$e^x$ を微分するとそのまま $e^x$ になる。この驚くべき性質は、自然対数の底 $e$ の定義そのものから導かれます。本記事では、$e$ の極限による定義を出発点に、指数関数と対数関数の導関数を丁寧に導出します。「微分しても変わらない関数」がなぜ $e^x$ なのか、その理由を原理から理解しましょう。
指数関数の微分を理解するためには、まず自然対数の底 $e$ がなぜ特別なのかを知る必要があります。
$$e = \lim_{h \to 0}(1 + h)^{1/h} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828\cdots$$
※ $e$ は無理数であり、超越数でもあります。
この定義から、次の重要な極限が得られます。
$$\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = 1$$
※ これは $e$ の定義から直接導かれます。$t = e^h - 1$ とおくと $h = \ln(1+t)$ であり、$h \to 0$ のとき $t \to 0$ なので $\frac{e^h - 1}{h} = \frac{t}{\ln(1+t)} = \frac{1}{\frac{1}{t}\ln(1+t)} = \frac{1}{\ln(1+t)^{1/t}} \to \frac{1}{\ln e} = 1$
$e$ の定義 $\displaystyle\lim_{h \to 0}(1+h)^{1/h} = e$ を言い換えると、$h$ が十分小さいとき $e^h \approx 1 + h$ ということです。
つまり $\frac{e^h - 1}{h} \approx 1$ です。これは $(e^x)' = e^x$ という驚きの公式の正体そのものです。$e$ とは、「微分しても自分自身に戻る」という性質を持つように定義された底なのです。
もし底が $e$ でなく一般の正の数 $a$ だったらどうなるでしょうか。
$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{a^h - 1}{h}$ の値を考えてみましょう。$a^h = e^{h\ln a}$ と書けるので、$t = h\ln a$ とおくと：
$$\lim_{h \to 0}\frac{a^h - 1}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{e^{h\ln a} - 1}{h} = \ln a \cdot \lim_{t \to 0}\frac{e^t - 1}{t} = \ln a$$
底が $a$ のときは $\ln a$ という「余分な係数」が付きます。$a = e$ のとき $\ln e = 1$ となり、この係数が消えるのです。
セクション1の準備を使って、$e^x$ の導関数を定義から求めましょう。
微分の定義より：
$$(e^x)' = \lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h}$$
$e^x$ は $h$ に関係しない定数なので、極限の外に出せます。
$$= e^x \cdot \lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = e^x \cdot 1 = e^x$$
同様に、一般の底 $a > 0$, $a \neq 1$ の指数関数についても導けます。
$a^x = e^{x \ln a}$ と書けるので、$u = x\ln a$ として合成関数の微分法を使います。
$$(a^x)' = (e^{x\ln a})' = e^{x\ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a$$
あるいは、定義から直接：
$$(a^x)' = \lim_{h \to 0}\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x \cdot \lim_{h \to 0}\frac{a^h - 1}{h} = a^x \ln a$$
$$(e^x)' = e^x$$
$$(a^x)' = a^x \ln a \quad (a > 0,\ a \neq 1)$$
※ $a = e$ のとき $\ln e = 1$ なので $(e^x)' = e^x$ と一致します。
✗ 誤：$(2^x)' = 2^x$
○ 正：$(2^x)' = 2^x \ln 2$
$e^x$ の微分に慣れすぎると、底が $e$ でない場合の $\ln a$ を書き忘れがちです。$a = e$ のときだけ係数 $\ln a = 1$ が消えるのです。
$e^{x+h} = e^x \cdot e^h$ という指数法則のおかげで、$e^x$ の微分で $e^x$ を「くくり出す」ことができました。これは三角関数の加法定理に相当する役割です。三角関数では加法定理、指数関数では指数法則が、微分計算を支える基本構造です。
対数関数 $\ln x$ は $e^x$ の逆関数です。逆関数の微分公式を使って導関数を求めましょう。
$y = \ln x$ とすると $x = e^y$ です。
逆関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ より：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{d}{dy}(e^y)} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$
