微分法を学んだ皆さんは、「この関数を微分すると何になるか」を求める技術を身につけました。積分法は、その逆を問います。「微分したらこの関数になるものは何か」──この問いに答えるのが不定積分です。第5章では、微分法で培った知識を土台に、積分法の世界を築いていきます。まずは基本公式を一つひとつ確認し、積分計算の出発点を固めましょう。
関数 $f(x)$ に対して、微分すると $f(x)$ になる関数を $f(x)$ の原始関数（不定積分）といいます。記号では次のように表します。
$$\int f(x)\,dx$$
これは「$f(x)$ を積分変数 $x$ について積分する」と読みます。たとえば $f(x) = 2x$ のとき、微分すると $2x$ になる関数は $x^2$ ですから、$\int 2x\,dx = x^2 + C$ となります。
不定積分とは、「微分したら $f(x)$ になる関数を見つけること」にほかなりません。
微分が「関数 → 導関数」の対応だとすれば、積分は「導関数 → 元の関数」を復元する操作です。ただし、定数項は微分すると消えるため、元の関数は一意には定まりません。これが積分定数 $C$ の正体です。
$F'(x) = f(x)$ を満たす関数 $F(x)$ が一つ見つかったとします。このとき、任意の定数 $C$ に対して $(F(x) + C)' = F'(x) = f(x)$ ですから、$F(x) + C$ もまた原始関数です。逆に、$G'(x) = f(x)$ を満たす別の関数 $G(x)$ があれば、$(G(x) - F(x))' = 0$ より $G(x) - F(x)$ は定数です。
$F'(x) = f(x)$、$G'(x) = f(x)$ とする。$H(x) = G(x) - F(x)$ とおくと、
$$H'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0$$
区間上で $H'(x) = 0$ ならば、平均値の定理より $H(x)$ は定数関数です（第4章で学んだ定理）。よって $G(x) = F(x) + C$（$C$ は定数）となり、$f(x)$ の原始関数は $F(x) + C$ の形ですべて尽くされます。
このことから、$f(x)$ の不定積分は次のように書けます。
$F'(x) = f(x)$ のとき、
$$\int f(x)\,dx = F(x) + C \quad \text{（$C$ は積分定数）}$$
※ $f(x)$ を被積分関数、$x$ を積分変数、$C$ を積分定数といいます。
✗ $\int 2x\,dx = x^2$
○ $\int 2x\,dx = x^2 + C$
不定積分を求めたら、必ず $+C$（$C$ は積分定数）を付けるのが鉄則です。入試では $C$ の書き忘れで減点されることが少なくありません。
積分記号 $\int$ はラテン語の summa（和）の頭文字 S を縦に引き延ばしたものです。後に学ぶ定積分では、微小量の「総和」を求める操作が積分であることがわかります。ライプニッツがこの記号を考案し、$dx$ は「$x$ の微小な増分」を意味します。
微分の基本公式 $(x^{n+1})' = (n+1)x^n$ を逆に読めば、$x^n$ の積分公式が得られます。両辺を $n+1$ で割ると、
$$\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = x^n$$
したがって、$x^n$ の原始関数の一つは $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ です。
$\alpha$ が実数で $\alpha \neq -1$ のとき、
$$\int x^{\alpha}\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$$
$\alpha = -1$（つまり $\dfrac{1}{x}$ の積分）のとき、
$$\int \frac{1}{x}\,dx = \log|x| + C$$
※ $\alpha$ は整数に限らず、$\dfrac{1}{2}$（つまり $\sqrt{x}$）や $-2$ などの実数でも成り立ちます。
$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ の公式で $n = -1$ を代入すると、分母が $0$ になり意味をなしません。$\dfrac{1}{x}$ の原始関数は $x$ のべき乗では表せず、まったく別の関数 $\log|x|$ が必要になります。これは $(\log|x|)' = \dfrac{1}{x}$ という対数関数の微分公式の逆です。
公式の使い方を具体例で見てみましょう。
$$\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C, \quad \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$$
$$\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$$
✗ $\int \sqrt{x}\,dx = \dfrac{(\sqrt{x})^2}{2} + C = \dfrac{x}{2} + C$
○ $\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \dfrac{x^{3/2}}{3/2} + C = \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C$
$\sqrt{x} = x^{1/2}$ と書き換えてから公式を適用します。「$\sqrt{x}$ の $2$ 乗が $x$ だから $2$ で割る」という誤りが多いので注意しましょう。
$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$ は $x > 0$ でしか定義されません。$x < 0$ のときは $\log(-x)$ を考えると、合成関数の微分法により $(\log(-x))' = \dfrac{1}{-x} \cdot (-1) = \dfrac{1}{x}$ となります。これらをまとめて $(\log|x|)' = \dfrac{1}{x}$（$x \neq 0$）と書けるため、絶対値が必要になるのです。
✗ $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \log x + C$
○ $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \log|x| + C$
$\log x$ は $x > 0$ でしか定義されませんが、$\dfrac{1}{x}$ は $x \neq 0$ で定義されます。$x < 0$ の領域にも対応するために $\log|x|$ と書く必要があります。
第3章で学んだ導関数の公式を「逆に読む」と、三角関数や指数関数の積分公式が得られます。微分の公式と積分の公式は表裏一体の関係です。
$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$
