これまで学んだ増減・極値・凹凸・変曲点・漸近線の情報を統合して、関数のグラフの概形を描きます。グラフの概形は入試で頻出するだけでなく、方程式の解の個数や不等式の証明など他の問題を解く際の基盤ともなります。「何をどの順で調べるか」を体系的に身につけましょう。
Step 1. 定義域：関数が定義される $x$ の範囲を確認する
Step 2. 対称性・周期性：偶関数・奇関数・周期関数かどうかを確認する
Step 3. $f'(x)$ の符号：増減を調べる（増減表を作成）
Step 4. $f''(x)$ の符号：凹凸を調べ、変曲点を求める
Step 5. 極限：$x \to \pm\infty$, 定義域の端点での極限を調べる
Step 6. 漸近線：水平漸近線・垂直漸近線・斜め漸近線を求める
Step 7. 特殊な点：$y$ 切片、$x$ 切片（可能なら）を求める
$f'(x)$ と $f''(x)$ の情報を1つの表にまとめることで、グラフの形を効率的に把握できます。各区間で $f'$ と $f''$ の符号を記入し、グラフの形状を4パターン（右上がり凸、右上がり凹、右下がり凸、右下がり凹）で示しましょう。
✕ 誤：増減表さえ書けばグラフは描ける
○ 正：増減表に加え、凹凸・漸近線・極限の情報がなければ正確なグラフは描けない
特に $x \to \pm\infty$ での漸近線の有無や、変曲点の位置はグラフの形を大きく左右します。
偶関数（$f(-x) = f(x)$）なら $y$ 軸対称 → $x \geq 0$ の部分だけ調べればよい。奇関数（$f(-x) = -f(x)$）なら原点対称 → $x \geq 0$ の部分だけ調べればよい。対称性を見抜くことで計算量を半分にできます。
水平漸近線：$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ のとき、$y = L$ が水平漸近線
垂直漸近線：$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ のとき、$x = a$ が垂直漸近線
斜め漸近線：$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\left[f(x) - (mx + n)\right] = 0$ のとき、$y = mx + n$ が斜め漸近線
斜め漸近線の $m$, $n$ は $m = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}$, $n = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]$ で求められる
✕ 誤：$f(x) \to \infty$ なら漸近線はない
○ 正：$f(x) \to \infty$ でも斜め漸近線が存在する場合がある
$f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ では $f(x) \to \infty$ だが、$f(x) - x = \dfrac{1}{x} \to 0$ より $y = x$ が斜め漸近線。
Step 1. 定義域：$x \neq 1$（$x = 1$ で分母 $= 0$）
Step 2. 対称性：偶関数でも奇関数でもない
Step 3. 増減：$f'(x) = \dfrac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$
$f'(x) = 0$ のとき $x = 0, 2$。$(x-1)^2 > 0$ なので分子の符号で判定。
$x < 0$：$f'(x) > 0$（増加）、$0 < x < 1$：$f'(x) < 0$（減少）、$1 < x < 2$：$f'(x) < 0$（減少）、$x > 2$：$f'(x) > 0$（増加）
$x = 0$ で極大値 $f(0) = 0$、$x = 2$ で極小値 $f(2) = 4$
Step 5. 極限：$x \to 1^-$ で $f \to -\infty$、$x \to 1^+$ で $f \to +\infty$
Step 6. 漸近線：$x = 1$（垂直）。$f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x-1}$ と変形できるので $y = x + 1$（斜め漸近線）
分数関数 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ で分子の次数 $\geq$ 分母の次数のとき、多項式の割り算を行い $f(x) = (\text{多項式}) + \dfrac{(\text{余り})}{Q(x)}$ の形にしましょう。この形にすると斜め漸近線が直ちにわかり、$x \to \pm\infty$ での振る舞いも明確になります。
