$\sin^n x$ の定積分の漸化式（III-5-13）から出発すると、$\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \cdot \dfrac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdot \dfrac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7} \cdots$ という驚くべき等式が導かれます。右辺は自然数だけからなる分数の無限積ですが、その値は円周率 $\pi$ を含みます。17世紀にジョン・ウォリスが発見したこの公式は、定積分・漸化式・不等式・極限という高校数学の集大成的なテーマです。
III-5-13 で導いた漸化式 $I_n = \dfrac{n-1}{n}\,I_{n-2}$ と初期値 $I_0 = \dfrac{\pi}{2}$、$I_1 = 1$ から、$I_n$ の値を再確認しましょう。
$n$ が偶数 ($n = 2m$) のとき：
$$I_{2m} = \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2m-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2m)} \cdot \frac{\pi}{2}$$
$n$ が奇数 ($n = 2m+1$) のとき：
$$I_{2m+1} = \frac{(2m)!!}{(2m+1)!!} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2m)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2m+1)}$$
※ 二重階乗の記法：$(2m)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2m)$、$(2m-1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2m-1)$
偶数の場合には $\dfrac{\pi}{2}$ が因子として現れ、奇数の場合には有理数になるという対照的な性質を持ちます。ウォリスの公式はこの「$\pi$ が現れる場合と現れない場合」の比を取ることで成立します。
二重階乗は通常の階乗で次のように表せます。
偶数の二重階乗：$(2m)!! = 2^m \cdot m!$
奇数の二重階乗：$(2m-1)!! = \dfrac{(2m)!}{2^m \cdot m!}$
これらを使うと $I_{2m} = \dfrac{(2m)!}{2^{2m}(m!)^2} \cdot \dfrac{\pi}{2}$、$I_{2m+1} = \dfrac{2^{2m}(m!)^2}{(2m+1)!}$ と書けます。
✗ $(2m)!! = (2m) \cdot (2m-1) \cdot (2m-2) \cdots 2 \cdot 1 = (2m)!$ → これは通常の階乗
○ $(2m)!! = (2m) \cdot (2m-2) \cdot (2m-4) \cdots 4 \cdot 2$ → 偶数だけを掛ける
二重階乗 $n!!$ は「$n$ から始めて $2$ ずつ減らしながら掛ける」操作です。$(2m)!$ とは全く異なります。
ウォリスの公式を導くための鍵は、$\dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}}$ の比が $n \to \infty$ で $1$ に収束するという事実です。
III-5-13 で確認したように、$I_n$ は $n$ について単調減少です。したがって、
$$I_{2n+1} \le I_{2n} \le I_{2n-1}$$
各辺を $I_{2n+1} > 0$ で割ると、
$$1 \le \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \le \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}$$
漸化式 $I_{2n+1} = \dfrac{2n}{2n+1}I_{2n-1}$ より、$\dfrac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = \dfrac{2n+1}{2n}$ です。したがって、
$$1 \le \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \le \frac{2n+1}{2n}$$
$\dfrac{2n+1}{2n} = 1 + \dfrac{1}{2n} \to 1$（$n \to \infty$）なので、はさみうちの原理より $\dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \to 1$ が得られます。
$I_{2n}$ と $I_{2n+1}$ の値を代入して比を計算すると、
$$\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = \frac{\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}} = \frac{(2n-1)!! \cdot (2n+1)!!}{((2n)!!)^2} \cdot \frac{\pi}{2}$$
$\dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \to 1$ と具体的な比の式を組み合わせると、
$$\frac{(2n-1)!! \cdot (2n+1)!!}{((2n)!!)^2} \cdot \frac{\pi}{2} \to 1$$
逆に解くと、$\dfrac{\pi}{2} = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{((2n)!!)^2}{(2n-1)!! \cdot (2n+1)!!}$ が得られます。これがウォリスの公式です。
✗ $\dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \to 1$ だから $I_{2n} = I_{2n+1}$ → $\dfrac{\pi}{2}$ の因子が消えてしまう
○ 比は $1$ に収束するが、各有限の $n$ では $I_{2n} > I_{2n+1}$ であり、比は厳密に $1$ より大きい
極限が $1$ であることと、各項が等しいことは別です。$\dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}}$ の具体的な式に $\dfrac{\pi}{2}$ が含まれているからこそ、極限操作で $\pi$ が抽出できるのです。
Step 1：$I_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$ の漸化式 $I_n = \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ と初期値 $I_0 = \dfrac{\pi}{2}$、$I_1 = 1$ を用意する。
Step 2：$I_{2n+1} \le I_{2n} \le I_{2n-1}$ より、$1 \le \dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \le \dfrac{2n+1}{2n}$ を示す。