よって $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ （$x > 0$）
定義から直接求める方法もあります。
$$(\ln x)' = \lim_{h \to 0}\frac{\ln(x+h) - \ln x}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\ln\frac{x+h}{x} = \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)$$
$t = \frac{h}{x}$ とおくと、$h = tx$、$h \to 0$ のとき $t \to 0$ なので：
$$= \lim_{t \to 0}\frac{1}{tx}\ln(1+t) = \frac{1}{x}\lim_{t \to 0}\frac{\ln(1+t)}{t} = \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x}$$
最後の極限で $\displaystyle\lim_{t \to 0}\frac{\ln(1+t)}{t} = 1$ を使いました（$e$ の定義から導かれます）。
一般の底 $a$ の対数関数についても同様に求められます。
底の変換公式より $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ です。$\ln a$ は定数なので：
$$(\log_a x)' = \frac{1}{\ln a} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln a}$$
$$(\ln x)' = \frac{1}{x} \quad (x > 0)$$
$$(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a} \quad (x > 0,\ a > 0,\ a \neq 1)$$
※ $a = e$ のとき $\ln e = 1$ なので $(\log_e x)' = \frac{1}{x}$ と一致します。
✗ 誤：$(\log_{10} x)' = \frac{1}{x}$
○ 正：$(\log_{10} x)' = \frac{1}{x\ln 10}$
$\frac{1}{x}$ になるのは底が $e$（自然対数）のときだけです。底が $e$ でない場合は必ず $\frac{1}{\ln a}$ が掛かります。
✗ 誤：$\ln x$ はすべての実数で微分できる
○ 正：$\ln x$ は $x > 0$ でのみ定義され、$(\ln x)' = \frac{1}{x}$（$x > 0$）
なお、$|\,x\,| > 0$ のとき $(\ln|x|)' = \frac{1}{x}$ が成り立ちます。これは積分で非常に重要な公式です。
$x > 0$ のとき $\ln|x| = \ln x$ なので $(\ln|x|)' = \frac{1}{x}$ は明らかです。
$x < 0$ のとき $\ln|x| = \ln(-x)$ です。合成関数の微分法で $u = -x$ とおくと、$(\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$ となります。
よって、$x \neq 0$ において $(\ln|x|)' = \frac{1}{x}$ が成り立ちます。
ここまでの結果を一覧表にまとめ、底 $e$ と一般の底 $a$ の場合を比較しておきましょう。
| 関数 | 導関数 | 備考 |
|---|---|---|
| $e^x$ | $e^x$ | 微分しても変わらない |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ | $\ln a$ が掛かる |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ | $x > 0$ で定義 |
| $\log_a x$ | $\dfrac{1}{x\ln a}$ | $\dfrac{1}{\ln a}$ が掛かる |
指数関数と対数関数の導関数を見比べると、底が $e$ のときだけ余分な係数が消えてシンプルな形になります。これこそが数学IIIで自然対数 $\ln$ と $e^x$ を標準的に使う理由です。
$a^x$ の微分に $\ln a$ が現れ、$\log_a x$ の微分に $\frac{1}{\ln a}$ が現れるのは、結局どちらも「$e$ を使って書き直す」ところから来ています。
$(e^x)' = e^x$ と $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ は、逆関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ で結ばれています。$y = e^x$ のとき $x = \ln y$ であり、$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y}$ は $\frac{dy}{dx} = y = e^x$ と表裏一体の関係です。
大学数学では、指数関数を $\ln x$ の逆関数として定義する（$\ln x$ を先に定義する）教科書もあります。
指数関数・対数関数の微分も、実際にはほとんどの場合チェーンルールと組み合わせて使います。
$$\{e^{g(x)}\}' = e^{g(x)} \cdot g'(x)$$
$$\{a^{g(x)}\}' = a^{g(x)} \cdot g'(x) \cdot \ln a$$
$$\{\ln g(x)\}' = \frac{g'(x)}{g(x)}$$
