を積分に活かす技術を身につけましょう。数学IIで学んだ三角公式が、ここで強力な計算道具として蘇ります。
前の記事で学んだ $\sin x$ と $\cos x$ の積分に加えて、$\tan x$ の積分を導きましょう。$\tan x$ はそのままでは基本公式に当てはまりませんが、分数に書き換えることで道が開けます。
$$\int \tan x\,dx = -\log|\cos x| + C$$
※ $\log|\sec x| + C$ とも書けます（$\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$）。
$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ と書き換えます。ここで $(\cos x)' = -\sin x$ であることに注目すると、
$$\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \frac{-\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \frac{(\cos x)'}{\cos x}\,dx$$
$\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \log|f(x)| + C$ の形なので、
$$= -\log|\cos x| + C$$
$\tan x$ の積分の核心は、$\dfrac{\sin x}{\cos x}$ が「分母の微分（の定数倍）が分子」という形になっていることです。$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ 型の積分は $\log|f(x)|$ になる ── この認識パターンは、三角関数に限らず極めて広い場面で活躍します。
✗ $\int \tan x\,dx = \log|\cos x| + C$
○ $\int \tan x\,dx = -\log|\cos x| + C$
$(\cos x)' = -\sin x$ であり、$\sin x$ ではありません。このマイナスの処理を忘れると符号が逆になります。検算として $(-\log|\cos x|)' = -\dfrac{-\sin x}{\cos x} = \tan x$ を確認しましょう。
$\sin^2 x$ や $\cos^2 x$ は、そのままでは基本公式では積分できません。ここで活躍するのが半角公式（倍角公式の変形）です。
$\sin x$ や $\cos x$ の積分は知っていますが、$\sin^2 x$ の積分公式は基本公式にありません。$2$ 乗を $1$ 乗に落とすことで、既知の積分に帰着させるのが方針です。
$$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$
※ 倍角公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$ を変形したものです。
$$\int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$$
$$\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$$
半角公式 $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いて、
$$\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int (1 - \cos 2x)\,dx$$
$\int \cos 2x\,dx = \dfrac{\sin 2x}{2} + C$ であるから（$\sin 2x$ を微分すると $2\cos 2x$ なので $2$ で割る）、
$$= \frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2}\right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$$
三角関数のべき乗が被積分関数に現れたとき、半角公式（倍角公式の変形）を使って次数を下げるのが定石です。$\sin^4 x$ なら $(\sin^2 x)^2$ として半角公式を2回使います。この「次数下げ → 基本公式で積分」の流れを身につけましょう。
✗ $\int \cos 2x\,dx = \sin 2x + C$
○ $\int \cos 2x\,dx = \dfrac{\sin 2x}{2} + C$
$(\sin 2x)' = 2\cos 2x$ なので、$\cos 2x$ の積分は $\dfrac{1}{2}\sin 2x$ です。合成関数の微分の「内側の微分」を積分側では割り算として処理します。
$\sin^2 x$ と $\cos^2 x$ の積分結果を足すと、
$$\int \sin^2 x\,dx + \int \cos^2 x\,dx = \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right) + \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) + C = x + C$$
一方、$\int (\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = \int 1\,dx = x + C$ ですから、確かに整合しています。
$\sin x$ と $\cos x$ の積は、積和公式や倍角公式で和の形に変換してから積分します。
方法1：倍角公式を利用
$\sin x \cos x = \dfrac{1}{2}\sin 2x$ より、
$$\int \sin x \cos x\,dx = \frac{1}{2}\int \sin 2x\,dx = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) + C = -\frac{\cos 2x}{4} + C$$
方法2：$f(x)f'(x)$ 型として
$\sin x \cos x = \sin x \cdot (\sin x)'$ と見れば、$\dfrac{(\sin x)^2}{2}$ を微分したものなので、