Step 3：はさみうちの原理から $\dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \to 1$。
Step 4：具体的に計算すると、
$$\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1)(2n+1)}{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdots (2n)(2n)}$$
これが $1$ に収束するので、
$$\frac{\pi}{2} = \lim_{n\to\infty}\frac{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdots (2n)(2n)}{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1)(2n+1)}$$
$$\frac{\pi}{2} = \prod_{k=1}^{\infty}\frac{(2k)(2k)}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \cdot \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdot \frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7} \cdots$$
あるいは同値な表現として、
$$\frac{\pi}{2} = \lim_{n\to\infty}\frac{((2n)!!)^2}{(2n-1)!! \cdot (2n+1)!!} = \lim_{n\to\infty}\frac{2^{4n}(n!)^4}{((2n)!)^2(2n+1)}$$
※ 自然数だけの積から $\pi$ が現れるという、数学史上最も美しい公式の一つです。
ウォリスの積の部分積を計算してみましょう。
| $n$ | $\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\frac{4k^2}{4k^2-1}$ | 近似値 | $\dfrac{\pi}{2} \approx 1.5708$ との差 |
|---|---|---|---|
| $1$ | $\dfrac{4}{3}$ | $1.3333$ | $0.2374$ |
| $2$ | $\dfrac{64}{45}$ | $1.4222$ | $0.1486$ |
| $5$ | $\dfrac{2^{20} \cdot 5^2}{9!! \cdot 11!!}$ | $1.5084$ | $0.0624$ |
| $10$ | $1.5333$ | $0.0375$ | |
| $100$ | $1.5669$ | $0.0039$ |
収束は遅いですが、確実に $\dfrac{\pi}{2}$ に近づいていることがわかります。
✗ ウォリスの公式で $\pi$ を効率よく計算できる → 収束が非常に遅く、実用的ではない
○ ウォリスの公式は理論的な美しさに価値がある。$\pi$ の数値計算にはマチンの公式などがはるかに高速
$n = 100$ でもまだ3桁程度の精度です。しかし、自然数の積だけで $\pi$ が表現できるという事実自体が深い数学的意義を持っています。
ウォリスの公式はさまざまな形に書き換えることができます。
$$\frac{\pi}{2} = \prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1} = \prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1 - \frac{1}{4k^2}}$$
各因子 $\dfrac{4k^2}{4k^2 - 1} = \dfrac{4k^2}{(2k-1)(2k+1)}$ は $1$ より大きいので、部分積は単調増加で $\dfrac{\pi}{2}$ に下から近づきます。
ウォリスの公式は、$\sin x$ の無限積表示と密接に関連しています。
$$\frac{\sin x}{x} = \prod_{k=1}^{\infty}\left(1 - \frac{x^2}{k^2\pi^2}\right)$$
に $x = \dfrac{\pi}{2}$ を代入すると、
$$\frac{2}{\pi} = \prod_{k=1}^{\infty}\left(1 - \frac{1}{4k^2}\right) = \prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2 - 1}{4k^2}$$
逆数を取れば $\dfrac{\pi}{2} = \displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\dfrac{4k^2}{4k^2-1}$ となり、ウォリスの公式が得られます。
漸化式からの導出：$\sin^n x$ の積分の漸化式 → $I_{2n}/I_{2n+1} \to 1$ → ウォリスの公式。高校数学の範囲で完結する厳密な証明です。
無限積からの導出：$\sin x$ の無限積表示に $x = \pi/2$ を代入。こちらは無限積表示の証明自体が大学レベルですが、公式の構造的な理解に役立ちます。
$\sin x$ の無限積表示はオイラーが発見したもので、$x^2$ の係数を比較すると $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$（バーゼル問題）が導かれます。ウォリスの公式も $\zeta(2) = \dfrac{\pi^2}{6}$ も、三角関数と $\pi$ の深い関係を示す結果です。
$\dfrac{(2k)(2k)}{(2k-1)(2k+1)}$ は、偶数 $2k$ の二乗をその両隣の奇数の積で割ったものです。各因子はわずかに $1$ を超えますが、それらを無限に掛け合わせると $\dfrac{\pi}{2}$ という超越数に収束します。
自然数の規則的な配列から $\pi$ が自然に現れるという事実は、整数と円周率の間の予想外のつながりを示しています。
ウォリスの公式はスターリングの近似公式 $n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$ と密接に関連しています。実際、ウォリスの公式はスターリングの公式の「$\sqrt{2\pi}$ の部分」を決定する役割を担っています。
スターリングの近似では、$n! \approx C\sqrt{n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$ の形で定数 $C$ が未定です。ウォリスの公式を使って $C = \sqrt{2\pi}$ を決定できます。
$n! \approx C\sqrt{n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$ と仮定します。ウォリスの公式の分子分母を階乗で表すと、
$$(2n)!! = 2^n \cdot n!, \quad (2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}$$