$$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$
$$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$$
※ それぞれ $(-\cos x)' = \sin x$、$(\sin x)' = \cos x$、$(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ の逆です。
$$\int e^x\,dx = e^x + C$$
$$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\log a} + C \quad (a > 0,\; a \neq 1)$$
※ $(e^x)' = e^x$、$(a^x)' = a^x \log a$ の逆です。$a^x$ の積分では $\log a$ で割ることを忘れないようにしましょう。
$e^x$ は「微分しても積分しても自分自身」という特別な関数です。この性質は数学のあらゆる場面で重要な役割を果たします。
積分公式を丸暗記する必要はありません。「微分したら何になるか」を知っていれば、それを逆にたどるだけです。
たとえば $\sin x$ の積分を忘れたら、「何を微分したら $\sin x$ になるか」を考えます。$(\cos x)' = -\sin x$ ですから、$(-\cos x)' = \sin x$ です。よって $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ です。
| 被積分関数 $f(x)$ | 不定積分 $\int f(x)\,dx$ | 確認（微分） |
|---|---|---|
| $x^{\alpha}$（$\alpha \neq -1$） | $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$ | $\left(\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\right)' = x^{\alpha}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\log|x| + C$ | $(\log|x|)' = \dfrac{1}{x}$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ | $(-\cos x)' = \sin x$ |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ | $(\sin x)' = \cos x$ |
| $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan x + C$ | $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ | $(e^x)' = e^x$ |
| $a^x$（$a > 0, a \neq 1$） | $\dfrac{a^x}{\log a} + C$ | $\left(\dfrac{a^x}{\log a}\right)' = a^x$ |
$\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$ より、$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\dfrac{1}{\tan x} + C$ も成り立ちます。これは三角関数の積分（次の記事）で詳しく扱います。
不定積分には、微分と同じく線形性が成り立ちます。これは計算において非常に強力な性質です。
$k$ を定数とするとき、
$$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$$
$$\int \{f(x) + g(x)\}\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$$
これらを組み合わせると、
$$\int \{af(x) + bg(x)\}\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$
※ 定数倍は $\int$ の外に出せる。和の積分は積分の和。
$F'(x) = f(x)$、$G'(x) = g(x)$ とする。
$(kF(x))' = kF'(x) = kf(x)$ より、$\int kf(x)\,dx = kF(x) + C = k\int f(x)\,dx$
$(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)$ より、
$\int \{f(x) + g(x)\}\,dx = F(x) + G(x) + C = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$
微分の線形性がそのまま積分の線形性を導くのです。
線形性を使えば、多項式の積分は各項を個別に積分するだけです。
$$\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - 2x^2 + 5x + C$$
展開してから各項を積分する、という流れが基本戦略です。
$$\int (x+1)(x-2)\,dx = \int (x^2 - x - 2)\,dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + C$$
✗ $\int f(x)g(x)\,dx = \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$
○ 積の形は展開してから各項を積分する。または置換積分・部分積分を使う
微分には積の法則 $(fg)' = f'g + fg'$ がありますが、これは「積の積分 = 積分の積」を意味しません。積の積分を直接求める一般公式はなく、展開や特殊な技法（後の記事で学ぶ置換積分・部分積分）が必要です。
分数式も、割り算や部分分数分解で整理すれば基本公式で積分できます。
$$\int \frac{x^2 + 1}{x}\,dx = \int \left(x + \frac{1}{x}\right)\,dx = \frac{x^2}{2} + \log|x| + C$$
大学数学では、「定数倍と和を保存する操作」を線形写像と呼びます。微分も積分も線形写像であり、この性質が微分方程式の理論（重ね合わせの原理）や関数解析の基盤となります。高校で学ぶ線形性は、実は非常に深い数学的構造の入口なのです。
不定積分を求めるたびに付ける積分定数 $C$ は、一見すると形式的な約束事に思えるかもしれません。しかし、$C$ には明確な数学的意味があります。
$\int 2x\,dx = x^2 + C$ という式は、$C = 0$ なら $y = x^2$、$C = 1$ なら $y = x^2 + 1$、$C = -3$ なら $y = x^2 - 3$ という無数の放物線をまとめて表しています。これらはすべて $y$ 軸方向に平行移動した同じ形のグラフであり、すべて $y' = 2x$ を満たします。