$$\int \sin x \cos x\,dx = \frac{\sin^2 x}{2} + C$$
方法1の結果 $-\dfrac{\cos 2x}{4} + C_1$ と方法2の結果 $\dfrac{\sin^2 x}{2} + C_2$ は一見異なりますが、
$-\dfrac{\cos 2x}{4} = -\dfrac{1 - 2\sin^2 x}{4} = \dfrac{\sin^2 x}{2} - \dfrac{1}{4}$
なので、定数分の差しかなく、積分定数を込めれば同じものです。不定積分の答えは「定数差を除いて一意」であることを思い出しましょう。
$\sin mx \cos nx$ などの異なる角度の積は、積和公式で和に直すのが常套手段です。
$$\sin A \cos B = \frac{1}{2}\{\sin(A+B) + \sin(A-B)\}$$
$$\sin A \sin B = -\frac{1}{2}\{\cos(A+B) - \cos(A-B)\}$$
$$\cos A \cos B = \frac{1}{2}\{\cos(A+B) + \cos(A-B)\}$$
たとえば $\int \sin 3x \cos 2x\,dx$ は、積和公式で $\sin 3x \cos 2x = \dfrac{1}{2}(\sin 5x + \sin x)$ と変換してから積分します。
$$\int \sin 3x \cos 2x\,dx = \frac{1}{2}\int (\sin 5x + \sin x)\,dx = \frac{1}{2}\left(-\frac{\cos 5x}{5} - \cos x\right) + C$$
$\int_0^{2\pi} \sin mx \cos nx\,dx = 0$ のように、異なる周波数の三角関数の積の定積分は $0$ になることが多いです。この直交性と呼ばれる性質は、大学で学ぶフーリエ級数・フーリエ解析の基盤であり、音声信号の分析や画像圧縮の理論に直結します。
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$ と $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ の積分は、$\tan x$ と $\dfrac{1}{\tan x}$ の微分公式から直接得られます。
$$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$$
$$\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\frac{1}{\tan x} + C$$
※ $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ および $\left(-\dfrac{1}{\tan x}\right)' = \dfrac{1}{\sin^2 x}$ の逆です。
$\tan^2 x$ は直接積分できませんが、恒等式 $\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1$ を使えば簡単です。
$$\int \tan^2 x\,dx = \int \left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right)\,dx = \tan x - x + C$$
✗ $\int \tan^2 x\,dx = \int \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\,dx$ として強引に計算しようとする
○ $\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1$ の恒等式を使い、$\tan x - x + C$ と求める
三角関数の積分では、まず恒等式で簡単な形に変換できないかを考えるのが先決です。
三角関数の積分で新しい積分公式を覚えるよりも、「恒等式を使って既知の積分に帰着させる」という方針を徹底することが大切です。半角公式、倍角公式、$1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ など、数学IIの三角公式がすべて積分の道具になります。
大学数学では $\dfrac{1}{\cos x} = \sec x$（セカント）、$\dfrac{1}{\sin x} = \csc x$（コセカント）という記号を使います。$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$、$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$ のように書きます（$\cot x = \dfrac{1}{\tan x}$）。
三角関数の積分で出会う主なパターンを整理しておきましょう。どのパターンに該当するかを素早く見極められるようになることが、計算スピードの鍵です。
| 被積分関数 | 変換方法 | 結果 |
|---|---|---|
| $\sin x$ | 基本公式 | $-\cos x + C$ |
| $\cos x$ | 基本公式 | $\sin x + C$ |
| $\tan x$ | $\dfrac{\sin x}{\cos x}$ → $\dfrac{f'}{f}$ 型 | $-\log|\cos x| + C$ |
| $\sin^2 x$ | 半角公式で次数下げ | $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$ |
| $\cos^2 x$ | 半角公式で次数下げ | $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$ |
| $\tan^2 x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x} - 1$ | $\tan x - x + C$ |
| $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | 基本公式 | $\tan x + C$ |
| $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ | 基本公式 | $-\dfrac{1}{\tan x} + C$ |