ウォリスの公式 $\dfrac{\pi}{2} = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{((2n)!!)^2}{(2n-1)!! \cdot (2n+1)!!}$ に代入すると、
$$\frac{\pi}{2} = \lim_{n\to\infty}\frac{2^{4n}(n!)^4}{((2n)!)^2 \cdot (2n+1)}$$
スターリングの近似 $n! \approx C\sqrt{n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$ と $(2n)! \approx C\sqrt{2n}\left(\dfrac{2n}{e}\right)^{2n}$ を代入すると、
$$\frac{\pi}{2} = \lim_{n\to\infty}\frac{2^{4n} \cdot C^4 n^2 \cdot \frac{n^{4n}}{e^{4n}}}{C^2 \cdot 2n \cdot \frac{(2n)^{4n}}{e^{4n}} \cdot (2n+1)}$$
$\dfrac{2^{4n} \cdot n^{4n}}{(2n)^{4n}} = 1$、$\dfrac{C^4 n^2}{C^2 \cdot 2n \cdot (2n+1)} \approx \dfrac{C^2}{4}$ より、
$$\frac{\pi}{2} = \frac{C^2}{4}$$
$$C^2 = 2\pi, \quad C = \sqrt{2\pi}$$
$$n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \quad (n \to \infty)$$
※ $\sqrt{2\pi}$ の係数はウォリスの公式から決定されます。$n = 10$ で相対誤差は約 $0.8\%$ と非常に良い近似です。
| $n$ | $n!$ | $\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$ | 相対誤差 |
|---|---|---|---|
| $1$ | $1$ | $0.9221$ | $7.8\%$ |
| $5$ | $120$ | $118.02$ | $1.6\%$ |
| $10$ | $3628800$ | $3598695$ | $0.83\%$ |
| $20$ | $\approx 2.433 \times 10^{18}$ | $\approx 2.423 \times 10^{18}$ | $0.42\%$ |
✗ $n! = \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$ と書く → 等式ではなく近似式
○ $n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$（$n \to \infty$）と書く → 比が $1$ に収束するという意味
記号 $\sim$ は「漸近的に等しい」を意味します。$\dfrac{n!}{\sqrt{2\pi n}(n/e)^n} \to 1$（$n \to \infty$）ということであり、有限の $n$ では厳密には一致しません。
大学数学では階乗を実数・複素数に拡張したガンマ関数 $\Gamma(s) = \displaystyle\int_0^{\infty}t^{s-1}e^{-t}\,dt$ を学びます。$\Gamma(n+1) = n!$ であり、ウォリスの公式は $\Gamma\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$ と同値です。スターリングの近似はガンマ関数の漸近展開として精密化されます。
✗ 「ウォリスの公式より $\dfrac{\pi}{2} = \cdots$」とだけ書く → 教科書範囲外の公式を証明なしに使うと減点の可能性
○ 問題文に誘導がある場合は、その流れに沿って導出する。自力で使う場合は、$I_{2n}/I_{2n+1} \to 1$ から導出過程を答案に書く
入試では多くの場合、$I_n$ の漸化式や不等式が誘導として与えられ、その結果としてウォリスの公式に到達する構成になっています。
Q1. $I_{2n}$ と $I_{2n+1}$ はどちらが大きいですか？ その理由は？
Q2. ウォリスの公式 $\dfrac{\pi}{2} = \displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\dfrac{4k^2}{4k^2-1}$ の最初の3因子を書いてください。
Q3. $(6)!! = ?$
Q4. $\dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \to 1$ を示すとき、どんな不等式を使いますか？
Q5. スターリングの近似の定数 $\sqrt{2\pi}$ はどの公式から決まりますか？
$I_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$ として、$I_6$ と $I_7$ の値をそれぞれ求めよ。
漸化式 $I_n = \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ を用いる。
$I_6$（偶数）：$I_6 = \dfrac{5}{6}I_4 = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{4}I_2 = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2}I_0 = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{5\pi}{32}$
$I_7$（奇数）：$I_7 = \dfrac{6}{7}I_5 = \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{4}{5}I_3 = \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{2}{3}I_1 = \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot 1 = \dfrac{16}{35}$
$I_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$ について、次を示せ。
(1) $I_{2n+2} \le I_{2n+1} \le I_{2n}$
(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = 1$
(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdots (2n)(2n)}{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)(2n+1)} = \frac{\pi}{2}$
(1) $0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}$ で $0 \le \sin x \le 1$ より $\sin^{2n+2} x \le \sin^{2n+1} x \le \sin^{2n} x$。
