陰関数の微分
─ $F(x,y) = 0$ を直接微分する

問題：$x^2 + y^2 = 4$ のとき、$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。

解：両辺を $x$ で微分する。

$2x + 2y \cdot \dfrac{dy}{dx} = 0$

$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$ （$y \neq 0$）

問題：楕円 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 上の点 $(x_0, y_0)$ における接線の方程式を求めよ。

解：両辺を $x$ で微分する。

$\dfrac{2x}{9} + \dfrac{2y}{4} \cdot \dfrac{dy}{dx} = 0$

$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4x}{9y}$ （$y \neq 0$）

点 $(x_0, y_0)$ における接線：$y - y_0 = -\dfrac{4x_0}{9y_0}(x - x_0)$

$9y_0(y - y_0) = -4x_0(x - x_0)$

$9y_0 y - 9y_0^2 = -4x_0 x + 4x_0^2$

$4x_0 x + 9y_0 y = 4x_0^2 + 9y_0^2$

点 $(x_0, y_0)$ は楕円上なので $\dfrac{x_0^2}{9} + \dfrac{y_0^2}{4} = 1$、すなわち $4x_0^2 + 9y_0^2 = 36$

$$\frac{x_0 x}{9} + \frac{y_0 y}{4} = 1$$

問題：$x^2 - 2xy + 3y^2 = 1$ のとき、$\dfrac{dy}{dx}$ を $x$, $y$ の式で表せ。

解：両辺を $x$ で微分する。

$2x - 2\!\left(y + x\dfrac{dy}{dx}\right) + 6y\dfrac{dy}{dx} = 0$

$2x - 2y - 2x\dfrac{dy}{dx} + 6y\dfrac{dy}{dx} = 0$

$(6y - 2x)\dfrac{dy}{dx} = 2y - 2x$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2(y - x)}{2(3y - x)} = \frac{y - x}{3y - x}$$

（$3y - x \neq 0$ のとき）

問題：$e^y + xy = e$ のとき、$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。

解：両辺を $x$ で微分する。

$e^y \cdot \dfrac{dy}{dx} + y + x\dfrac{dy}{dx} = 0$

$(e^y + x)\dfrac{dy}{dx} = -y$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{e^y + x}$$

問題：$x^y = y^x$（$x > 0$, $y > 0$）のとき、$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。

解：両辺の自然対数をとる。

$y\log x = x\log y$

両辺を $x$ で微分する。

$\dfrac{dy}{dx} \cdot \log x + y \cdot \dfrac{1}{x} = \log y + x \cdot \dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{dy}{dx}$

$\dfrac{dy}{dx}\!\left(\log x - \dfrac{x}{y}\right) = \log y - \dfrac{y}{x}$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\log y - \dfrac{y}{x}}{\log x - \dfrac{x}{y}} = \frac{x\log y - y}{x(\log x - \frac{x}{y})} = \frac{y(x\log y - y)}{x(y\log x - x)}$$

問題：$\sin y + \cos x = 1$ のとき、$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。

解：両辺を $x$ で微分する。

$\cos y \cdot \dfrac{dy}{dx} - \sin x = 0$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{\cos y} \quad (\cos y \neq 0)$$

問題：$x^2 + y^2 = r^2$ のとき、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を求めよ。

解：$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$ を $x$ で微分する。

$\dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{y \cdot 1 - x \cdot \frac{dy}{dx}}{y^2} = -\dfrac{y - x \cdot \left(-\frac{x}{y}\right)}{y^2}$

$= -\dfrac{y + \frac{x^2}{y}}{y^2} = -\dfrac{\frac{y^2 + x^2}{y}}{y^2} = -\dfrac{x^2 + y^2}{y^3}$

$x^2 + y^2 = r^2$ を用いると

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{r^2}{y^3}$$

問題：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ のとき、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を $x$, $y$ の式で表せ。

解：$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{b^2 x}{a^2 y}$ を $x$ で微分する。

$\dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{b^2}{a^2} \cdot \dfrac{y - x \cdot \frac{dy}{dx}}{y^2} = -\dfrac{b^2}{a^2} \cdot \dfrac{y + \frac{b^2 x^2}{a^2 y}}{y^2}$

$= -\dfrac{b^2}{a^2} \cdot \dfrac{a^2 y^2 + b^2 x^2}{a^2 y^3}$

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ より $b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2$ を代入すると

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{b^4}{a^2 y^3}$$