| $\sin mx \cos nx$ | 積和公式で和に変換 | $\sin$, $\cos$ の基本積分へ |
✗ $\sin^2 x = \sin(x^2)$ と思って半角公式を適用
○ $\sin^2 x = (\sin x)^2$ であり、$\sin(x^2)$ とはまったく別物
$\sin^2 x$ は「$\sin x$ の $2$ 乗」です。$\sin(x^2)$ は「$x^2$ の正弦」であり、初等関数では積分できません。表記を正確に読み取ることが大切です。
$\sin^4 x$ のような高次のべき乗は、半角公式を繰り返し適用します。
$$\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}$$
さらに $\cos^2 2x = \dfrac{1 + \cos 4x}{2}$ を代入すると、$\sin 4x$ と定数の組み合わせになり、各項を個別に積分できます。
$\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx$ の値を一般に求めたのがウォリス（Wallis）の公式です。$n$ が偶数のときと奇数のときで異なる形になり、定積分の章で詳しく扱います。さらにウォリスの公式からは円周率 $\pi$ の無限乗積表示が導かれ、数学史上でも重要な結果です。
Q1. $\int \tan x\,dx$ を求めよ。
Q2. $\sin^2 x$ を積分可能な形に変換する半角公式は？
Q3. $\int \cos^2 x\,dx$ を求めよ。
Q4. $\int \tan^2 x\,dx$ を求めよ。
Q5. $\sin 3x \cos x$ を和の形に変換せよ。
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle\int (3\sin x - 2\cos x)\,dx$
(2) $\displaystyle\int \sin^2 x\,dx$
(3) $\displaystyle\int \frac{1 + \cos^2 x}{\cos^2 x}\,dx$
(1) $-3\cos x - 2\sin x + C$
(2) 半角公式より $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$ なので、
$\displaystyle\int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$
(3) $\dfrac{1 + \cos^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x} + 1$ より、
$\displaystyle\int \left(\frac{1}{\cos^2 x} + 1\right)\,dx = \tan x + x + C$
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle\int \sin 2x \cos 3x\,dx$
(2) $\displaystyle\int \cos^2 3x\,dx$
(1) 積和公式より $\sin 2x \cos 3x = \dfrac{1}{2}(\sin 5x + \sin(-x)) = \dfrac{1}{2}(\sin 5x - \sin x)$
$\displaystyle\int \frac{1}{2}(\sin 5x - \sin x)\,dx = \frac{1}{2}\left(-\frac{\cos 5x}{5} + \cos x\right) + C = -\frac{\cos 5x}{10} + \frac{\cos x}{2} + C$
(2) 半角公式より $\cos^2 3x = \dfrac{1 + \cos 6x}{2}$
$\displaystyle\int \frac{1 + \cos 6x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 6x}{12} + C$
次の不定積分を求めよ。
$$\int \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\,dx$$
$\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1$ より、
$$\int \tan^2 x\,dx = \int \left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right)\,dx = \tan x - x + C$$
$\displaystyle\int \sin^4 x\,dx$ を求めよ。
半角公式を2回適用する。$\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$ より、
$$\sin^4 x = \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}$$
さらに $\cos^2 2x = \dfrac{1 + \cos 4x}{2}$ を代入して、
$$\sin^4 x = \frac{1 - 2\cos 2x + \frac{1+\cos 4x}{2}}{4} = \frac{3 - 4\cos 2x + \cos 4x}{8}$$
したがって、
$$\int \sin^4 x\,dx = \frac{1}{8}\int (3 - 4\cos 2x + \cos 4x)\,dx$$
$$= \frac{1}{8}\left(3x - 2\sin 2x + \frac{\sin 4x}{4}\right) + C$$
$$= \frac{3x}{8} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C$$
$\sin^4 x$ のように偶数乗の三角関数は、半角公式を繰り返し適用して次数を下げていきます。$\sin^{2n} x$ は最終的に $\cos kx$（$k = 0, 2, 4, \ldots, 2n$）の和に帰着し、各項を $\dfrac{\sin kx}{k}$ で積分できます。この系統的な方法は $\sin^6 x$ 以上でも同様に使えます。