各辺を $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで積分して $I_{2n+2} \le I_{2n+1} \le I_{2n}$。
(2) (1) より $1 \le \dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \le \dfrac{I_{2n}}{I_{2n+2}}$。
漸化式から $\dfrac{I_{2n}}{I_{2n+2}} = \dfrac{I_{2n}}{\frac{2n+1}{2n+2}I_{2n}} = \dfrac{2n+2}{2n+1}$。
$\dfrac{2n+2}{2n+1} = 1 + \dfrac{1}{2n+1} \to 1$（$n \to \infty$）。はさみうちの原理より $\dfrac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \to 1$。
(3) $I_{2n} = \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \dfrac{\pi}{2}$、$I_{2n+1} = \dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$ を代入すると、
$$\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = \frac{(2n-1)!! \cdot (2n+1)!!}{((2n)!!)^2} \cdot \frac{\pi}{2}$$
(2) よりこれが $1$ に収束するので、
$$\frac{((2n)!!)^2}{(2n-1)!! \cdot (2n+1)!!} \to \frac{\pi}{2}$$
$(2n)!! = 2 \cdot 4 \cdots (2n)$、$(2n-1)!! \cdot (2n+1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)(2n+1)$ と展開すると、
$$\lim_{n\to\infty}\frac{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdots (2n)(2n)}{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)(2n+1)} = \frac{\pi}{2}$$
$J_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx$ とするとき、
(1) $I_n = J_n$ を示せ（$I_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$）。
(2) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^n x \cos^2 x\,dx$ を $I_n$ で表せ。
(1) $t = \dfrac{\pi}{2} - x$ と置換する。$x = 0$ で $t = \dfrac{\pi}{2}$、$x = \dfrac{\pi}{2}$ で $t = 0$、$dx = -dt$ より、
$$I_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx = \int_{\pi/2}^{0}\sin^n\!\left(\frac{\pi}{2}-t\right)(-dt) = \int_0^{\pi/2}\cos^n t\,dt = J_n$$
(2) $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ より、
$$\int_0^{\pi/2}\sin^n x \cos^2 x\,dx = \int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx - \int_0^{\pi/2}\sin^{n+2} x\,dx = I_n - I_{n+2}$$
漸化式 $I_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}I_n$ を使うと、
$$I_n - I_{n+2} = I_n\left(1 - \frac{n+1}{n+2}\right) = \frac{I_n}{n+2}$$
$n! = C_n \sqrt{n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$ と定める（$C_n > 0$）。ウォリスの公式を用いて $\displaystyle\lim_{n\to\infty}C_n = \sqrt{2\pi}$ を示せ。
$n! = C_n\sqrt{n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$ より、
$(2n)! = C_{2n}\sqrt{2n}\left(\dfrac{2n}{e}\right)^{2n}$、$(n!)^2 = C_n^2 \cdot n \cdot \left(\dfrac{n}{e}\right)^{2n}$
ウォリスの公式を階乗で表すと、
$$\frac{\pi}{2} = \lim_{n\to\infty}\frac{2^{4n}(n!)^4}{((2n)!)^2(2n+1)}$$
代入すると、
$$\frac{2^{4n}(n!)^4}{((2n)!)^2(2n+1)} = \frac{2^{4n} \cdot C_n^4 \cdot n^2 \cdot \frac{n^{4n}}{e^{4n}}}{C_{2n}^2 \cdot 2n \cdot \frac{(2n)^{4n}}{e^{4n}} \cdot (2n+1)}$$
$2^{4n} \cdot n^{4n} = (2n)^{4n}$ より分子分母で相殺して、
$$= \frac{C_n^4 \cdot n^2}{C_{2n}^2 \cdot 2n \cdot (2n+1)} = \frac{C_n^4}{C_{2n}^2} \cdot \frac{n}{2(2n+1)}$$
$\dfrac{n}{2(2n+1)} \to \dfrac{1}{4}$（$n \to \infty$）より、
$$\frac{\pi}{2} = \lim_{n\to\infty}\frac{C_n^4}{C_{2n}^2} \cdot \frac{1}{4}$$
$C_n \to C$（$n \to \infty$ で収束すると仮定）とすると $C_{2n} \to C$ でもあるから、
$$\frac{\pi}{2} = \frac{C^4}{C^2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{C^2}{4}$$
$$C^2 = 2\pi, \quad C = \sqrt{2\pi}$$
（$C_n$ の収束自体は、$\dfrac{C_{n+1}}{C_n}$ が $1$ に収束することと、$C_n$ の単調性から示される。）
スターリングの近似において「$\sqrt{2\pi}$ がどこから来るのか」をウォリスの公式が教えてくれます。$\pi$ は円周率という幾何学的な定数ですが、階乗の増大速度（組合せ論的な対象）にも自然に現れるのです。この関係はガンマ関数 $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ として統一的に理解されます。