定義域：全実数
増減：$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1-x)$。$e^{-x} > 0$ なので $f'(x) = 0$ のとき $x = 1$。
$x < 1$ で $f'(x) > 0$（増加）、$x > 1$ で $f'(x) < 0$（減少）。$x = 1$ で極大値 $e^{-1}$。
凹凸：$f''(x) = e^{-x}(x-2)$。$x = 2$ で変曲点 $(2, 2e^{-2})$。
極限：$x \to +\infty$ で $f(x) \to 0^+$（$e^{-x}$ の減衰が勝つ）、$x \to -\infty$ で $f(x) \to -\infty$
漸近線：$y = 0$（水平漸近線、$x \to +\infty$）
$x$ 切片：$xe^{-x} = 0$ より $x = 0$
定義域：$x > 0$
増減：$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}$。$f'(x) = 0$ のとき $x = 1$。
$0 < x < 1$ で $f'(x) < 0$（減少）、$x > 1$ で $f'(x) > 0$（増加）。$x = 1$ で極小値 $f(1) = 1$。
凹凸：$f''(x) = \dfrac{1}{x^2} > 0$（常に下に凸）
極限：$x \to +\infty$ で $f(x) \to +\infty$、$x \to 0^+$ で $f(x) \to +\infty$（$-\log x \to +\infty$）
漸近線：$x = 0$（垂直漸近線）
✕ 誤：$xe^{-x}$ は $x \to +\infty$ で増大する
○ 正：$e^{-x}$ は $x$ のどんな多項式よりも速く $0$ に収束するので、$xe^{-x} \to 0$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0$（任意の $n$）。指数関数は多項式に対して圧倒的に速く増減します。
$x \to +\infty$ での増大速度の階層：$\log x \ll x^a \ll e^x \ll e^{x^2}$（$a > 0$）。この順序を知っていると、複合関数の極限が直感的にわかるようになります。大学数学では「ランダウの記号」$O, o$ を使ってこの階層を精密に記述します。
増減：$f'(x) = -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x = e^{-x}(\cos x - \sin x) = \sqrt{2}e^{-x}\cos\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$
$f'(x) = 0$ のとき $\cos\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 0$、すなわち $x = \dfrac{\pi}{4} + n\pi$（$n = 0, 1, 2, \ldots$）
$x = \dfrac{\pi}{4}$ で極大値 $e^{-\pi/4} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}$、$x = \dfrac{5\pi}{4}$ で極小値 $e^{-5\pi/4} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ など
特徴：振動しながら振幅が $e^{-x}$ で減衰。$|f(x)| \leq e^{-x} \to 0$。
グラフは $y = e^{-x}$ と $y = -e^{-x}$ に挟まれた減衰振動の形。
$f(x) = e^{-x} \sin x$ のような減衰振動のグラフを描くコツは、包絡線 $y = \pm e^{-x}$ を先に描いてから、その中を振動するグラフを描くことです。包絡線に接する点が極値になります。
✕ 誤：三角関数を含む関数は常に全区間を描く
○ 正：周期関数なら1周期分を描けば十分。減衰振動なら数周期分で十分
周期性を活用すれば、調べるべき区間を大幅に限定できます。
Q1. グラフの概形を描く際、最初に確認すべき2つの事項は何か。
Q2. $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ の斜め漸近線を求めよ。
Q3. $f(x) = xe^{-x}$ の極大値を求めよ。
Q4. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x}$ の値を求めよ。
Q5. $y = e^{-x}\sin x$ の包絡線は何か。