$$\{\log_a g(x)\}' = \frac{g'(x)}{g(x) \ln a}$$
※ 特に $\{\ln g(x)\}' = \frac{g'(x)}{g(x)}$ は頻出です。「分子に内側の微分、分母にそのまま」と覚えましょう。
例1. $y = e^{3x+1}$ のとき、$y' = e^{3x+1} \cdot 3 = 3e^{3x+1}$
例2. $y = e^{-x^2}$ のとき、$y' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$
例3. $y = \ln(x^2 + 1)$ のとき、$y' = \frac{2x}{x^2+1}$
例4. $y = \ln(\sin x)$ のとき、$y' = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}$
例5. $y = xe^x$ のとき、積の微分法とチェーンルールより：
$y' = e^x + xe^x = (1+x)e^x$
例6. $y = 2^{3x}$ のとき、$y' = 2^{3x} \cdot \ln 2 \cdot 3 = 3 \cdot 2^{3x} \ln 2$
✗ 誤：$(e^{3x})' = e^{3x}$
○ 正：$(e^{3x})' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$
「$e^x$ は微分しても変わらない」というのは、あくまで肩の部分がちょうど $x$ のときだけです。$e^{f(x)}$ の場合は必ず $f'(x)$ を掛けなければなりません。
✗ 誤：$(x^3)' = x^3 \ln x$ や $(2^x)' = x \cdot 2^{x-1}$
○ 正：$(x^3)' = 3x^2$（べき関数の微分）、$(2^x)' = 2^x \ln 2$（指数関数の微分）
「底が変数で指数が定数」→ べき関数の微分 $(x^n)' = nx^{n-1}$。「底が定数で指数が変数」→ 指数関数の微分 $(a^x)' = a^x \ln a$。この区別は絶対に間違えないようにしましょう。
$(e^x)' = e^x$ は、微分方程式 $y' = y$（「自分自身に等しい導関数を持つ関数」）の解が $y = Ce^x$（$C$ は定数）であることを意味します。これは大学数学の微分方程式論の出発点であり、人口増加モデルや放射性崩壊など、自然現象の記述に広く使われます。
Q1. $(e^x)' = e^x$ の導出で使う極限値は何か。
Q2. $y = e^{-2x}$ を微分せよ。
Q3. $(3^x)' $ を求めよ。
Q4. $y = \ln(2x + 1)$ を微分せよ。
Q5. べき関数 $x^n$ の微分と指数関数 $a^x$ の微分の違いを述べよ。
次の関数を微分せよ。
(1) $y = e^{2x+1}$
(2) $y = \ln(x^2 + 3)$
(3) $y = 2^{2x+1}$
(1) $y' = e^{2x+1} \cdot 2 = 2e^{2x+1}$
(2) $y' = \frac{2x}{x^2 + 3}$
(3) $y' = 2^{2x+1} \cdot \ln 2 \cdot 2 = 2^{2x+2}\ln 2$
次の関数を微分せよ。
(1) $y = x^2 e^x$
(2) $y = e^x\sin x$
(1) 積の微分法より：
$y' = 2xe^x + x^2 e^x = x(2+x)e^x$
(2) 積の微分法より：
$y' = e^x\sin x + e^x\cos x = e^x(\sin x + \cos x)$
$e^x$ との積の微分は頻出パターンです。$e^x$ の微分が $e^x$ のままなので、$e^x$ を共通因子としてくくり出せるのがポイントです。
次の関数を微分せよ。
(1) $y = \ln(\cos x)$
(2) $y = x\ln x - x$
(1) $y' = \frac{(\cos x)'}{\cos x} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$
(2) $y' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$
(2) は積分の公式 $\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$ の原型です。微分と積分の表裏一体の関係を確認できます。
$f(x) = xe^{-x}$ ($x \geq 0$) の最大値を求めよ。
$f'(x) = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = (1 - x)e^{-x}$
$e^{-x} > 0$ なので、$f'(x) = 0$ のとき $x = 1$
$x < 1$ のとき $f'(x) > 0$（増加）、$x > 1$ のとき $f'(x) < 0$（減少）
よって $x = 1$ で極大かつ最大。
$f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$
（$f(0) = 0$, $\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x) = 0$ も確認。）
最大値は $\dfrac{1}{e}$（$x = 1$ のとき）
$e^{-x}$ は常に正なので、$f'(x)$ の符号は $(1-x)$ のみで決まります。また、$x \to \infty$ で $f(x) \to 0$ となることは、指数関数の増加が多項式よりもはるかに速いことを反映しています。