$\int f(x)\,dx = F(x) + C$ の各 $C$ に対応するグラフ $y = F(x) + C$ は、互いに$y$ 軸方向の平行移動の関係にあります。積分定数を決めるとは、この無数の曲線の中から1本を選ぶことです。初期条件（たとえば $F(0) = 1$）が与えられれば $C$ が定まります。
$\int (f(x) + g(x))\,dx$ を計算するとき、各項にそれぞれ $C_1$, $C_2$ が出ますが、$C_1 + C_2$ もまた任意の定数ですから、最終的には$C$ を一つだけ書けば十分です。
✗ $\int (2x + 3)\,dx = x^2 + C_1 + 3x + C_2$
○ $\int (2x + 3)\,dx = x^2 + 3x + C$
最終結果には積分定数を1個だけ付けます。途中計算で $C_1$, $C_2$ が現れても、最後にまとめて $C$ と書きましょう。
不定積分の結果が正しいかどうかは、微分して元の被積分関数に戻るかを確認することで検算できます。これは積分が微分の逆操作であることの直接的な帰結です。
たとえば $\int (6x^2 - 2x + 1)\,dx = 2x^3 - x^2 + x + C$ の検算は：
$$(2x^3 - x^2 + x + C)' = 6x^2 - 2x + 1 \quad \checkmark$$
$F'(x) = f(x)$ は最も単純な微分方程式です。この方程式の一般解が $F(x) + C$ であり、初期条件 $F(a) = b$ を与えると $C$ が決まって特殊解が得られます。この考え方は物理学（運動方程式）や工学で広く使われます。
Q1. $\int x^5\,dx$ を求めよ。
Q2. $\int \dfrac{1}{x^3}\,dx$ を求めよ。
Q3. $\int (3\sin x + 2e^x)\,dx$ を求めよ。
Q4. $\int (x+1)^2\,dx$ を求めよ。
Q5. $\int 2^x\,dx$ を求めよ。
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 7)\,dx$
(2) $\displaystyle\int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx$
(3) $\displaystyle\int \left(2\cos x - \frac{3}{\cos^2 x}\right)\,dx$
(1) $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 7)\,dx = x^3 - 2x^2 + 7x + C$
(2) $\sqrt{x} = x^{1/2}$、$\dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ と書き換えて、
$\displaystyle\int (x^{1/2} + x^{-1/2})\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C$
(3) $\displaystyle\int \left(2\cos x - \frac{3}{\cos^2 x}\right)\,dx = 2\sin x - 3\tan x + C$
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle\int \frac{x^3 + 2x - 1}{x^2}\,dx$
(2) $\displaystyle\int \frac{(1 + \sqrt{x})^2}{\sqrt{x}}\,dx$
(1) 各項を $x^2$ で割って、
$\displaystyle\int \left(x + 2x^{-1} - x^{-2}\right)\,dx = \frac{x^2}{2} + 2\log|x| + \frac{1}{x} + C$
(2) 分子を展開して $\sqrt{x}$ で割ると、
$\dfrac{(1+\sqrt{x})^2}{\sqrt{x}} = \dfrac{1 + 2\sqrt{x} + x}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} + 2 + x^{1/2}$
$\displaystyle\int (x^{-1/2} + 2 + x^{1/2})\,dx = 2\sqrt{x} + 2x + \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$
$f'(x) = 6x^2 - 4x + 1$ を満たす関数 $f(x)$ のうち、$f(1) = 3$ となるものを求めよ。
$f(x) = \int (6x^2 - 4x + 1)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + x + C$
$f(1) = 3$ より $2 - 2 + 1 + C = 3$、よって $C = 2$
$$f(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + 2$$
$f''(x) = 12x - 6$ を満たす関数 $f(x)$ のうち、$f(0) = 1$、$f'(0) = -2$ となるものを求めよ。また、$f(x)$ の極値をすべて求めよ。
$f'(x) = \int (12x - 6)\,dx = 6x^2 - 6x + C_1$
$f'(0) = -2$ より $C_1 = -2$。よって $f'(x) = 6x^2 - 6x - 2$
$f(x) = \int (6x^2 - 6x - 2)\,dx = 2x^3 - 3x^2 - 2x + C_2$
$f(0) = 1$ より $C_2 = 1$。よって $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 2x + 1$
極値の計算：$f'(x) = 6x^2 - 6x - 2 = 0$ より $x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 + 48}}{12} = \dfrac{6 \pm \sqrt{84}}{12} = \dfrac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$
$f'(x)$ の最高次係数が正より、$x = \dfrac{3 - \sqrt{21}}{6}$ で極大、$x = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{6}$ で極小。
極大値：$f\!\left(\dfrac{3-\sqrt{21}}{6}\right)$、極小値：$f\!\left(\dfrac{3+\sqrt{21}}{6}\right)$ を代入して求める。
$f''(x)$ から2回積分して $f(x)$ を求める問題です。積分のたびに積分定数が現れ、それを初期条件で決定します。これは2階微分方程式の初期値問題であり、2つの条件（$f(0)$ と $f'(0)$）で関数が一意に定まります。