$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x}$（$x \neq 0$）の増減・極値・漸近線を調べ、グラフの概形を描け。
$f(x) = x - \dfrac{1}{x}$。定義域：$x \neq 0$。奇関数（$f(-x) = -f(x)$）なので原点対称。
$f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x^2} > 0$（常に増加）。極値なし。
垂直漸近線：$x = 0$。斜め漸近線：$y = x$。
$x \to 0^+$ で $f \to -\infty$、$x \to 0^-$ で $f \to +\infty$。
$f(x) = x^2 e^{-x}$ の増減・極値・凹凸・変曲点・漸近線を調べ、グラフの概形を描け。
$f'(x) = 2xe^{-x} - x^2 e^{-x} = xe^{-x}(2-x)$。$f'(x) = 0$ のとき $x = 0, 2$。
$x < 0$：$f' < 0$、$0 < x < 2$：$f' > 0$、$x > 2$：$f' < 0$
$x = 0$ で極小値 $0$、$x = 2$ で極大値 $4e^{-2}$。
$f''(x) = e^{-x}(x^2 - 4x + 2)$。$f''(x) = 0$ のとき $x = 2 \pm \sqrt{2}$。
変曲点：$(2-\sqrt{2}, (2-\sqrt{2})^2 e^{-(2-\sqrt{2})})$ と $(2+\sqrt{2}, (2+\sqrt{2})^2 e^{-(2+\sqrt{2})})$
$x \to +\infty$ で $f(x) \to 0^+$。$x \to -\infty$ で $f(x) \to +\infty$。水平漸近線 $y = 0$（$x \to +\infty$）。
$f(x) = \dfrac{\log x}{x}$（$x > 0$）のグラフの概形を描け。
$f'(x) = \dfrac{1 - \log x}{x^2}$。$f'(x) = 0$ のとき $\log x = 1$、$x = e$。
$0 < x < e$ で増加、$x > e$ で減少。$x = e$ で極大値 $\dfrac{1}{e}$。
$f''(x) = \dfrac{2\log x - 3}{x^3}$。$f''(x) = 0$ のとき $x = e^{3/2}$。変曲点 $\left(e^{3/2}, \dfrac{3}{2e^{3/2}}\right)$。
$x \to 0^+$ で $f(x) \to -\infty$、$x \to +\infty$ で $f(x) \to 0^+$。
水平漸近線 $y = 0$（$x \to +\infty$）。垂直漸近線 $x = 0$。
$x$ 切片：$\log x = 0$ より $x = 1$。$f(1) = 0$。
$f(x) = \dfrac{e^x}{x}$（$x \neq 0$）の増減・極値・凹凸・変曲点・漸近線を調べ、グラフの概形を描け。
$f'(x) = \dfrac{e^x(x-1)}{x^2}$。$f'(x) = 0$ のとき $x = 1$。
$x < 0$：$f' > 0$（$x-1 < 0$, $e^x > 0$, 分子負 → 分母正で全体負…いいえ、$e^x > 0$, $x - 1 < 0$ なので分子 $< 0$, 分母 $> 0$, $f' < 0$）
整理：$x < 0$ で $f' < 0$、$0 < x < 1$ で $f' < 0$、$x > 1$ で $f' > 0$
$x = 1$ で極小値 $f(1) = e$。極大値はなし。
$f''(x) = \dfrac{e^x(x^2 - 2x + 2)}{x^3}$。$x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 > 0$ なので $f''(x)$ の符号は $\dfrac{1}{x^3}$ の符号に等しい。
$x > 0$ で $f'' > 0$（下に凸）、$x < 0$ で $f'' < 0$（上に凸）。変曲点なし（$x = 0$ は定義域外）。
$x \to 0^+$ で $f \to +\infty$、$x \to 0^-$ で $f \to -\infty$。垂直漸近線 $x = 0$。
$x \to +\infty$ で $f \to +\infty$、$x \to -\infty$ で $f \to 0^-$。水平漸近線 $y = 0$（$x \to -\infty$）。
$\dfrac{e^x}{x}$ は $x = 0$ で定義されないため、$x > 0$ と $x < 0$ に分けて考えます。$x > 0$ 側では $x = 1$ で極小値 $e$ をとり、それ以降急速に増大します。$x < 0$ 側では単調減少で $y = 0$ に漸近します。